Применение CC-VAR к некоторым классам вероятностных распределений для базовых активов

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИМ. А. А. ДОРОДНИЦЫНА РАН

СООБЩЕНИЯ ПО ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКЕ

Г. А. АГАСАНДЯН

ПРИМЕНЕНИЕ CC-VAR К НЕКОТОРЫМ
КЛАССАМ ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
ДЛЯ БАЗОВЫХ АКТИВОВ

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР ИМ. А. А.ДОРОДНИЦЫНА

РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

Москва 2011

УДК 519.685

Ответственный редактор

доктор техн. наук

В работе рассматриваются примеры построения оптимальных по континуальному критерию VaR портфелей для некоторых известных теоретических классов вероятностных распределений, каждым из которых описываются как прогнозные вероятности для базового актива, так и текущие цены так называемых δ-инструментов. Для каждого класса изучаются аналитические свойства функции относительных доходов и определяются основные характеристики инвестиции, такие как оператор упорядочения, весовая функция оптимального δ–портфеля, кумулятивная ценовая функция, средний доход, инвестиционная сумма. Приводятся конструкции оптимальных по используемому критерию опционных портфелей.

Ключевые слова: базовый актив, функция рисковых предпочтений инвестора, континуальный критерий VaR, классы функций распределения вероятности, прогнозная плотность, ценовая плотность, функция относительных доходов, оптимальный портфель, опционы.

Рецензенты: ,

Научное издание

ã Учреждение Российской академии наук

Вычислительный центр им. РАН, 2011

Континуальный критерий VaR (CC-VAR), введенный в работах автора [1-3], требует, чтобы строящийся из имеющихся на рынке инструментов портфель инвестора порождал случайный доход q, удовлетворяющий неравенствам P{q ³ f(e)} ³ 1–e для всех eÎ[0,1] (P{M} – вероятность множества M с точки зрения инвестора). Неотрицательная, монотонно возрастающая и непрерывная функция f(e) задается инвестором и определяет его рисковые предпочтения. Типичным примером может служить функция f(e) = el, eÎ[0,1]; чем больше параметр l, тем более инвестор готов рисковать ради увеличения средней доходности.

Исходной для применения CC-VaR является модель теоретического однопериодного рынка, в основе которого лежит некоторый базовый актив (например, акция). Таковым является, в частности, теоретический однопериодный рынок опционов, страйки которых могут быть любыми вещественными числами. В [4] приводятся основные схемы применения критерия и построения оптимального портфеля.

В данной работе предлагается анализ применения CC-VaR в задачах построения оптимального портфеля на опционных рынках, когда рыночная и прогнозная плотности вероятности для базового актива принадлежат одному и тому же семейству вероятностных распределений. Рассмотрение проводится для некоторых часто встречающихся в научной литературе семейств. В ряде случаев удается получить точные теоретические результаты.

1. Теоретический рынок δ-инструментов

Рассматривается теоретический однопериодный рынок, в основе которого лежит некоторый базовый актив (например, акция). При получении аналитических результатов цены продавца и покупателя предполагаются равными, комиссионные равны нулю, а страйки опционов могут быть любыми вещественными числами. В применении к реальному рынку результаты могут рассматриваться как аппроксимация.

Один экземпляр актива обозначается X. Известна его цена |X| в начале периода (таким способом мы обозначаем рыночные цены для всех инструментов). В конце периода цена актива x случайна, xÎX = [a,b) Ì Â (Â – множество всех вещественных чисел, параметр a может принимать значение нуль или даже –¥, а параметр b – значение +¥). При этом ее "истинная" плотность вероятности неизвестна, если о ней вообще можно говорить. Но участник рынка, с точки зрения которого проводится анализ, формирует для нее свой прогноз в виде плотности вероятности p(x) – прогнозной плотности. На рынке можно строить и торговать любыми инструментами G, доход по которым представим в виде произвольной измеримой платежной функции g(x), xÎX, обозначаемой π(x; G), т. е. π(x; G) ≡ g(x).

Инструменты теоретического рынка

Базисными инструментами теоретического рынка (d-рынка) являются обобщенные d-инструменты, обозначаемые D(s), sÎX, и вводимые по аналогии с обобщенной d-функцией из математического анализа. Имеет место π(x; D(s)) ≡ d(x–s), где d(x–s) – d-функция относительно s (она дает нулевой доход, если x ¹ s, и бесконечный, если x = s, притом интеграл от нее по множеству X равен единице). Платежную функцию D(s) можно рассматривать как предел платежной функции баттерфляя, образованного страйками s–D, s и s+D, в количестве 1/D при стремлении D к нулю. Стоимость
d-инструментов задается рынком, |D(s)| = c(s), sÎX. Без ущерба для общности предполагается, что функция c(s) обладает свойствами плотности вероятности, ее называем ценовой плотностью.

Из инструментов D(s) можно строить фактически любые портфели. Так, портфель G с произвольной измеримой платежной функцией g(x) может быть представлен в виде континуальной (интегральной) комбинации базисных инструментов D(s) с весами g(s), именно

, (1)

а его цена рассчитывается по формуле

.

