Занятие №6.
Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра.
Уметь применять следующие теоремы и следствия:
Пусть f(x) = ax2 + bc + c имеет действительные корни x1, x2 (которые могут быть кратными), а M, N – какие-нибудь действительные числа, причем M<N. Тогда:
Теорема 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число M(то есть лежали на числовой оси левее, чем точка M), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или 
Теорема 2. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, а другой больше, чем М (то есть точка М лежала бы между корнями), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или 
Эти две системы можно заменить формулой 
Теорема 3. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число М (то есть лежали на числовой оси правее, чем точка М), необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или 
Следствие 1. Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число М, но больше числа N, то есть лежали в интервале между M и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или 
Следствие 2. Для того чтобы больший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между M и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или 
Следствие 3. Для того чтобы только меньший корень квадратного трехчлена лежал в интервале между M и N, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или 
Следствие 4. Для того чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число М, а другой больше, чем N, то есть отрезок MN лежал внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
или 
Пример 1. Найдите все те значения параметра с, при котором оба корня квадратного уравнения x2 + 4cx + (1-2c+4c2)=0 различны и меньше, чем -1.
Решение.
График функции f(x) = x2 + 4cx + (1-2c+4c2) представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось x, причем отрезок 
должен быть левее -1. Следовательно, значение функции при x= -1 должно быть положительным, а вершина – расположена левее -1.
Итак, получаем систему:
Решим ее:
то есть с>1.
Ответ: c>1
Пример 2. При каких значениях k один из коней уравнения (k2+k+1)x2+(2k-3)x+k-5=0 больше 1, а другой меньше 1?
Решение.
Так как k2+k+1>0 при любых k, то по условию задачи предстает следующая графическая иллюстрация, ветви параболы направлены вверх, парабола пересекает ось Ох, которой соответствует неравенство f(1)<0:
Решим его:
(k2+k+1)+(2k-3)+k-5<0,
k2+4k-7<0,
.
Ответ:
Решите самостоятельно:
При каких значениях параметра a оба корня уравнения x2 – 6ax+ 2 - 2a+9a2=0 больше 3? При каких значениях параметра a оба корня уравнения (2+a)x2-2ax+3a=0 положительны? При каких значениях параметра a оба корня уравнения x2-ax+2=0 лежат в интервале (0;3)? Существуют ли такие значения параметра a, что корни уравнения x2+2x+a=0 лежат между -1 и 1? Найдите все значения параметра a, при которых корни x1 и x2 уравнения (a-2)x2-2(a+3)x+4a=0 удовлетворяют условию x1<2,x2>3?