Переходные процессы в линейных электрических цепях

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ.

Цель работы

Ознакомиться с методикой исследования переходных процессов в линейных электрических цепях с одним и двумя накопителями энергии в виде конденсатора и катушки индуктивности и методикой анализа влияния параметров цепи на характер переходного процесса, приобрести навыки работы с электронным осциллографом.

Теоретическое введение

При изменении режима электрической цепи в результате коммутации (включение и выключение источников электрической энергии, изменение параметров цепи и т. д.) возникают переходные процессы

Под переходными процессами понимают процесс изменения токов и напряжений при переходе электрической цепи от одного установившегося режима к другому установившемуся режиму

При переходных процессах должны соблюдаться два закона коммутации

1. В момент коммутации ток в индуктивности не может измениться скачком, то есть:

iL(0)= iL(0–)

где

t = 0 – момент коммутации,

t = 0– – момент времени, предшествующий коммутации

2. В момент коммутации напряжение на емкости не может изменяться скачком, то есть UC(0) = UC(0–)

Аналитические методы расчетов переходных процессов в линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами основаны на реше­нии дифференциальных уравнений, составленных по законам Кирхгофа. Начальные условия определяются из законов коммутации

В настоящей работе изучаются переходные процессы в активно-емкостной (RC), активно-индуктивной (RL) активно-индуктивно-емкостной (RLC) цепи

1. Переходные процессы в RC-цепи.

а	б
в	г
Рис. 1.1

Рассмотрим последовательную RC-цепь (рис. 1.1.а), к которой под­ключен источник ЭДС e(t), формирующий импульс напряжения с амплитудой Е и длительностью Ти (рис.1.1.б)

Заряд конденсатора

В интервале времени 0<t<t1 конденсатор С заряжается. По закону Кирхгофа для этой цепи имеем Ri + Uc = E

Так как

i= С dUc /dt,

то

RС (dUc/dt) + UC = E (1.1)

при начальном условии:

Uc(0) = О Решение уравнения (1.1) имеет вид:

Uc(t)=E(l-e-t/τ), (1.2)

где

τ = RC – постоянная времени

Тогда:

i=(E/R) e-t/τ (1.3)

Кривые переходных Uc(t), i(t) приведены на рис. 1.1. в, г.

Время, в течение которого напряжение Uc(t) достигает величины 0,95E ориентировочно составляет Тп = (3-4)τ .

За время Тп ток заряда конденсатора i(t) уменьшается до величины 0,05E/R. Касательные, проведенные к кривым Uc(t) или i(t) в момент вре­мени t=0, отсекают на прямых UC(∞)=E и I(∞)= 0 отрезки, равные интерва­лу времени τ, что позволяет по экспериментальным кривым Uc(t), i(t) оп­ределить параметры RC-цепи: R=E/i(0), C=τ/R.

Если параметры цепи Е, R, С заданы, то приближенные кривые Uс(t), i(t) при Uc(0)=0 можно построить по трем характерным точкам для сле­дующих моментов времени:

при t=0 имеем Uc(0)=0, I(0)=E/R;

при t=( τ ) имеем Uc(t)=0,63E, i(τ)=0,37E/R;

при t=Tn имеем UC(Tn)=E, i(Tn)=0

Разряд конденсатора

В момент времени t=t1 начинается разряд конденсатора С через рези­стор R и источник Э. Д. С, внутреннее сопротивление которого равно нулю. По второму закону Кирхгофа для этой цепи в интервале времени t1<t<∞ имеем:

Ri+Uc=0 или RC(dUc/dt)+Uc=0 (1.4)

при начальном условии

Uc(0)=E

Если принять, что коммутация проходит в момент времени t=0 (начало координат смещается в точку t1), то решение диф. уравнения (1.4) принимает вид:

Uс(t)=Е e-t/τ (1.5)

Тогда

i=(t)=-(E/R)e-t/τ (1.6)

где:

τ=RC Отрицательный знак в выражении (1.6) указывает на противоположное направление тока по сравнению с направлением тока при заряде конден­сатора (рисг)

2. Переходные процессы в RL-цепи

а	б
в	г
Рис. 1.2

Рассмотрим последовательную RL-цепь (рис.1.2.а) с подключенным источником ЭДС e(t), формирующим импульс напряжения с амплитудой Е и длительностью Ти (рис.1.2.б)

В интервале времени (0<t<t1) уравнение электрического равновесия RL-цепи имеет вид

UL+R i=E Так как

UL=L (di/dt), то получим

L (di/dt)+R i=E (1.7)

Решение уравнения (1.7) при начальном условии iL(0)=0 имеет вид

i(t)=E/R (1-e-t/τ ), (1.8)

где

τ=L/R - постоянная времени

Тогда напряжение на индуктивности

UL(t)=E e-t/τ (1.9)

Кривые переходного процесса i(t) и UL(t) приведены на рис 1.2 в, г

Время переходного процесса, за которое ток i(t) практически достигает установившегося значения E/R, а напряжение UL(t) спадает до нуля, составляет Ти=(3…4)τ .