В частности, рассматриваются общеизвестные колл-опционы C(s) и пут-опционы P(s) на базовый актив X для произвольного страйка sÎX. Их платежные функции соответственно равны π(x; C(s)) = max(x–s, 0) и π(x; P(s)) = max(s–x, 0), x, sÎX. Для коллов, путов и их цен имеют место соотношения

(2)

Из них следует теорема паритета пут-колл:

На основе коллов вводятся инструменты C'(s) и C"(s), sÎX, – первая и вторая производные единичного колла соответственно. Эти производные берутся по s и понимаются в обычном математико-аналитическом смысле, при этом

π(x; C'(s)) = –χ{x≥s}(x), π(x; C"(s)) = d(x–s), x, sÎX.

где χM(x) – характеристическая функция множества M. Аналогично на основе путов вводятся P'(s) и P"(s), при этом

π(x; P'(s)) = χ{x<s}(x), π(x; P"(s)) = d(x–s), x, sÎX.

Для первых производных имеют место соотношения:

Здесь H{M} – инструмент "индикатор множества M", N – "нулевой" инструмент, FC(s) – функция распределения для меры C{·}. Соответствующие формулы паритета:

Для вторых производных имеют место соотношения:

, (3)

которые также могут рассматриваться как формулы паритета.

Представления портфелей опционов

С помощью коллов и путов можно строить различные (вообще говоря, континуальные) портфели опционов, реплицирующие любой инструмент G с платежной функцией g(x) весьма произвольного вида. При этом в силу теорем паритета пут-колл для таких портфелей допускаются разные представления. Можно, например, ограничиться одними коллами или одними путами. Но возможны и смешанные представления с использованием как коллов, так и путов. Условимся, что g(x) ≥ 0, поскольку в противном случае в соответствии с требованиями реальных рынков начинают работать маржевые инструменты, фактически трансформирующие платежную функцию в неотрицательную.

Прямым аналогом (1) служат представления того же инструмента через коллы или путы, вытекающие из (3):

.

В качестве смешанного представления можно предложить, например, портфель

. (4)

Здесь при s < υ используются путы, при s ³ υ – коллы; здесь υ – некоторая цена базового актива, близкая к текущей (и ожидаемой будущей), которую будем называть центром рынка. Такие представления портфелей по соображениям, связанным с функционированием реального рынка, можно считать естественными.

Формально допустимы и неестественные смешанные представления, когда при s < υ используются коллы, при s ³ υ – путы:

. (5)

Из выписанных представлений однократным интегрированием по частям можно получить представления в терминах первых производных от коллов и путов, а двукратным – самих коллов и путов. Сначала займемся первой задачей. В качестве естественного представления интегрированием по частям обоих интегралов в правой части (4) по одному разу получаем

(6)

Подставляя в него υ = a, b, получаем также соответственно

, . (7)

Аналогично для неестественного представления с учетом (5) имеем

(8)

При υ = a, b неестественные представления совпадают с естественными (формулы (7)) соответственно при υ = b, a.

Маржевые требования накладывают ограничения на возможность реализации представления (8). Так, при g(a) + g(b) – g(υ) < 0 оно становится нереализуемым, поскольку требует возврата инвестору суммы |g(a) + g(b) – g(υ)|, что правилами рынка не предусматривается (эффект "отрицательной маржи"). Подобная ситуация на реальном рынке возникает, например, при желании организовать длинный баттерфляй (или длинный кондор) из левого колл-спрэда быка и правого пут-спрэда медведя. Подобного ограничения для естественного представления (6) в силу условия g(υ) ≥ 0 не возникает.

Применительно к рассматриваемым далее задачам из всего множества выписанных выше представлений портфелей мы ограничиваемся лишь естественными представлениями с выделением некоторого центра рынка (условного или определяемого некоторыми особенностями задачи). При этом портфели строятся для функций g(x) одного из четырех типов: (1) монотонно возрастающих (вариант ↑), (2) монотонно убывающих (вариант ↓), (3) унимодальных с минимумом (вариант ↓↑) и (4) унимодальных с максимумом (вариант ↑↓). В двух последних случаях предполагается равенство g(a) = g(b), а в качестве центра рынка выбирается точка экстремума платежной функции.

Портфели в терминах P'(x) и C'(x).

Для монотонно возрастающей функции g(x) (вариант ↑)

,

монотонно убывающей (вариант ↓) –

,

унимодальной с минимумом в точке x = υ (вариант ↓↑) –

, g(υ) = f(0), (9)

унимодальной с максимумом в точке x = υ (вариант ↑↓) –

, g(υ) = f(

Внеинтегральные слагаемые означают безрисковые вложения и играют двоякую роль. Они, во-первых, обеспечивают выполнение CC-VaR и, во-вторых, идут на погашение маржевых требований по коротким позициям. В выписанных представлениях M – обозначение маржевого инструмента (группируется с соответствующими инструментами), фактически π(x; M) ≡ π(x; U) ≡ 1. Эти портфели преобладают в дальнейшем изложении.

