Метод балансных уравнений в теории газовых лазеров

Метод балансных уравнений в теории газовых

лазеров

Балансный метод или метод кинетических уравнений широко используется в теории твердотельнах мазеров и лазеров [1], [2]. В теории газовых лазеров этот метод не нашел применения, так как в этой теории необходимо учитывать более тонкие эффекты, которые или отсутствуют или не наблюдаются в твердотельных лазерах, такие как, например, однородное и неоднородное уширение линии в различных пропорциях между собой, разделение поля электромагнитной волны на две встречные волны, взаимодействие встречных волн через активную среду, конкуренция встречных волн, наличие изотопов и так далее.

В данной работе на конкретном примере He-Ne лазера будет показано, что всеже можно трансформировать балансный метод на теорию газовых лазеров, минуя все ограничения по насыщению и недостатки, которые имеет метод самосогласованных уравнений в теории газовых лазеров.

В смеси He-Ne наблюдается [3] линия 3,39 мкм, соответствующая переходу 5s - 4p. Верхний уровень этого перехода совпадает с уровнем перехода 5s - 3p с l=0,63 мкм, и можно получить одновременную генерацию на обеих линиях. Коэффициент усиления для инфракрасной линии велик, в связи с чем генерация на l=.63 мкм не возникает до тех пор, пока не увеличены потери резонатора для инфракрасного излучения. Для исследования взаимодействия переходов с длинами волн 0.63 мкм и 3.39 мкм имеющих общий верхний уровень нет необходимости рассматривать все энергетические уровни, достаточно рассмотреть энергетическую схему уровней, показанную на рис.1.

Согласно балансного метода [1] можно составить систему кинетических уравнений для нахождения населенностей четырехуровневой системы для неподвижных атомов активной среды, согласно схемы на рис.1.

(1)

где , - вероятности перехода атомов с - уровня на - уровень спонтанного и индуцированного переходов соответственно, - коэффициент Эйнштейна при нулевой отстройке от центра однородно уширенной линии взаимодействия, - плотность энергии соответствующей линии перехода.

Затем, на определенном этапе решения задачи, результат решения для неподвижных атомов будет трансформирован на ансамбль движущихся атомов.

4

P14

P43

3

P42

2

P31

P21

P41

1

 

Рис. 1.

При , при неизменных вероятностных параметрах система переходит в стационарный режим, когда . Необходимо определить четыре неизвестные величины из пяти уравнений. Легко убедиться, что четвертое уравнение является линейной комбинацией первых трех уравнений, поэтому его можно исключить из системы уравнений. Подставим пятое уравнение в первое уравнение, понизив порядок определителя системы уравнений. С учетом сказанного имеем:

(2)

Определитель системы D¹0. Система имеет одно решение. Корни выражаются формулами Крамера [4]

, , (3)

где

(4)

(5)

При этом учитывалось, что скорость накачки

Разности населенностей в каналах 0.63 мкм и 3.39 мкм имеют следующую зависимость.

(6)

Следует отметить, что наличие инверсии в обоих каналах зависит от соотношения величин вероятностей перехода для соответствующих каналов, а именно должно быть: и . Также следует отметить эффект блокировки одного канала другим при соответствующих условиях. Например, при все атомы оседают на третьем уровне, так как из него нет выхода. При этом инверсию в канале 4-2 невозможно получить ни положительную ни отрицательную. При наличии излучения в канале 4-3 () это излучение является накачкой для уровня 4, так как переводит атомы с уровня 3 на уровень 4 с поглощением квантов излучения канала 4-3. При этом уровень 3 разблокируется через верхний уровень и появляется инверсия в канале 4-2. И наоборот, можно рассмотреть блокировку и разблокировку канала 4-3 каналом 4-2 при соответствующих условиях. Так что, помимо эффекта конкуренции за счет насыщения в связанных переходах через верхний рабочий уровень, существует эффект блокировки и разблокировки параллельно накачке.

Ненасыщенные разности населенностей имеют следующие значения соответственно

(7)

Насыщенные разности населенностей выразим через ненасыщенные и представим в виде, удобном для дальнейших исследований:

(8)

где были введены обозначения

(9)

а величина - характеризует эффект разблокировки уровня, связанного с соответствующим через общий рабочий уровень, и играет роль дополнительной накачки помимо соответствующих коэффициентов насыщения .