Касательные, проведенное к кривым i(t) или UL(t) в момент времени t=0, отсекают на прямых i(∞)=E/R и Ul(∞)=0 отрезки, равные интервалу времени τ, что позволяет по экспериментальным кривым i(t) и UL (t) опре­делить параметры R и L

R=E/i(∞), L=R τ

Если параметры цепи Е, R, L заданы, то приближенные кривые i(t), UL (t) при начальном условии i(0)=0 можно построить по трем характерным точкам для следующих моментов времени

при t=0 имеем i(0)=0, UL (0)=E,

при t= τ имеем i (τ)=0,63 E/R, UL (τ )=0,37,

при t=Tu имеем i(Tu)=E/R, UL (Tu)=0

3. Переходные процессы в последовательной RLC-цепи.

Рассмотрим два случая переходных процессов в последовательной RLC-цепи:

• последовательная RLC-цепь подключается к источнику постоянной Э. Д.С. Е;

• предварительно заряженный конденсатор разряжается на RLC цепь.

При подключении последовательной RLC-цепи к источнику постоянной Э. Д.С. Е (рис. 1.3.а) уравнение электрического равновесия цепи по второму закону Кирхгофа имеет вид:

UL+UR+UC=E (1.10)

с учетом соотношений

UR = Ri=RC(dUC/dt);

UL=L(di/dt)=LC(d2UC/dt2)

уравнение (1.10) можно записать в виде:

LC(d2UC/dt2) + RC(dUC/dt) + UC = E (1.11)

а	б	в
Рис. 1.3

Решение неоднородного дифференциального уравнения (1.11) опреде­ляется характеристическим уравнением:

LCp2+RCp+1=0,

которое имеет корни

(1.12)

где

δ=R/2L - коэффициент затухания,

– резонансная частота.

В зависимости от соотношения δ2 и ω2 возможны три основных вида переходных процессов:

а) δ2 > ω2 или Корни характеристического уравнения – отрицательные вещественные. Переходный процесс имеет апериодический характер (рис. 1.3.б).

б) δ2 < ω2 илиКорни характеристического уравнения – комплексные и сопряженные. Характер переходного процесса - колебательный и затухающий (рис. 1.3.в)

в) δ2 = ω2 или Корни характеристического уравнения вещественные и равные p1=p2=-R/2L. Характер переходного процесса - апериодический и затухающий (критический случай). Время переходного процесса минимальное.

Для первых двух случаев решение уравнения имеет вид:

(1.13)

где

V=UC(0) - напряжение на конденсаторе в момент коммутации.

Для случая δ2 < ω2 уравнение (1.13) приводится к виду:

, (1.14)

где

- частота затухающих колебаний.

Из уравнения (1.14) следует, что переходный процесс Uc(t) имеет характер колебаний с угловой частотой ω и периодом Т=2π/ω , которые затухают с постоянной времени τ=2L/R=1/δ.

Для определения величины постоянной времени τ можно использовать огибающую колебательной кривой Uc(t), имеющую форму экспоненты:

exp(-δt)=exp(-t/τ).

Для третьего случая δ=ω0 решение уравнения (1.11) имеет вид:

. (1.15)

Особенность этого режима состоит в том, что при уменьшении R ниже значения переходной процесс становится колебательным.

Рис. 6 4

2. При разряде конденсатора на RL-цепь (рис 1.4.а) возможны все три режима, рассмотренные выше и определяемые соотношением величин δ и ω0. Переходные процессы в этих режимах описываются уравнениями (1.13), (1.14), (1.15) при Е=0. Например, для случая δ<ω0 уравнение (1.14) при колебательном разряде конденсатора имеет вид:

(1.16)

Кривая переходного процесса Uc(t) приведена на (рис. 1. 4.б). Огибаю­щей кривой Uc(t) является функция exp(-δt)=exp(-t/τ), которая может быть исполь­зована для определения постоянной времени τ и коэффициента затухания δ=1/τ.