Несмотря на кажущееся сходство всех четырех представлений, в содержательном плане они имеют различия, которые подчеркиваются соответствующей группировкой слагаемых в портфеле. В варианте ↑ инструмент M нацелен (не обязательно целиком) на погашение маржевых требований, возникающих для компоненты с путами, в варианте ↓ – с коллами, в варианте ↑↓ – с теми и другими. В варианте ↓↑ он вовсе не требуется. □

Портфели в терминах P(x) и C(x).

Полученные представления портфелей в виде интегральных комбинаций колл - и пут-спрэдов повторным интегрированием по частям можно трансформировать в представления в терминах самих коллов и путов. Имеет место соотношение

(11)

Здесь окончательные представления зависят от аналитических свойств функции g(x). В некоторых рассматриваемых далее задачах интерес представляют функции g(x) с особенностями. Сообразно этому приведем несколько представлений. Так, при условии |g'(υ)| < ¥ из (11) получаем

(12)

Это представление, справедливое для произвольного υÎX, более удобно в применении к реальному рынку для функций g(x) с ограниченной вариацией. Если υ = a, b, соответственно имеем

.

При условии |g'(υ)| = ¥ (особенность типа "острие", возникающая, как правило, лишь в варианте ↓↑) можно воспользоваться иным в сравнении с (12) представлением:

(13)

Портфели такого типа приводятся лишь при анализе примеров из разд. 2. Во многом это связано с тем, что для них удается получить аналитические результаты с наибольшей полнотой. □

Основные четыре схемы построения
оптимального портфеля

В последующих разделах будут рассмотрены примеры построения оптимальных по CC-VaR портфелей для классов теоретических распределений, которыми описываются одновременно и прогнозные, и ценовые плотности. В связи с этим проведем некоторую подготовительную работу.

Принимается, что инвестор всю инвестиционную сумму направляет на выполнение ограничений CC-VaR, т. е. в терминологии [4] решает задачу CB. В задачах, для которых аналитическое исследование может быть доведено до получения конечных формул, рисковые предпочтения инвестора для определенности описываются функцией f(ε) = ελ, εÎ[0,1], λ > 0.

Как принято в задачах с CC-VaR, метод построения оптимального портфеля должен учитывать различие между двумя плотностями c(x) и p(x). Алгоритм основан на применении известной из математической статистики процедуры Неймана-Пирсона (см., например, [5]). Суть его состоит в упорядочении по величине относительного дохода ρ(x) = p(x)/c(x), xÎX, для чего используется его параметризация

ρ(x) = τ, τ ≥ 0,

которая порождает монотонно возрастающую функцию упорядочения f(τ) со значениями εÎ[0,1] (см. [4], но там для нее использовалось иное обозначение ν(τ)).

В каждом из примеров, рассматриваемых далее, функция ρ(x) оказывается одним из четырех типов, о которых говорилось выше в отношении функции g(x). При этом следует иметь в виду, что в силу монотонного возрастания функций f(ε) и f(τ), а также тождества g(x) ≡ f(f(ρ(x))), xÎX, функции g(x) и ρ(x) ведут себя схожим образом. Сообразно этому используются четыре схемы построения портфеля из работы [4].

Вариант ↑. Схема (1) применяется, когда инвестор считает, что цены базового актива окажутся выше, чем об этом свидетельствуют цены опционов (игра на повышение):

,

;

,

Вариант ↓. Схема (2) применяется, когда инвестор считает, что цены базового актива окажутся ниже, чем об этом свидетельствуют цены опционов (игра на понижение)

Вариант ↓↑. Схема (3) применяется, когда инвестор считает рынок более волатильным, чем об этом свидетельствуют цены опционов (так называемая покупка волатильности):

Вариант ↑↓. Схема (4) применяется, когда инвестор считает рынок менее волатильным, чем об этом свидетельствуют цены опционов (так называемая продажа волатильности):

2. Двустороннее экспоненциальное распределение

Двустороннее экспоненциальное распределение (его еще называют вторым распределением Лапласа), которое будем обозначать Exp(μ, α), имеет плотность

, ,

с математическим ожиданием EΧ = μ и дисперсией DΧ = 2α2, Χ – соответствующая случайная величина (для наших целей Χ – будущая цена базового актива). При такой ценовой плотности цены коллов и путов определяются по формулам (2), и они соответственно равны

а паритет пут-колл дается равенством

.

Свойства функции ρ(x)

Положим p(x) ~ Exp(μ, α), c(x) ~ Exp(μ, β) и β ≠ α, т. е. с самого начала предполагается, что обе плотности симметричны и их центры симметрии совпадают с μ. В силу симметрии задачи далее полагаем μ = 0, т. е. под x будем понимать не будущую цену базового актива, а ее отклонение от своего среднего.

Поскольку

, , ,

то в предположении μ = 0 функция относительных доходов принимает вид

.