Если ансамбль атомов с концентрацией N находится в стационарном состоянии и распределен по энергетическим уровням согласно формул (3), (4), (5), в этом ансамбле распределение атомов все равно является динамическим, т. к. в ансамбле атомов постоянно совершаются переходы с одного энергетического состояния в другое при неизменных населенностях этих энергетических состояний. Вероятность спонтанного перехода с уровня 4 на уровень 3 и 2 в единицу времени определяется как , . Мощность спонтанного излучения с уровня 4 соответственно - и .

Вероятность индуцированного перехода атомов с уровня 4 на уровень 3, 2 в единицу времени , . Мощность вынужденного излечения с уровня 4 - , . Мощность вынужденного поглощения с уровней 3 и2 на уровень 4 - , .Время взаимодействия плотности энергии электромагнитного излучения со слоем среды следующее: , где - скорость распространения электромагнитной волны в среде. Энергия индуцированного излучения, выделяемая слоем среды за время взаимодействия :

(10)

Для слоя среды длиной имеем соответственно:

,

, (11)

где - плотность энергии поля электромагнитной волны на входе активной среды, - плотности энергии поля на выходе активной среды, согласно схемы лазера (рис.2)

 

R R

Рис. 2.

Где - длина активной Среды,

R - коэффициент отражения зеркал.

Представим соотношение (11) в форме, удобной в дальнейших исследованиях, с учетом распределения потерь в среде, при этом приращение плотности энергии поля за один проход сквозь активную среду запишется:

(12)

где - коэффициент нерезонансного поглощения или рассеяния энергии поля на единицу длины активной среды,

- коэффициент усиления энергии поля электромагнитной волны

для активной среды на единицу длины, который равен

(13)

Решение уравнения (10) можно записать в другом более удобном виде:

(14)

В условиях стационарной генерации приращение плотности энергии электромагнитной волны за один проход сквозь активную среду или отношение должно компенсироваться потерями на зеркалах (пропусканием зеркал) - потерями на излучение лазера. Волна на выходе одного направления с плотностью энергии после отражения от зеркала превращается в волну противоположного направления с начальной плотностью энергии на входе активной среды. Поэтому в условиях симметрии, когда R1=R2=R, уравнения прямого и обратного направления идентичны и можно записать

, (15)

то же в другом виде:

. (16)

Перенеся потери в левую сторону, получим:

, (17)

где

. (18)

До сих пор рассматривалось взаимодействие двух линий излучения l=0.63 мкм и l=3.39 мкм с активной средой при неподвижных атомах. При этом были показаны возможности балансного метода при рассмотрении такого взаимодействия. Взаимодействие электромагнитного излучения с газовой активной средой является более сложным явлением, так как необходимо учитывать кроме однородного уширения, так и неоднородное уширение линии излучения, связанное с эффектом Доплера в газовой среде. Поэтому, чтобы не загромождать текст сложными формулами, для начала рассмотрим одноволновый режим генерации для l=0.63 мкм, когда . Из (8), (13) следует

(19)

Плотность энергии поля электромагнитной волны внутри активной среды представляет собой энергию суммы двух волн встречных направлений

=

,

или

, (20)

где , - амплитуды полей волн встречных направлений,

- круговая частота,

- волновой вектор.

При вычислении интеграла в соотношении (17) , который после вычисления равен

(21)

было учтено, что при R1=R2 и незначительных (5-10%) коэффициентах усиления сумма плотности энергий волн встречных направлений практически не зависит от координаты z внутри активной среды (Рис. 3). Подинтегральное выражение раскладывалось в ряд по третьему слагаемому в знаменателе, имеющему зависимость от координаты z, затем вычислялся интеграл . При этом первый член разложения после интегрирования давал добавку порядка , которой можно пренебречь.

 

 

R 0 R

Рис. 3

Решение (17), (18), (19) можно записать

(22)

где - среднее значение плотности энергии волны одного направления внутри активной среды.

Из (22) следует

(23)

Плотность энергии на выходах лазера

. (24)

Так так

, (25)

что следует из рис. 3, можно записать

, (26)

где , , , . (27)

Таким образом задача для неподвижных, с однородно уширенной линией, атомов активной среды решена. Мода резонатора настроена на центр однородно уширенной лоренцевской линии. Если есть отстройка от центра линии, коэффициент Эйнштейна в формулах (26), (27) выразится таким образом

, (28)

где - частота центра однородно уширенной линии индуцированного взаимодействия электромагнитного поля с активной средой,

- частота моды резонатора,

- полуширина лоренцевской формы линии.

