ГОУ «Политехнический лицей-интернат»
Уравнения с модулем
(методическая разработка)
Разработала:
учитель математики
2010 г
Пояснительная записка
Тема «Уравнения с модулем» расчитана на 12 часов. Она может быть предложена обучающимся 11 класса в рамках элективного курса. Целью изучения данной темы является обобщение и систематизация знаний, связанных с определением и свойствами модуля, а так же знакомство с различными методами решения уравнений с модулем.
Необходимость рассмотрения данной темы обусловлена тем, что задания с модулем нередко вызывают затруднения у обучающихся. Кроме того, задания подобного типа регулярно встречаются в материалах ЕГЭ как в базовой части, так и в заданиях повышенного и высокого уровня сложности. Вместе с тем, решение уравнений с модулем является эффективным способом повторения и закрепления навыков решения других видов уравнений и способов их решения: линейных, квадратных, дробных рациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических. А так же, закрепляется умение решать различные виды неравенств, систем и совокупностей.
Изучение материала построено по принципу «от простого к сложному». В начале рассматриваются задания на преобразование выражений, содержащих модуль, затем простейшие уравнения с модулем. Эти вопросы могут быть предложены для изучения и обучающимся 8-9 классов в рамках предпрофильной подготовки. Затем рассматриваются основные типы уравнений, содержащих модуль, комбинированные уравнения и методы их решения. Заканчивается изучение темы знакомством с методами решения уравнений с модулем и параметром.
В рамках изучения темы, рассматриваются следующие вопросы:
· определение и свойства модуля; преобразования выражений, содержащих модуль;
· решение простейших уравнений с модулем;
· общие методы решения уравнений с модулем;
· комбинированные уравнения с модулем;
· уравнения с модулем и параметром.
В процессе изучения темы применяются следующие типы уроков: урок-лекция, урок- практикум, комбинированный урок, уроки проверки и коррекции знаний, урок обобщения и систематизации знаний.
Примеры, приведенные в разработке, взяты из различных сборников для подготовки к экзаменам и из материалов ЕГЭ разных лет.
Тематический план
Тема урока | Количество часов | |
1. | Модуль действительного числа. | 1 |
2. | Простейшие уравнения, содержащие знак модуля. | 1 |
3. | Методы решения уравнений, содержащих знак модуля. | 2 |
4. | Решение уравнений, содержащих знак модуля. | 2 |
5. | Комбинированные уравнения, содержащие знак модуля. | 2 |
6. | Контрольная работа. | 2 |
7. | Обобщающий урок по теме « Уравнения с модулем». | 2 |
Урок 1
(комбинированный урок)
Тема: « Модуль действительного числа».
Цели: 1) повторить понятие модуля действительного числа, свойства модуля;
2) рассмотреть примеры преобразования выражений, содержащих модуль;
3) сформировать навык преобразования выражений, содержащих модуль.
План: 1) определение модуля;
2) свойства модуля;
3) примеры раскрытия модуля;
4) упражнения на закрепление;
5) самостоятельная работа.
6) задание на дом.
Ход урока
Модулем действительного числа а (абсолютной величиной числа а) называют расстояние от точки, изображающей данное число на координатной прямой, до начала отсчета и обозначают │а│.
Основные свойства модуля
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
, 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Примеры.
Раскройте модули:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Выполнение упражнений.
(выполняются обучающимися на доске или на месте с комментариями).
1. Упростите выражение:
1)
, если 
;
2)
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
.
Самостоятельная работа
(по окончании работы проводится взаимопроверка)
I вариант
Упростить выражения: а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
;
е) 
.
II вариант
Упростить выражения: а) 
; б) 
; в) 
;
г) 
; д) 
;
д) 
.
Задание на дом. Упростить выражение :
Урок 2
(урок - лекция)
Тема: « Простейшие уравнения, содержащие знак модуля».
Цели: 1) повторить понятия : уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, модуль действительного числа.
2) рассмотреть алгоритмы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля вида 
и 
3) сформировать навык решения уравнений вида и
План: 1) проверка домашнего задания; результаты самостоятельной работы;
2) изучение нового материала. Алгоритмы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля вида и
3) задание на дом.
Ход урока
1. Проверка домашнего задания.
1) На доске: выполнить упражнение из домашнего задания под б);
записать свойства модуля; разобрать примеры из самостоятельной работы, вызвавшие наибольшие затруднения;
2) Фронтальная беседа: что называют модулем действительного
числа? Какие выражения называют уравнениями? Что называют корнем уравнения? Какие преобразования относятся к равносильным? Какие уравнения называются равносильными?
2. Изложение нового материала.
Алгоритм решения уравнения вида можно оформить в виде следующей таблицы
Значение а | Уравнение | Решение уравнения |
a<0 | │f(x)│= a | Уравнение не имеет корней |
a=0 | │f(x)│= 0 | f(x)=0 |
a>0 | │f(x)│= a | f(x)=a или f(x)=-a |
Пример 1. 
Решение : 2х-3=5 или 2х-3=-5
х=4 х=-1
Ответ: -1; 4.
Пример 2. 
