ТЕОРЕМА О СЕРЕДИНЕ ИНТЕРВАЛА ДИСКОНТИРОВАНИЯ
В ЗАДАЧАХ ОЦЕНКИ СОБСТВЕННОСТИ
И ПРИ РАСЧЁТЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ
, профессор, доктор технических наук
*****@***net
Как известно, деньги в любой экономической системе со временем дешевеют, т. е. будущие деньги имеют меньшую ценность, чем деньги текущего момента. Мерой уменьшения ценности денег может служить, например, годовая ставка дисконтирования 
, а сам процесс уменьшения ценности денег во времени 
может быть описан известной дисконтирующей функцией 
. Данная функция позволяет привести компоненты денежного потока, генерируемого инвестиционным проектом в любой момент времени, к текущему (современному) моменту, что даёт возможность корректно сравнивать денежные величины с разным происхождением во времени.
Рассмотрим для определённости инвестиционный проект продолжительностью один год, непрерывно генерирующий денежный поток с интенсивностью 
руб./год. Тогда такой инвестиционный проект за год создаст стоимость (в номинальном исчислении, недисконтированную) величиной
. (1)
Эта же стоимость, пересчитанная в масштабе цен начала года, т. е. дисконтированная, причём дисконтированная непрерывно – с учётом того, что с позиции наблюдателя, находящегося в начале года, январские деньги подешевеют значительно меньше, чем например, декабрьские, корректно может быть определена из выражения
. (2)
Здесь 
– текущая (современная, приведённая к временной точке 0) стоимость (present value) доходов от реализации проекта за год. Если считать, что все доходы 
от инвестиционного проекта генерируются импульсно, одномоментно – в конце года (что, вообще говоря, является экзотикой, но так фактически и принимается во всех известных автору пособиях по курсу «Инвестиции»), то текущую стоимость доходов можно было бы рассчитать по общепринятой формуле
, (3)
Здесь 
– координата точки на оси времени, соответствующая моменту, в котором как бы собраны все денежные потоки, генерируемые инвестиционным проектом за весь год. Эта точка, конечно же, строго говоря, не совпадает с концом года, т. е. 
.
Докажем, что при стремлении ставки дисконтирования к нулю, величина стремится к 0,5.
Из уравнений (1), (2) и (3) следует
,
откуда получаем уравнение для расчёта величины :
. (4)
Пусть для определённости скорость генерирования доходов инвестиционным проектом постоянна, т. е.
., тогда уравнение (4) существенно упростится:
(5)
Логарифмируя компоненты уравнения (5), получим:
.
(6)
Пользуясь соотношением (6), рассчитаем для ориентира несколько значений величины при разных значениях годовой ставки дисконтирования . В результате (как вариант) получим следующую таблицу:
| 50 % | 20 % | 10 % | 5 % | 1 % |
| 0,4831 | 0,4924 | 0,4960 | 0,4980 | 0,4996 |
Докажем следующую теорему: при стремлении ставки дисконтирования к нулю равномерно генерируемые инвестиционным проектом компоненты номинального денежного потока концентрируются для последующего дисконтирования в середине интервала дисконтирования.
Доказательство. Известно, что при стремлении к нулю величина 
стремится к величине 
. Тогда при малых значениях выражение (6) примет вид:
.
Итак, при стремлении ставки дисконтирования к нулю (при 
) стартовая точка дисконтирования (из будущего к настоящему) стремится к середине временного интервала дисконтирования (он же является и интервалом генерирования компонентов денежного потока инвестиционного проекта): 
.
Таким образом, для корректного расчёта чистой текущей стоимости инвестиционного проекта в качестве стартового момента дисконтирования компонентов денежного потока следует выбирать не конец года, а его середину (тем самым учитывается то, что инвестиционный проект генерирует доходы непрерывно, а не только в конце расчётного периода – в данном случае, в конце года). Тогда, используя доказанную теорему, формулу для расчёта чистой текущей (современной, приведённой) стоимости 
инвестиционного проекта преобразуем к следующему модифицированному виду:
(7)
В соотношении (7) использованы следующие обозначения: 
капитал, инвестированный в начале года с номером j в течение M лет; i – прогнозируемый средний годовой уровень инфляции в течение M лет; 
величина годового дохода (номинального денежного потока), генерируемого в результате реализации инвестиционного проекта в течение k-го года на протяжении N лет; 
ликвидационная, остаточная стоимость проекта (реверсия).
Ясно, как отразилась теорема на выражении (7): показатели степени в знаменателе слагаемых второй суммы стали дробными, а не целочисленными, как обычно принято. Отметим, что дисконтирование величины остаточной стоимости проекта осуществляется при помощи целочисленного показателя степени, поскольку совершенно оправданно предполагается, что остаточная стоимость проекта проявляется практически импульсно – в конце последнего года N осуществления проекта. Кроме того, в формуле (7) учтено также то, что инвестиции обычно также осуществляются импульсно – в начале каждого расчётного периода (года).
Если же инвестиции производятся не импульсно, а непрерывно с постоянным темпом в течение каждого года с номером j, то выражение (7) несколько видоизменится (поскольку инвестиционный капитал перед тем, как быть продисконтированным по ставке, равной среднегодовому уровню инфляции, так же, как и доходы от проекта, должен быть смещён к середине соответствующего года):
(8)
Итак, корректное определение важнейшего показателя эффективности инвестиций – чистой текущей стоимости инвестиционного проекта NPV – должно производиться на основе следующей процедуры: прежде чем дисконтировать величину денежного дохода за какой-либо год реализации проекта, необходимо мысленно сдвинуть эту величину из конца этого года к его середине, и только из этой стартовой точки на оси времени дисконтировать данную денежную величину к моменту начала реализации инвестиционного проекта.