Вероятность индуцированного перехода атома с одного энергетического уровня на другой можно представить таким образом

, (29)

где - коэффициент индуцированного взаимодействия атома активной среды с полем электромагнитного излучения.

- поле электромагнитной волны.

При наличии отстройки от центра линии, для однородно уширенной линии активной среды плотность излучения на выходе лазера согласно соотношений (26), (27), (28) выразится такой формулой

. (30)

Рис. 3’

Здесь графически изображена зависимость (30) относительной плотности энергии внутри среды одного из направлений генерации лазера от отстройки моды резонатора относительно центра однородно уширенного контура усиления. Как видно из графика, зависимость имеет не лоренцевскую форму линии.

Для ансамбля атомов неоднородно уширенной линии, движущихся в направлении, совпадающем с направлением распространения индуцирующего поля электромагнитной волны, имеющие проекцию скорости на ось z в интервале частот и имеющие инверсную разность населенностей

, (31)

получается (за счет эффекта Доплера) следующая зависимость для коэффициента индуцированного перехода атомов с однородно уширенной линией

. (32)

где - постоянная Больцмана,

- наиболее вероятная скорость максвелловского распределения атомов по скоростям газового состояния

Для суммы двух встречных волн индуцирующего поля, вероятность индуцируемого перехода атомов, согласно (29), равна

, (33)

где - волновой вектор электромагнитного поля индуцирующего излучения, (к. с.) - комплексное сопряжение выражения, заключенного в предыдущих скобках.

Соотношение (17) является основным условием существования стационарной генерации. До сих пор в этом соотношении не конкретизировался контур линии усиления. Наполним это соотношение информацией об однородном и неоднородном (доплеровском) уширении.

, (17)

где насыщенный коэффициент усиления равен

. (13)

Дифференциал насыщенного коэффициента усиления для выделенного ансамбля атомов в интервале скоростей атомов определится следующим соотношением

(34)

Насыщенная разность населенностей определяется, учитывая (8), (9), соотношением

, (8)

где А и В определяется (7). Обозначив , из (8), (13), (19) получим

. (35)

Прежде, чем подставить соотношения (31), (32), (33) в соотношение (35), приведем соотношение (33) к виду, удобному для дальнейших исследований.

, (36) где множитель r и фазы равны соответственно:

(37)

Подставим соотношения (31), (32), (36) в формулу для дифференциала коэффициента усиления (35) и произведем интегрирование левой и правой части этого соотношения.

. (38)

Где введены обозначения: (39)

F(0) - нормировочный множитель.

Распределение атомов в газе по проэкции скорости на ось z нормировано. Введение лоренцевского однородного уширения нарушает нормировку. Чтобы нормировать ненасыщенный коэффициент усиления, учитывающий как однородное, так и неоднородное уширение, был введен нормировочный множитель, нормирующий интеграл ненасыщенного коэффициента усиления на единицу при отстройке равной нулю от центра контура усиления

. (40)

Если обозначить подъинтегральное выражение в соотношении (38) как , то основное условие существования стационарной генерации (17) запишется таким образом:

. (41)

Используя формулу интегрирования под знаком интеграла [5] , изменим порядок интегрирования в соотношении (41).

(42)

Интегрирование подъинтегрального выражения по координате z сведется к интегрированию множителя подъинтегрального выражения, зависящего от координаты z.

(43)

Если учесть, что интенсивности встречных волн , практически не зависят от координаты z, а это возможно при насыщенных коэффициентах усиления равных несколько процентов, когда коэффициенты отражения зеркал резонатора близки к единице, при этом интенсивность излучения внутри лазера на два порядка выше, чем интенсивность на выходе этого лазера, и слабо зависит от координаты z, то знаменатель подъинтегрального выражения можно разложить в ряд по слагаемому, содержащему функцию , которая зависит от координаты z. Интегрирование первого слагаемого ряда даст добавку с множителем , которой можно пренебречь. Также можно пренебречь и последующими слагаемыми, которые еще меньше, чем первое. В итоге интеграл (43) будет равен:

(44)

С учетом перечисленных условий, учтенных при выводе формулы существования стационарной генерации газового лазера, соотношение (41) примет вид

, (45)

где - интенсивность или плотность энергии электромагнитной волны внутри активной среды, - коэффициент насыщения активной среды, - ненасыщенный коэффициент усиления активной среды, - нормировочный множитель интегральной функции неоднородно уширенного, насыщенного контура усиления активной среды.