Решение: х2 - х = 6 или х2 – х = -6
х2 – х – 6 = 0 х2 – х + 6 = 0
х1=-2; х2=3 корней нет
Ответ: -2;3.
Пример 3. 
Решение: х2 + х + 1 = 0
корней нет, так как дискриминант уравнения меньше нуля.
Ответ: корней нет.
Пример 4. 
Решение: корней нет, так как -2<0.
Ответ: корней нет.
Алгоритм решения уравнения
1 способ. По определению модуля действительного числа уравнение равносильно совокупности
2 способ. Уравнение равносильно смешанной системе
Пример 5. 
Решение: 
Ответ: -1.
Пример 6. 
Решение: 
Ответ: -3; 1; 3.
Пример 7. 
Решение: 
Ответ: -3;3.
3. Задание на дом.
1) Материал лекции.
2) Решить уравнения: а) 
б) 
в) 
г) 
Уроки 3, 4.
(урок-лекция)
Тема: « Методы решения уравнений, содержащих знак модуля».
Цели: 1) проверить усвоение материала прошлого урока;
2) рассмотреть алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля;
3) сформировать навыки решения уравнений, содержащих знак модуля.
План: 1) проверка домашнего задания;
2) самостоятельная работа;
3) Изучение нового материала. Алгоритмы решения уравнений, содержащих знак модуля:
4) упражнения на закрепление;
5) задание на дом.
Ход урока
1. Проверка домашнего задания.
Проверить ответы в домашнем задании. Выяснить, есть ли у обучающихся вопросы по домашнему заданию. При необходимости разобрать на доске уравнения, вызвавшие затруднения.
2. Самостоятельная работа.
I вариант | II вариант |
Решите уравнения: | |
1) | 1) |
2) | 2) |
3) | 3) |
4) | 4) |
Ответы: I вариант. 1)4; -2; 2)4; 3)нет корней; 4) 1.
II вариант. 1)-1;-7/3; 2)4; 3)нет корней; 4)4;1+√3.
3. Изложение нового материала.
Алгоритм решения уравнения 
.
1 способ. Уравнение вида равносильно совокупности систем
2 способ. Воспользуемся четностью функции 
. Нули этой функции будут существовать парами противоположных чисел: если х = а – корень, х = - а - тоже корень этого уравнения. Поэтому достаточно решить лишь одну из систем 1 способа и добавить в ответ числа, противоположные найденным корням.
Пример 1. 
Решение: 
Ответ: -2;2.
Пример 2. 
Решение: 
Ответ: -2;2.
Пример 3. (решить самостоятельно). 
Решение: 
Ответ: корней нет.
Алгоритм решения уравнения 
.
Уравнение данного вида равносильно совокупности 
Пример 4. 
Решение: 
Ответ: 
Пример 5. 
Решение: 
Ответ: 2.
Алгоритм решения уравнения 
Уравнение данного вида равносильно системе 
Пример 6. 
Решение: 
Ответ: 2.
Алгоритм решения уравнения 
Для решения уравнения выполним следующую последовательность шагов:
1) найдем нули всех подмодульных выражений;
2) отметим их на числовой оси, разбив ее, тем самым, на интервалы;
3) на каждом интервале определим знак каждого подмодульного выражения и раскроем модули по определению;
4) составим и решим совокупность смешанных систем.
Пример 7. 
Решение: 1) 
2)
х<-1 | -1≤х<3 | х≥3 | |
х-3 | - | - | + |
х+1 | - | + | + |
3) 
Ответ: -1.
Пример 8. 
Решение: 1) 
2)
х<-2 | -2≤x<3 | x≥3 | |
x+2 | - | + | + |
x-3 | - | - | + |
3) 
Ответ: 
.
4. Упражнения для закрепления.
( решают учащиеся на доске с комментариями)
1) 
;
Ответ: 1,5;4,5.
2) 
;
Ответ: 
.
3) 
;
Ответ: 1.
5. Задание на дом.
1) Материал лекции.
2) Решить уравнеия: а) 
;
б) 
;
в) 
г) 
д) 
е) 
Уроки 5,6
(урок практикум)
Тема: «Решение уравнений, содержащих знак модуля».
Цели: 1) сформировать навыки решения уравнений, содержащих знак модуля;
2) проверить усвоение способов решения уравнений с модулем.
План: 1) проверка домашнего задания;
2) закрепление изучаемого материала;
3) самостоятельная работа;
4) задание на дом.
Ход урока
1. Проверка домашнего задания.
Выполнить на доске задания б), в), е). Проанализировать, сколькими способами можно было решить первые три уравнения. Проверить ответы в оставшихся уравнениях. Ответить на возникшие вопросы.
2. Закрепление материала.
Решить уравнения, производя пояснения по следующему плану:
· Определить тип уравнения.
· Сформулировать алгоритм решения.
· По сформулированному алгоритму решить уравнение.
· Рассмотреть возможность решения уравнения другими способами.
Ответы: 
3.Самостоятельная работа.
I вариант | II вариант |
Решить уравнения: | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответы: I вариант. 
II вариант. 
4. Задание на дом.