Параметризация ρ(x) = τ, где 0 ≤ τ ≤ β/α при α < β и τ ≥ β/α при α > β, порождает две обратные к ρ(x) функции

, .

(В парных равенствах первому элементу слева отвечает нижний знак справа.)

Поведение функции ρ(x) определяется значениями α и β. Рассмотрим два случая: α < β и α > β. В первом случае функция ρ(x) возрастает при x < 0, убывает при x > 0 и в точке x = 0 имеет максимум, во втором – убывает при x < 0, возрастает при x > 0 и в точке x = 0 имеет минимум.

В первом случае предполагается, что прогнозная дисперсия меньше рыночной, т. е. инвестор рассчитывает на более стабильное поведение базового актива, чем рынок в целом. Во втором случае рынок и инвестор меняются ролями. В первом случае инвестор продает волатильность, во втором – покупает.

Только эти две задачи мы и будем рассматривать для данного распределения, оставляя за рамками изложения исследование задач с играми на повышение и понижение. Это обусловлено повышенными техническими трудностями анализа вследствие наличия модуля в показателе экспоненты. Этим же объясняется и сделанное нами ранее предположение о совпадении средних для обеих плотностей. Тем не менее схемы игры на повышение и понижение, относящиеся с точки зрения анализа, вообще говоря, к более простым задачам, будут рассмотрены для прочих распределений.

Построение оптимального портфеля при α < β

В случае α < β инвестор считает рынок менее волатильным, чем об этом свидетельствуют цены опционов. В данной задаче упорядочение функции ρ(x) по величине очевидно и применяется схема (4) предыдущего раздела. Некоторые отклонения от схемы суть упрощения, связанные с очевидной симметрией задачи. Имеем

.

В силу симметрии задачи

,

, ,

,

,

,

,

– (1–ε/2)-квантиль распределения Exp(0, α).

В силу той же симметрии

;

,

.

Далее используется обозначение θ = λ/α.

;

,

;

, ,

– доходность инвестиции.

В соответствии с (10) оптимальный портфель в терминах пут - и колл-спрэдов дается смешанным представлением

,

а в соответствии с (12) в терминах самих путов и коллов –

.

Платежная функция этого портфеля однозначно определяется параметром θ, вобравшим в себя как прогноз инвестора (α), так и его рисковые предпочтения (λ). Чем меньше α (больше расхождение прогноза и рынка) и больше λ (больше склонность инвестора к риску), тем более острым выглядит пик функции g(x) при x = 0 и больше доходность y.

Отметим, что построенный портфель является некоторым континуальным усложнением длинного баттерфляя, фактически выполняющего на реальном рынке ту же функцию – продажу волатильности (см., например, [6]).

Построение оптимального портфеля при α > β

В случае α > β инвестор считает рынок более волатильным, чем об этом свидетельствуют цены опционов. В данной задаче упорядочение функции ρ(x) по величине также очевидно и применяется схема (3) предыдущего раздела. И здесь некоторые упрощения схемы связаны с симметрией задачи. Последовательно имеем

,

,

, ,

.

Это соотношение означает, что

– (1/2+ε/2)-квантиль распределения Exp(0, α).

.

,

;

, ,

;

, ;

, ,

,

.

Оптимальный портфель из спрэдов в соответствии с (9) дается смешанным представлением

.

Характер представления оптимального портфеля собственно из опционов определяется значением параметра λ, поскольку от λ зависят свойства функции g(x) в нуле. При λ > 1, λ = 1, λ < 1 из (6), (12), (13) получаем соответственно

,

,

,

где

.

При l < 1 функция g(x) имеет в нуле особенность типа "острие"; чем меньше l, тем больше инструмент походит на безрисковый актив. При l = 1 функция g(x) имеет в нуле излом и напоминает платежную функцию короткого баттерфляя (сэндвича). При l > 1 функция g(x) в нуле непрерывна и g¢(0) = 0; она напоминает платежную функцию кондора – комбинации длинного и короткого стрэнглов с ближе расположенными к нулю страйками длинного стрэнгла. В этом случае также легко прослеживаются качественные аналогии с реальным рынком опционов.

В последующих задачах будут предложены представления оптимального портфеля лишь в терминах опционных спрэдов, при этом параметр υ будет играть роль произвольного условного центра рынка либо совпадать с аргументом x* экстремума функции ρ(x).

3. Распределение Парето

Распределение Парето, которое будем обозначать Par(k, α), имеет плотность

,

где k – параметр минимального значения, α – параметр формы. Отметим, что плотность, вообще говоря, существует и при α > 0, однако при α ≤ 1 не существует математического ожидания, равно как и цен опционов колл и пут, поэтому мы и принимаем α > 1. При этом EΧ = kα/(α–1); при дополнительном условии α > 2 также DΧ = k2α/((α–1)2(α–2)). При такой ценовой плотности цены коллов и путов определяются соответственно соотношениями

,

а паритет пут-колл записывается равенством

.

Параметр k будем считать общим для прогноза и рынка, а параметр формы будем различать.