Соотношение (45) запишем в относительном виде, который удобно применять при решении задачи на ЕВМ

, (46)

где - относительный коэффициент потерь по отношению к ненасыщенному коэффициенту усиления.

Следует отметить, что в формулах (45), (46) нет ограничений на величину плотности энергии внутри активной среды. Ограничения только есть на величину насыщенного коэффициента усиления, он должен быть намного меньше единицы, при котором плотность энергии практически не зависит от координаты длины трубки. При условии стационарной генерации коэффициент потерь должен быть равен насыщенному коэффициенту усиления, поэтому задача разрешима при величине коэффициента потерь намного меньшей единицы.

Интеграл функции (45) неоднородно уширенного, насыщенного контура усиления не решается, также нельзя вынести из под знака интеграла величину плотности энергии, чтобы записать ее функцию в явном виде, поэтому задачу можно было решить только с помощью вычислительной машины. Для этого была составлена программа на языке FORTRAN, в которой вычислялся интеграл функции насыщенного контура усиления при определенной отстройке от центра контура усиления для различных значений плотности энергии внутри среды. При этом нормированный интеграл контура усиления принимал различные значения в зависимости от величины плотности энергии. За истину бралось то значение плотности энергии при данной отстройке, при котором соблюдается равенство (46).

6/20/01

Графики значений плотности энергии внутри активной среды в зависимости от отстройки относительно центра контура усиления приводится ниже на рис. 4 при следующих параметрах активной среды:

1. (m/cek)2 - квадрат наиболее вероятной скорости атомов газовой активной среды, что соответствует неоднордному доплеровскому уширению линии контура усиления МГц.

Гц - ширина однородно уширенного лоренцевского контура усиления линии.

m - длина волны электромагнитного излучения.

- относительный уровень потерь по отношению к коэффициенту усиления.

2. (m/cek)2 - квадрат скорости атомов, что соответствует доплеровскому уширению линии Мгц при тех же остальных параметрах, что имеет верхний график.

Рис. 4

Здесь по оси y отложена относительная интенсивность по отношению к обратной величине коэффициента насыщения. По оси х отложена - отстройка частоты электромагнитного излучения относительно частоты центра контура усиления.

На рис. 4 видно, что плотность энергии электромагнитного излучения внутри активной среды в зависимости от отстройки имеет провал в центре контура усиления. Этот же провал наблюдается экспериментально в выходной мощности лазера, которая равна

(47) где - площадь сечения луча волны электромагнитного излучения, - скорость распространения электромагнитной волны, - плотность энергии волны электромагнитного излучения какого либо направления, - коэффициент отражения зеркал резонатора.

Впервые теоретически это было отмечено в работе [6].

Причина провала в контуре плотности энергии электромагнитного излучения в зависимости от отстройки частоты от центра контура усиления заключается в том, что не все атомы неоднородно уширенного контура усиления активной среды одновременно участвуют в усилении волны какого либо направления. Неоднородно уширенный контур усиления активной среды состоит из набора однородно уширенных лоренцевских контуров усиления, смещенных по частоте относительно центра неоднородно уширенного контура усиления за счет эффекта Доплера в соответствии с имеющейся скоростью движения атомов в данном наборе.

Усиливает волну каждого направления однородно уширенный лоренцевский контур усиления. В зависимости от отстройки частоты электромагнитной волны от центра контура усиления волна усиливается своим лоренцевским контуром усиления, смещенным на ту же величину эффектом Доплера. Волна противоположного направления усиливается другим лоренцевским контуром усиления, симметрично расположенного к первому относительно центра неоднородно уширенного контура усиления. Генерация лазера состоит из двух волн встречных направлений, так как на зеркалах резонатора одна волна переходит в другую. Если эти лореренцевские контуры не перекрываются, интенсивность генерации лазера имеет максимум, так как усиливается двумя однородно уширенными лоренцевскими контурами усиления и имеет максимум усиления.