Решить «красивейшие» уравнения: 
Урок 7,8
(урок обобщения и систематизации знаний)
Тема: « Комбинированные уравнения, содержащие знак модуля».
Цель: сформировать навыки решения комбинированных уравнений, содержащих знак модуля.
План: 1) проверка домашнего задания;
2) актуализация знаний;
3) изучение нового материала;
4) задание на дом.
Ход урока
1. Проверка домашнего задания.
Выполнить на доске решение уравнений №№1; 2; 4. Рассмотреть возможные способы их решения по алгоритму и с помощью анализа левой и правой частей уравнения.
2. Актуализация знаний.
1) решение простейших тригонометрических уравнений;
2)решение простейших ирациональных уравнений;
3) способы решения показательных уравнений;
4) способы решения логарифмических уравнений;
5) основные типы уравнений, содержащих модуль.
3. Изучение нового материала.
Пример 1. 
Решение: 
Ответ: 
Пример 2. 
Решение: Найдем область допустимых значений уравнения:
В найденном ОДЗ преобразуем знаменатель левой части равенства:
Тогда уравнение примет вид:
Решим уравнение с модулем по алгоитму:
Ответ: 
Пример 3. 
Решение:
Ответ: 
.
Пример 4. 
Решение:
Ответ: 
Пример 5. 
Решение:
Найдем ОДЗ: 
В ОДЗ перобразуем выражение:
Ответ:
3.Задание на дом.
Решить уравнения: 
Урок 9,10
(урок контроля знаний)
Контрольная работа по теме «Решение уравнений с модулем».
Цель: контроль за усвоением знаний и сформированностью умений решать уравнения, содержащие знак модуля.
Ход урока
1. Проверка домашнего задания.
Перед началом урока тетради с домашней работой сдаются на проверку.
2. Контрольная работа.
I вариант | II вариант |
1. Упростить выражения: | |
|
|
2. Решить уравнения: | |
1) | 1) |
2) | 2) |
3) | 3) |
4) | 4) |
5) | 5) |
3. Решить уравнения: | |
1) | 1) |
2) | 2) |
3) | 3) |
Ответы:
I вариант | II вариант | |
1. | -1 | -2 |
2. 1) | 1 | -0,25 |
2) | 0; 4; -1+√2 | -1; 1 |
3) | 1,5 | -0,5 |
4) | х≥1 | х≥1 |
5) | -2; -1 | -2-√2; -2+√2 |
3. 1) | π/2+πn; π/6+2πn; - π/6+2πn | π/2+πn; π+2πn; 5π/4+2πn; 3π/4+2πn |
2) | 1 | 2 |
3) | 3 | 2/3 |
Урок 11, 12
(урок обобщения и систематизации знаний)
Обобщение материала по теме «Уравнения с модулем»
Цель: проанализировать результаты контрольной работы; познакомить обучающихся с методами решения уравнений с модулем и параметром.
План: 1) анализ контрольной работы;
2) повторение теоретического материала;
3) решение уравнений с модулем и параметром;
4) задание на дом.
Ход урока
1. Анализ контрольной работы.
Сообщить результаты контрольной работы, проанализировать типичные ошибки, решить на доске уравнения, вызвавшие наибольшие затруднения у обучающихся.
Обратить внимание на различные способы решения уравнений и на ошибки допущенные при выполнении домашней работы.
2. Повторение теоретического материала.
Фронтальная беседа по следующим вопросам:
1) Что называют модулем действительного числа?
2) Перечислить основные свойства модуля (можно записать на доске).
3) Основные типы уравнений, содержащих знак модуля, и приемы их решения.
3. Решение уравнений с модулем и параметром.
Рассмотрим простейшие уравнения с модулем и параметром.
Пример 1. 
Решение:
Пример 2. Для каждого значения параметра р определите число корней уравнения 
Решение:
Пример 3. Решите уравнение для каждого значения параметра р:
Решение:
Распределение корней по числовой прямой в зависимости от параметра р, удобнее показать на числовой прямой.
Ответ:
Пример 4. Найдите все значения параметра а, при котором графики функций 
и 
имеют одну общую точку.
Решение:
Выполним над первой функцией равносильные преобразования:
Задача сводится к нахождению значений параметра а, при которых совокупность 
имеет единственное решение. Первое уравнение ни при каких значениях а решения не имеет. Решим второе уравнение:
Ответ: -3 ≤ а < -1.
4. Задание на дом.
Решить уравнения:
Литература
1. Алгебра и начала анализа 11класс. Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /под редакцией . – М.:Мнемозина, 2007. – 264с.
2. Алгебра и начала анализ 11 класс. Самостоятельные и контрольные работы / , .- М.:Илекса, 2007.-208с.
3. Математика 10-11 классы. Уравения и Неравенства. Приемы. Методы. Ршения. /.- Волгоград.: Учитель, 2009.-154с.
4. Уравнения, содержащие знак модуля. Математика. Элективный курс. / . – М.: Илекса, 2010.-64с.
5. Тематические тесты для подготовки к ЕГЭ по математике. /Учебное пособие /. – Ростов –на-Дону.: Феникс, 2004.-445с.
6. Тесты ЕГЭ разных лет.
