Применяемые разновидности теории ползучести бетона. Релаксация напряжений

8.2. Применяемые разновидности теории ползучести бетона.

Релаксация напряжений

В пределах линейных зависимостей (8.6), (8.7) теории ползучести отличаются друг от друга описанием меры ползучести. Согласно теории старения меру ползучести можно определить по формуле

, (8.10)

где – мера ползучести в момент времени t; – то же, в момент времени t. Кривая, например, , т. е. получается из кривой более раннего возраста путем отсечения и параллельного переноса той её части, которая соответствует разности возрастов загружения (рис. 8.2, (а)).

 

Рис. 8.2

Эта теория получила широкое распространение из-за своей относительной простоты. Задача о релаксации (падении) напряжений в стержне (рис. 8.1, (б)) решается в этой теории достаточно просто.

Предположим, что в момент времени введена вынужденная деформация . В этом случае уравнение релаксации (8.4) принимает вид

. (8.11)

Но – есть упругомгновенное напряжение. Тогда

, (8.12)

где – напряжение в стержне с учетом ползучести; – упругомгновенное напряжение; – коэффициент затухания напряжений.

Определим напряжение путем непосредственного решения уравнения релаксации (8.13), без построения ядра

. (8.13)

Обозначим ядро интегрального уравнения (8.13)

. (8.14)

В теории старения

Здесь и далее точкой обозначена производная по t.

В случае, если

,

и уравнение (8.13) принимает вид

. (8.15)

Продифференцировав уравнение (8.15) по t, получим

. (8.16)

Здесь и далее точками обозначены производные по t. Общее решение этого линейного однородного дифференциального уравнения

.

Принимая во внимание, что – характеристика ползучести, и определив произвольную постоянную С1 из начального условия , окончательно получим

. (8.17)

Поскольку, при то, сравнивая выражения (8.12) и (8.17), получим

. (8.18)

Особенностью этого решения является то, что оно получено без предварительной аппроксимации характеристики ползучести . Резольвента ядра в данном случае определяется выражением

. (8.19)

Это легко проверить подстановкой выражения (8.19) в левую часть равенства (8.18)

Для нестареющих материалов, у которых свойства инвариантны относительно начала отсчета времени, модуль упругости постоянен, а ядра ползучести и релаксации зависят только от разности аргументов t и t. Кривые меры ползучести в теории упругой наследственности не зависят от возраста загружения
t ; одна кривая получается из другой путем сдвига последней вдоль оси t (рис. 8.2, (б)). Для описания меры ползучести принимают обычно следующее выражение

. (8.20)

Значения С0 и зависят от свойств материала. При следовательно С0 – предельная мера ползучести – функция, учитывающая длительность действия нагрузки.

С учетом (8.20) уравнение релаксации (8.13) принимает вид

, (8.21)

где – предельная характеристика ползучести; . Продифференцировав по t уравнение (8.21) получим такое уравнение

. (8.22)

Умножив уравнение (8.21) на и сложив его с (8.22) получим следующее дифференциальное уравнение

. (8.23)

Решение этого уравнение следующее

. (8.24)

При коэффициент затухания напряжений

. (8.25)

В этом случае

, (8.26)

т. е. при постоянных напряжениях деформация переходит в упругую с длительным модулем упругости Ед. Резольвента ядра определяется выражением

. (8.27)

Теория старения постулирует полную необратимость деформаций ползучести; теория упругой наследственности, наоборот предполагает полную обратимость этих деформаций. Как следствие, теория старения приводит к большему затуханию напряжений.

Наследственная теория старения (теория упругоползучего тела) – это синтез двух предыдущих теорий. Кривые мер ползучести в этой теории представлены через произведение двух функций

, (8.28)

где – монотонно убывающая функция возраста (учитывает старение материала). Для описания свойств старения бетона обычно принимают

, (8.29)

для описания функции – выражение (8.20). Соответствующие этим функциям кривые показаны на рис. 8.3.

 

Рис. 8.3

При необходимости учета быстронатекающей ползучести для описания принимают такие формулы

, (8.30)

. (8.31)

В случае описания меры ползучести формулами (8.28), (8.29), (8.30) при В = 1 ядро ползучести принимает вид

. (8.32)

Уравнение релаксации теперь приводится к дифференциальному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами. Решение этого уравнения дает следующую формулу для коэффициента затухания напряжений

, (8.33)

где

. (8.34)

Ядро релаксации

(8.35)

при коэффициент затухания напряжений (8.33) можно вычислить по следующим формулам

, (8.36)

где

, (8.37)

, (8.38)

, (8.39)

. (8.40)

Определим предельное значение коэффициента затухания напряжений в стержне, выполненном из эталонного бетона считая, что вынужденная деформация введена в возрасте бетона сут.

Эталонным считается бетон со следующими характеристиками: Е = 3,3 ´ ´.104 МПа; С0.=.6,36.·.10–5 МПа;

Воспользуемся формулами (8.36) – (8.39). При

При определении оказывается достаточным удержание двух членов ряда (8.39). В случае применения теории старения (8.18) = е-j = е-2,1 =
= 0,122; согласно теории упругой наследственности (8.25) = 1/ (1+2,1) = = 0,323. Результат, полученный по наследственноственной теории старения, занимает промежуточное положение. Этот пример показывает, что за счет ползучести, в случае постоянных вынужденных деформаций, напряжения могут существенно снижаться (релаксировать). Отметим также сравнительную сложность решения (8.36), которое к тому же построено для частного вида описания меры ползучести и постоянного модуля упругости. Если деформации являются вынужденными и изменяются во времени по закону , то определение напряжений, является задачей обобщенной релаксации. Напряжение находят по формуле (8.4), что при наличии резольвенты , не вызывает затруднений. Задача обобщенной релаксации чаще всего встречается при определении температурных напряжений, когда распределение температуры вызывает температурные деформации .

Численные методы решения задач теории ползучести основаны на возможности представления физических соотношений в алгебраической форме. Если рассматриваемый отрезок времени разбить на n промежутков и зафиксировать моменты времени то

, (8.41)

.(8.42)

Причем коэффициенты матрицы ползучести определяется следующим образом

,

, (8.43)

, .

Связь между напряжениями {s} и деформациями {e} устанавливается зависимостью

, (8.44)

где – резольвентная матрица; – приведенная матрица. Так как матрица – нижняя треугольная, то и матрица – также нижняя треугольная

. (8.45)

Ее элементы могут быть вычислены по следующим формулам

. (8.46)

Для случая описания модуля упругомгновенных деформаций и меры ползучести такими зависимостями

, Ei = 3,54 × 104 МПа,

(8.47)

и моментов времени, определяемых вектором {t} сут.

,

приведенная резольвентная матрица построенная по формулам (8.43), (8.46) имеет вид

. (8.48)

С помощью матрицы легко определяются коэффициенты затухания напряжений, правда для фиксированных моментов времени, определяемых вектором {t}. Так, для того, чтобы определить – необходимо умножить последнюю строку матрицы на единичный вектор {e}: .