Вопросы к ДКР

Вопросы для комплексной контрольной работы

по высшей математике

1. 1) Дайте определение производной функции.

2) Сформулируйте и докажите основное свойство производной функции.

3) Пользуясь определением производной, вычислите производную функции в точке, если:

; .

2. 1) Дайте словесную формулировку математического предложения: .

2) Запишите формулы, выражающие основные правила дифференцирования.

2) Вычислите производную функции .

3. 1) Сформулируйте, в чем заключается геометрический смысл производной функции.

2) Запишите уравнения касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой .

3) Составьте уравнения касательной и нормали к параболе в точке с абсциссой .

4. 1) Дайте определение сложной функции.

2) Запишите формулу и сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.

3) Вычислите производную сложной функции:

. .

5. 1) Определите функцию, заданную параметрически.

2) Сформулируйте теорему о дифференцировании функции, заданной параметрическими уравнениями.

3) Вычислите производную функции, заданной параметрическими уравнениями:

6. 1) Дайте определение неявной функции.

2) Сформулируйте правило дифференцирования неявной функции.

3) Найдите производную функции, заданной неявно уравнением

.

Дайте определение дифференциала функции.

2) Сформулируйте свойства дифференциала.

3) Найдите дифференциал функции .

8. 1) Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределеностей при вычислении пределов функций.

2) Определите условия применения правила Лопиталя.

3) Найдите предел

9. 1) Сформулируйте необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции на промежутке.

2) Изложите правило нахождения промежутков монотонности графика функции.

3) Найдите интервалы возрастания и убывания функции .

Дайте определение точки экстремума функции.

2) Сформулируйте теорему Ферма, необходимые и достаточные условия экстремума.

3) Найдите точки максимума и минимум функции .

Дайте определение направления выпуклости криаой.

2) Сформулируйте достаточное условие направления выпуклости кривой.

3) Исследуйте направление выпуклости кривой в точках х = -1 и х = 1.

1Дайте определение точки перегиба графика функции.

2) Сформулируйте необходимые и достаточные условия существования точек перегиба графика функции. Исследование функции на перегиб.

3) Найти точки перегиба графика функции .

Дайте определение функции нескольких переменных.

2) Дайте определение частных производных функции нескольких переменных и дифференциала первого порядка и запишите соответствующие формулы. Поясните, как вычисляются частные производные функции многих переменных.

3) Вычислите полный дифференциал функции .

Дайте определение первообразной и неопределенного интеграла.

2) Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.

3) Вычислите неопределенный интеграл .

15 1) Сформулируйте сущность метода замены переменной в неопределенном интеграле.

2) Изложите последовательность подстановки.

3) Методом подстановки вычислить неопределенный интеграл .

Сформулируйте сущность метода интегрирования по частям неопределенного интеграла.

2) Выведите формулу интегрирования по частям неопределенного интеграла.

3) Вычислите неопределенный интеграл .

17 1) Дайте определение целой и дробно-рациональной функций.

2) Сформулируйте правило интегрирования неправильной рациональной дроби.

3) Вычислите неопределенный интеграл от неправильной дроби

.Запишите виды простейших дробей.

2) Изложите методы нахождения коэффициентов разложения рациональной дроби на простейшие.

3) Представьте рациональную дробь в виде суммы простейших и найдите коэффициенты разложения.

Запишите виды простейших дробей.

2) Изложите способ интегрирования правильной рациональной дроби.

3) Разложите подынтегральное выражения на простейшие дроби с коэффициентами в числителях дробей. Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, определите коэффициенты разложения и проинтегрируйте выражение

20. : 1) Запишите интегралы от простейших дробей I и II типов.

2) Поясните, как находятся интегралы от простейших дробей III типа.

3) Проинтегрируйте простейшую дробь III типа:

21 1) Запишите, как находятся интегралы:

а) .

2) Запишите универсальную тригонометрическую подстановку. Какого вида интегралы можно вычислить с ее использованием?

3) Вычислите неопредегенный интеграл

Что означает рационализировать интеграл”

2) Запишите подстановки, с помощью которых можно рационализировать интегралы от иррациональных функций.

3) Вычислите екопределенный аинтеграл от иррациональной функции:

Запишите основные свойства определенного интеграла.

2) Сформулируйте теорему. и запишите формулу Ньютона-Лейбница.

3) Вычислите определенный интеграл .

.Определите суть метода подстановки в определенном интеграле.

2) Изложите последовательность подстановки.

3) Методом подстановки вычислить определенный интеграл .

25 1) Сформулируйте сущность метода интегрирования по частям определенного интеграла.

2) Выведите формулу интегрирования по частям определенного интеграла.

3) Вычислите определенный интеграл .

В чем заключается геометрический счысл определенного интеграла?

2) Поясните, как вычисляется площадь плоской фигуры в прямоугольной декартовой стсьеме координат.

3) Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

Для каких вычислений применяется определенный интеграл в геометрии?

2) Получите формулу для вычисления объема тела по известным площадям его поперечных сечений и для объема тела вращения.

3) Определите объем тела, ограниченного поверхностью, полученной вращением эллипса вокруг своей большой оси.

Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка и запишите соответствующую формулу..

2) Дайте определение общего и частного решения ДУ-1.. Сформулируйте задачу Коши для ДУ-1.

3) Докажите, что функция является общим решением уравнения и найдите его частное решение, удовлетворяющее начальному условию .

29. 1)Запишите дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными в общем виде.

2) Объясните способ его решения.

3) Найдите общее решение Ду-1 с разделяющимися переменными:

Определите понятие однородной функции порядка n.

2) Запишите однородное дифференциальное уравнение первого порядка и объясните способ его решения.

3) Найдите общее решение однородного ДУ-1:

Гальцова

РАССМОТРЕНО

на заседании цикловой комиссии

естественно-математических дисциплин,

протокол №__ от «___»__________2011

Председатель комиссии______________