Свойства функции ρ(x)

Положим p(x) ~ Par(k, α), c(x) ~ Par(k, β), β ≠ α. Поскольку

,

имеем

.

Поведение этой функции определяется значениями α и β. Здесь естественно рассмотреть два случая: α < β, α > β. В первом случае функция ρ(x) возрастает, во втором – убывает.

Построение оптимального портфеля при α < β

При α < β инвестор играет на повышение, поэтому здесь применяется схема (1). Последовательно имеем

, ,

,

,

, ;

;

;

, ;

, ,

;

.

Построение оптимального портфеля при α > β

При α > β инвестор играет на понижение, поэтому здесь применяется схема (2). Последовательно имеем

, ,

,

,

, ;

;

;

;

, ,

;

.

4. Нормальное распределение

Нормальное (или гауссово) распределение, которое будем обозначать N(μ,σ), имеет плотность

,

где μ – параметр, совпадающий с математическим ожиданием, EΧ = μ, σ – стандартное отклонение, DΧ = σ2.

Функция распределения нормального распределения

, ,

кроме того,

.

При такой ценовой плотности цены коллов и путов определяются соответственно соотношениями

,

,

а паритет пут-колл записывается равенством

.

Свойства функции ρ(x)

Положим p(x) ~ N(μ, σ2), c(x) ~ N(ν, θ2), xÎÂ. Поскольку в общем случае

,

то

,

.

Если σ = θ, то функция ρ'(x) всюду положительна при μ > ν и всюду отрицательна при μ < ν. В первом случае она монотонно возрастает, а во втором – убывает.

Если σ ≠ θ, то функция ρ'(x) имеет единственный нуль в точке x* = (μθ2 – νσ2)/(θ2 – σ2). При этом, если σ > θ, то функция ρ(x) при x < x* монотонно убывает, а при x > x* монотонно возрастает; если σ < θ, то, напротив, она при x < x* монотонно возрастает, а при x > x* монотонно убывает.

В соответствии с проведенным анализом далее рассматриваются шесть случаев: (1) σ = θ, μ > ν; (2) σ = θ, μ < ν; (3) μ = ν, σ > θ; (4) μ = ν, σ < θ; (5) μ ≠ ν, σ > θ; (6) μ ≠ ν, σ < θ. (При σ ≠ θ имеет смысл выделить случай μ = ν, так как в нем вычисления удается проделать в более полном объеме.)

Построение оптимального портфеля при θ = σ

Здесь рассматриваются два случая: μ > ν и μ < ν.

Случай μ > ν

При μ > ν инвестор играет на повышение. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (1). Последовательно имеем

,

,

,

;

;

,

;

,

.

Случай μ < ν

При μ < ν инвестор играет на понижение. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (2). Последовательно имеем

,

,

,

;

;

,

;

.

Построение оптимального портфеля при σ ≠ θ, μ = ν

В данном разделе из случая σ ≠ θ выделим варианты с μ = ν. При μ = ν задача оптимизации портфеля становится симметричной относительно μ. Поэтому без ущерба для общности в данном разделе будем считать μ = ν = 0. Имеем

.

Рассмотрим последовательно два случая: σ > θ и σ < θ.

Случай σ > θ

При σ > θ инвестор покупает волатильность. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (3). Последовательно имеем

,

,

, ;

,

;

,

;

,

.

Случай σ < θ

При σ < θ инвестор продает волатильность. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (4). Последовательно имеем

,

,

, ;

,

;

,

;

,

.

Построение оптимального портфеля
в общем случае σ ≠ θ

В общем случае σ ≠ θ функция

,

также унимодальна, при σ > θ она имеет минимум, а при σ < θ – максимум. Экстремум достигается в точке

.

Здесь следовало бы вновь рассмотреть два случая (уже при μ ≠ ν): σ > θ и σ < θ. При σ > θ инвестор покупает волатильность, при σ < θ – продает. Для построения оптимального портфеля в данной задаче также следует применять соответственно схемы (3) и (4), однако в отличие от предыдущих двух разделов здесь, при σ ≠ θ, мы сталкиваемся со значительными вычислительными затруднениями. Поэтому ограничимся ссылкой на эти схемы.

5. Логистическое распределение

Логистическое распределение, которое будем обозначать L(μ, α), имеет плотность

,

где μ – параметр, совпадающий с математическим ожиданием, EΧ = μ, α – параметр формы распределения, характеризующий разброс, при этом DΧ = π2α2/3. Функция распределения

,

кроме того,

.

В последней формуле используются гиперболические функции. При такой ценовой плотности цены коллов и путов определяются соответственно соотношениями

,

,

а паритет пут-колл записывается равенством

.

Свойства функции ρ(x)

Положим p(x) ~ L(μ,α), c(x) ~ L(ν,β), α, β > 0, xÎÂ. Поскольку

,

,

то

.

Дифференцируя по x, получаем

,

где

,

(14)

Очевидно, знак производной ρ'(x) совпадает со знаком f2(x). Рассмотрим три возможности.

Если α = β,

.