При дальнейшей отстройке частоты генерации относительно частоты центра контура усиления лоренцевские однородно уширенные контуры усиления уменьшаются по величине по закону Гауса, при этом коэффициент усиления падает и уменьшается интенсивность генерации лазера.

Для частоты генерации в центре неоднородно уширенного контура усиления имеется один усиливающий однородно уширенный контур усиления, так как для неподвижных атомов отсутствует эффект Доплера и две волны запитываются одним и тем же однородно уширенным контуром усиления. При этом коэффициент усилени и интенсивность меньше чем, когда две волны запитываются двумя однородно уширенными контурами усиления при соответствующей отстройке частоты генерации относительно частоты центра контура усиления.

Глубина и ширина провала зависит от превышения ненасыщенного коэффициента усиления над коэффициентом потерь, от того, в каком соотношении между собой находятся величины однородного лоренцевского и неоднородного доплеровского уширения, причем на все эти величины нет ограничений. Интеграл функции соотношения (45) с помощью вычислительной машины решает все при условии слабой зависимости плотности энергии внутри активной среды от координаты длины трубки. Это является единственным ограничительным условием.

Метод балансных уравнений в теории газовых лазеров также может учитывать наличие нескольких изотопов в активной среде, частоты центров неоднородно уширенных контуров усиления которых различны и центры смещены по отношению друг к другу. Так, например, соотношение (45), (46) для двух изотопов в произвольной пропорции запишется так

, (48)

где - частоты центров контуров усиления соответствующих изотопов,

- коэффициенты, характеризующие процентное соотношение количество атомов изотопов.

Такая запись возможна, так как коэффициенты потерь и коэффициенты усиления являются аддитивными составляющими экспоненциального множителя.

Графики значений плотности энергии внутри активной среды, содержащей два изотопа, в зависимости от отстройки относительно центра контура усиления первого изотопа приводится ниже при следующих параметрах активной среды:

(m/cek)2 - квадрат наиболее вероятной скорости атомов каждого изотопа газовой активной среды, что соответствует неоднородному доплеровскому уширению линии контура усиления Мгц..

Мгц - ширина однородно уширенного лоренцевского контура линии усиления для двух изотопов.

m - длина волны электромагнитного излучения.

- относительный уровень потерь по отношению к коэффициенту усиления.

Рис. 5

Здесь, на рис.5 показан график зависимости интенсивности генерации от отстройки частоты генерации относительно центра контура усиления первого изотопа с содержанием x1=1. Содержание второго изотопа x2=0.1. Центр контура усиления второго изотопа отстоит от первого на величину 100 Мгц.

На графике заметна небольшая ассиметрия контура интенсивности генерации лазера.

На рис. 4 этот же график симметричен, причем максимум отстоит от центра на величину 150 Мгц. Если частоту центра второго изотопа сместить на величину 300 Мгц по отношению к частоте центра линии усиления первого изотопа, то правый максимум первого изотопа совпадет с левым максимумом второго изотопа и усилится. Контур интенсивности генерации газового с двумя изотопами лазера с провалом и максимумами разной высоты показан на рис.6.

Рис. 6.

Здесь содержания изотопов относятся как 1 к 0.1 , при смещении на 300 Мгц частот центров контуров линий усиления. Провал с максимумами различной высоты часто наблюдается на эксперименте.

Рис. 7.

Здесь содержания изотопов относятся как 0.5 к 0.5 при частотном смещении центров в 300 Мгц. График интенсивности имеет один общий максимум для двух изотопов и два еле просматривающиеся провала на склонах. В принципе, теоретически, манипулируя содержанием изотопов, величинами однородного и неоднородного уширения, частотным смещением центров контуров усиления изотопов, можно получить любой график зависимости интенсивности генерации лазера от частотной отстройки, который можно наблюдать на эксперименте.

Литература

1. А. Сигмен, Мазеры, 221, (1966).

2. Под редакцией , Методы расчета оптических квантовых генераторов, Т1,15, (1966).

3. Bloom A. L., Bell W. E., Rempel R. C., Appl. Optics, 2 (19

4. , , Справочник по физике, 149, (1962).

5. Под редакцией и , Квантовая оптика и квантовая радиофизика, 336, (1966).