Задание

Найти точку симметричную точке относительно плоскости .

Решение. Найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью. Для этого запишем уравнение прямой, используя точки и . Поскольку прямая перпендикулярна к плоскости (а это обусловлено симметрий точек), выполняется условие , где -коэффициенты при переменных уравнения плоскости, - направляющие векторы нашей прямой. Подставим в уравнение прямой координаты точки и коэффициенты и запишем уравнение прямой в параметрическом виде

(1), здесь

Поскольку координаты точки пересечения прямой с плоскостью удовлетворяют уравнение плоскости, подставим в уравнение плоскости координаты системы (1)

. Подставив полученное значение в уравнения системы (1), получим координаты точки пересечения прямой и плоскости . Теперь составим уравнение этой же прямой, используя точки и . Поскольку точка симметрична точке , то должно выполняться условие перпендикулярности прямой и плоскости, то есть, . Точка, симметричная точке относительно плоскости , имеет координаты .