Знак этой функции совпадает со знаком μ – ν, и потому функция ρ(x) монотонно возрастает при μ > ν и монотонно убывает при μ < ν.

Если α > β, то, группируя слагаемые в (14) должным образом, получаем представление

Очевидно,

,

где

Нетрудно видеть, что эта функция является разностью монотонно возрастающей от 0 до ∞ и монотонно убывающей от ∞ до 0 функций, т. е. сама является монотонно возрастающей от –∞ до +∞. Следовательно, существует точка x*ÎÂ такая, что при x < x* функция ρ(x) монотонно убывает, а при x > x* – монотонно возрастает, и потому

.

Если α < β, то, по иному группируя слагаемые в (14), получаем представление

.

Также очевидно, что

,

где

.

Функция f4(x) является разностью монотонно убывающей от ∞ до 0 и монотонно возрастающей от 0 до ∞ функций, т. е. сама является монотонно убывающей от +∞ до –∞. Следовательно, существует точка x*ÎÂ такая, что при x < x* функция ρ(x) монотонно возрастает, а при x > x* – монотонно убывает, и потому

.

Таким образом, если α ≠ β, то функция ρ(x) унимодальна. При α < β она имеет максимум, при α > β – минимум.

В соответствии с проведенным анализом далее рассматриваются четыре случая: (1) α = β, μ > ν; (2) α = β, μ < ν; (3) α < β; (4) α > β.

Построение оптимального портфеля при α = β

Рассмотрим при α = β два случая: μ > ν и μ < ν.

Случай μ > ν

При α = β, μ > ν инвестор играет на повышение. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (1). Последовательно имеем

,

,

,

;

;

,

;

.

Случай μ < ν

При α = β, μ < ν инвестор играет на понижение. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (2). Последовательно имеем

,

,

,

;

,

;

,

;

Построение оптимального портфеля при α ≠ β

Если параметры μ и ν произвольны, то в случае α > β инвестор покупает волатильность, в случае α < β – продает. Для построения оптимального портфеля в данных задачах следует применять соответственно схемы (3) и (4). Однако здесь провести полный анализ уже затруднительно. Поэтому, сославшись на эти схемы, приведем лишь некоторые результаты, носящие промежуточный характер. Именно допускают вычисление в случае α > β:

,

,

в случае α < β:

,

.

6. Гамма-распределение

В данном разделе в технических целях используются специальные Γ-функция (гамма-функция) и родственные ей неполная
Γ-функция и регуляризованная неполная Γ-функция. Они вводятся соответственно соотношениями

, , ,

, a > 0.

Эти функции используются при рассмотрении и анализе
G-распределения, которое обозначается G(μ,α), простирается на всю положительную полуось и имеет плотность

.

Для него EΧ = αμ, DΧ = αμ2, функция распределения

,

а также

.

При такой ценовой плотности цены коллов и путов определяются соответственно соотношениями

,

,

а паритет пут-колл записывается равенством

.

Свойства функции ρ(x)

Положим p(x) ~ G(μ,α), c(x) ~ G(ν,β), α, β, μ, ν > 0. Поскольку

,

,

то

,

.

Очевидно, знак ρ'(x) совпадает со знаком линейной комбинации x(μ – ν) + (α – β)μν. Если μ = ν, то при α > β функция ρ(x) монотонно возрастает, при α < β – убывает.

Пусть μ ≠ ν, тогда единственный нуль производной ρ'(x) находится в точке

.

Неравенство x* ≤ 0 наступает, когда одновременно α ≥ β и μ > ν или одновременно α ≤ β и μ < ν. Это означает, что на Â+ функция ρ(x) монотонна, причем в первом случае она возрастает, во втором – убывает.

Неравенство x* > 0 наступает, когда одновременно α < β и μ > ν или одновременно α > β и μ < ν. Это означает, что на Â+ функция ρ(x) имеет единственный экстремум в точке x*, причем в первом случае это – минимум, а во втором – максимум.

Нетрудно видеть, что общий случай с μ = ν можно включить в случай x* ≤ 0, заменяя в последнем строгие неравенства μ > ν и μ < ν нестрогими неравенствами μ ≥ ν и μ ≤ ν соответственно, пренебрегая возникающим при этом тривиальным случаем с α = β, μ = ν.

В соответствии с проведенным анализом рассмотрим четыре случая: (1) α ≥ β, μ ≥ ν; (2) α ≤ β, μ ≤ ν; (3) α < β, μ > ν; (4) α > β, μ < ν.

Построение оптимального портфеля при
монотонной функции ρ(x)

Здесь рассматриваются случаи: (1) α ≥ β, μ ≥ ν и (2) α ≤ β, μ ≤ ν.

Случай α ≥ β, μ ≥ ν

При α ≥ β, μ ≥ ν инвестор играет на повышение. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (1). Последовательно имеем

,

,

,

;

;

,

;

,

.

Случай α ≤ β, μ ≤ ν

При α ≤ β и μ ≤ ν инвестор играет на понижение. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (2). Последовательно имеем

,

,

,

;

;

,

;

,

.

