4. ВРЕМЕННАЯ ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ

4.1. Общие сведения

Переход от аналогового представления сигнала к цифровому связан с его дискретизацией по времени и квантованием по уровню.

В результате временной дискретизации (ВД) сигнала получают его оценку , которая воспроизводит (восстанавливает) поведение сигнала на интервале с некоторой погрешностью. В математическом плане процесс ВД аналогичен задаче аппроксимации функции полиномом .

При решении задачи дискретизации (выборе шага ) должны быть известны:

1) математическая модель физического сигнала;

2) способ воспроизведения (аппроксимации) аналогового сигнала, т. е. математическая модель оценки ;

3) критерий качества приближения сигнала его оценкой;

4) величина допустимой погрешности воспроизведения сигнала его оценкой.

Как правило, качество приближения функции оценкой (полиномом) устанавливается одним из критериев:

1)   равномерного приближения

;

2)   среднеквадратичного приближения

;

Здесь – функция погрешности аппроксимации;

– модуль допустимой погрешности равномерного приближения;

– среднеквадратичная допустимая погрешность приближения.

В основе принципа ВД лежит представление непрерывной функции обобщенным полиномом Фурье

, (4.1)

где – система линейно независимых базисных функций;

– коэффициенты разложения или координаты сигнала, зависящие от вида функции ;

– число членов ряда или степень полинома (4.1).

В общем случае процесс ВД сигнала заключается в его разложении на интервале по системе заранее выбранных базисных функций с последующим дискретным представлением сигнала конечной совокупностью координат .

В зависимости от базиса в качестве координат сигнала могут быть использованы или коэффициенты разложения или отсчеты в дискретные моменты времени .

Выбор базиса и координат определяет тип аппроксимирующего полинома и характер аппроксимации. В измерительной технике предпочтение отдается координатам сигнала в виде его отсчетов . В этом случае в результате ВД сигнал заменяется совокупностью его отсчетов (рис.4.1.1).

 

Рис.4.1.1

В качестве базиса обычно берется система линейно независимых базисных функций или. На этом базисе можно построить различные полиномы. Наибольшее применение нашли полиномы Тейлора и Лагранжа. Характер аппроксимации при полиноме Тейлора – это экстраполяция или предсказание, а при полиноме Лагранжа – интерполяция.

Промежуток времени между отсчетами называют шагом дискретизации или тактом измерения. Если шаг , то имеем равномерную временную дискретизацию (РВД) на интервале наблюдения .

Если шаг , то этот случай соответствует адаптивной временной дискретизации (АВД). АВД заключается в автоматическом изменении промежутков времени между отсчетами в зависимости от текущего поведения сигнала. При АВД шаг дискретизации как бы приспосабливается к текущим изменениям сигнала. Это приспособление, т. е. адаптация, осуществляется в реальном масштабе времени. АВД – это один из эффективных методов сжатия данных. Сжатие данных – это операция экономного представления аналогового сигнала.

Сложность устройств дискретизации и воспроизведения сигнала растет с увеличением степени n аппроксимирующего полинома. Поэтому степень полинома выбирают в разумных пределах – обычно или .