Построение оптимального портфеля при
унимодальной функции ρ(x)

Здесь рассматриваются оставшиеся два случая: (3) α < β, μ > ν и (4) α > β, μ < ν.

При α < β, μ > ν инвестор покупает волатильность, а при α < β, μ < ν – продает. Для построения оптимального портфеля в данной задаче следует применять соответственно схемы (3) и (4). Однако здесь провести анализ неравенств с явным заданием необходимых ограничений уже затруднительно. Ограничимся ссылкой на данные схемы и приведем лишь то, что можно получить. В случае (3)

,

,

а в случае (4)

,

.

7. Логнормальное распределение

Логарифмически нормальное (логнормальное) распределение, которое будем обозначать LN(μ,σ), имеет плотность

,

при этом EΧ = exp(μ + σ2/2) и DΧ = exp(2μ + σ2)(exp(σ2) – 1). Его функция распределения

,

где используется функция ошибок

,

кроме того,

.

При такой ценовой плотности цены коллов и путов определяются соответственно соотношениями

,

,

а паритет пут-колл записывается равенством

.

Свойства функции ρ(x)

Положим p(x) ~ LN(μ,σ2), c(x) ~ LN(ν,θ2), xÎÂ. Поскольку в общем случае

,

то

,

.

Если σ = θ, то производная функции ρ(x) всюду положительна при μ > ν и всюду отрицательна при μ < ν. В первом случае инвестор по сравнению с рынком рассчитывает на более высокие цены базового актива (игра на повышение), а во втором – на более низкие (игра на понижение).

Если σ ≠ θ, то производная этой функции имеет единственный нуль в точке x* = exp((μθ2–νσ2)/(θ2–σ2))

.

При этом, если σ > θ, то функция ρ(x) при x < x* монотонно убывает, а при x > x* монотонно возрастает, если σ < θ, то, напротив, она при x < x* монотонно возрастает, а при x > x* монотонно убывает. В первом случае инвестор по сравнению с рынком рассчитывает на более высокую неустойчивость цены базового актива (покупка волатильности), а во втором – на более низкую (продажа волатильности).

При σ ≠ θ имеет смысл выделить случай μ = ν, так как он позволяет провести более тщательные вычисления при сохранении качественного характера решения.

В соответствии с проведенным анализом далее рассматриваются шесть случаев: (1) σ = θ, μ > ν; (2) σ = θ, μ < ν; (3) μ = ν, σ > θ;
(4) μ = ν, σ < θ; (5) μ ≠ ν, σ > θ; (6) μ ≠ ν, σ < θ. При σ ≠ θ имеет смысл выделить условие μ = ν (случаи (3) и (4)), так как при таком условии вычисления удается проделать в более полном объеме.

Построение оптимального портфеля при σ = θ

В рамках случая σ = θ проанализируем два возможных варианта μ > ν и μ < ν.

Случай σ = θ, μ > ν

При σ = θ, μ > ν инвестор играет на повышение. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (1). Последовательно имеем

,

,

.

– ε-квантиль N(μ,σ2),

– ε-квантиль LN(μ,σ2);

;

,

;

.

Случай σ = θ, μ < ν

При σ = θ, μ > ν инвестор играет на понижение. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (2). Последовательно имеем

,

,

,

– (1–ε)-квантиль N(μ,σ2),

– (1–ε)-квантиль LN(μ,σ2);

;

,

;

.

Построение оптимального портфеля при μ = ν

В данном разделе из случая σ ≠ θ выделим варианты с μ = ν. При μ = ν задача оптимизации портфеля становится симметричной относительно μ в логарифмической шкале. От нас потребуется лишь проявлять аккуратность и осторожность. Имеем

,

, .

При μ = ν рассмотрим последовательно два случая: σ > θ и σ < θ. Без ущерба для общности в данном разделе будем считать μ = 0.

Случай σ > θ

При μ = ν, σ > θ инвестор покупает волатильность. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (3). Последовательно имеем

,

,

,

,

– (1+ε)/2-квантиль N(0,σ2),

– (1–ε)/2-квантиль LN(0,σ2),

– (1+ε)/2-квантиль LN(0,σ2);

,

;

,

;

,

.

Случай σ < θ

При μ = ν, σ > θ инвестор продает волатильность. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (4). Последовательно имеем

,

,

,

.– (1–ε/2)-квантиль N(0,σ2),

– ε/2-квантиль LN(0,σ2),

– (1–ε/2)-квантиль LN(0,σ2);

,

;

,

;

,

.

Построение оптимального портфеля при σ ≠ θ, μ ≠ ν

В общем случае при σ ≠ θ, как мы видели ранее, функция

,

унимодальна, при σ > θ она имеет минимум, а при σ < θ – максимум. Экстремум достигается в точке

Рассмотрим вновь случаи (уже при μ ≠ ν) σ > θ и σ < θ.

При σ > θ инвестор покупает волатильность, при σ < θ – продает. Для построения оптимального портфеля в данной задаче следует применять соответственно схемы (3) и (4). Из вычисляемых агрегатов в первом из выделенных случаев приведем лишь

,

,

а во втором –

.

8. Бета-распределение

Бета-распределение, которое обозначается Be(α,μ), имеет плотность

,

при этом

,

суть бета-функция и неполная бета-функция соответственно. Кроме того, отношение

называется регуляризованной бета-функцией. Функция распределения, среднее и дисперсия соответственно равны

, .

При такой ценовой плотности цены коллов и путов определяются соответственно соотношениями

, ,

а паритет пут-колл записывается равенством

.

Свойства функции ρ(x)

Положим p(x) ~ Be(α,μ), c(x) ~ Be(β,ν), xÎ(0,1). Тогда

.

Первую производную можно представить в виде

,

она обращается в нуль при x* = (α–β)/(α–β+μ–ν).

.

Если x*Ï(0,1), то sgn[ρ'(x)] = sgn[(α–β) – x(α–β+μ–ν)] = const, т. е. производная на интервале (0,1) не меняет знака, который в свою очередь зависит от знаков (α–β) и (α–β+μ–ν). При α ≥ β, α+μ > β+ν она положительна, при α ≤ β, α+μ > β+ν – отрицательна.

В противном случае, когда x*Î(0,1), в точке x* происходит смена знака ρ'(x). Имеем

,

.

Отсюда следует, что при x*Î(0,1) функция ρ(x) унимодальна, притом при α ≤ β, α+μ < β+ν она имеет максимум, а при α ≥ β, α+μ > β+ν – минимум.

Построение оптимального портфеля

В соответствии с проведенным анализом далее рассматриваются четыре случая: (1) α ≥ β, α+μ > β+ν; (2) α ≤ β, α+μ > β+ν; (3) α ≤ β, α+μ < β+ν; (4) α ≥ β, α+μ > β+ν.

Случай α ≥ β, α + μ < β + ν

При α ≥ β, α + μ < β + ν инвестор играет на повышение. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (1). Имеем

, ;

;

;

.

Случай α ≤ β, α + μ > β + ν

При α ≤ β, α + μ > β + ν инвестор играет на понижение. Для построения оптимального портфеля в данной задаче применяется схема (2). Имеем

,

;

;

,

;

.

Случай α ≤ β, α + μ < β + ν

При α ≤ β, α + μ < β + ν инвестор покупает волатильность. Для построения оптимального портфеля применяется схема (3). Имеем

,

.

Случай α ≥ β, α + μ > β + ν

При α ≥ β, α + μ > β + ν инвестор продает волатильность. Для построения оптимального портфеля применяется схема (4). Имеем

;

.

Численное определение оптимального портфеля

Применение аналитического подхода, продемонстрированного на протяжении всей настоящей работы, позволяет лучше "почувствовать" объект исследования, но носит ограниченный характер ввиду очевидных трудностей, возникающих при получении конечного аналитического результата. Для придания работе сбалансированности сошлемся на вычислительные методы, разработанные в предшествующих работах автора (см., например, [7]). На рисунках приводятся результаты численного расчета платежной функции оптимального портфеля для двух в некотором роде взаимообратных задач. В первой из них c(x) ~ Be(4,6), p(x) ~ Be(3,4) (продажа волатильности), во второй – c(x) ~ Be(3,4), p(x) ~ Be(4,6) (ее покупка).

Рис. 1. Графики плотностей c(x) (сплошная линия в первой задаче и пунктирная – во второй) и p(x) (наоборот)

Рис. 2. График платежной функции оптимального портфеля для первой задачи

Рис. 3. График платежной функции оптимального портфеля для второй задачи

Литература

1.  Агасандян инженерия и критерий допустимых потерь (VaR). М.: ВЦ РАН, 20с.

2.  Agasandian G. A. Optimal Behavior of an Investor in Option Market // International Joint Conference on Neural Networks. The 2002 IEEE World Congress on Computational Intelligence (Honolulu, Hawaii, Mai 12-17, 2002). Pp. .

3.  Агасандян инженерия и континуальный критерий VaR на рынке опционов // Экономика и математические методы, 2005. Т. 41, №4. С. 88-98.

4.  Агасандян теоретические схемы применения континуального критерия VaR. М.: ВЦ РАН, 20с.

5.  Математические методы статистики. М.: Мир, 19с.

6.  Макмиллан как стратегическое инвестирование. 3-е изд. М.: Издательский дом "ЕВРО", 20с.

7.  Об адаптации континуального критерия VaR к дискретным рынкам. М.: ВЦ РАН, 20с.

Оглавление

1. Теоретический рынок δ-инструментов_______________ 3

2. Двустороннее экспоненциальное распределение_______ 12

3. Распределение Парето_____________________________ 17

4. Нормальное распределение__________________________ 19

5. Логистическое распределение_______________________ 24

6. Гамма-распределение______________________________ 29

7. Логнормальное распределение_______________________ 32

8. Бета-распределение________________________________ 39