32. ЖИВОТНОЕ В ПРЫЖКЕ
(Задачи по механике рекомендуется решать по порядку)
В прыжке животное подвергается действию тех же сил (притяжения Земли, сопротивления воздуха и т. п.), что и любое брошенное тело. Уравнения, описывающие движение брошенного тела, изучаются в курсе элементарной физики, и они полностью приложимы к движению прыгающего животного. При упрощенном рассмотрении принято пренебрегать сопротивлением воздуха, и потому такой подход не годится, когда речь идет, скажем, о прыгающей блохе, испытывающей значительное сопротивление воздуха, или о прыжках летяг и полетах летучих рыб, увеличивающих длину прыжка с помощью планирования.
Но если и сопротивлением воздуха, и эффектом планирования можно пренебречь, то для анализа прыжка достаточно рассмотреть следующие величины:
у - скорость в начальный момент (в момент толчка),
α - направление начальной скорости относительно горизонтали, υ ( = у sinα) - вертикальная составляющая начальной скорости, υ( = у cosα) - горизонтальная составляющая начальной скорости,
т - масса животного,
Т - время в полете,
L - длина прыжка,
g - ускорение свободного падения (направлено всегда вниз),
е - расстояние, на которое перемещается центр тяжести животного во время толчка, пока оно набирает скорость,
прежде чем оторваться от земли.
Соотношения между этими величинами таковы:
1. у2=u2+υ2 в соответствии с теоремой Пифагора, поскольку у, и и υ - это гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника, образуемого результирующим, горизонтальным и вертикальным перемещениями животного в первый момент полета.
2. 2υ/g = Т, поскольку ускорение определяется как изменение скорости в единицу времени, а за время прыжка Т вертикальная составляющая скорости изменяется от+υв момент толчка до - υ в момент приземления, т. е. всего на 2υ при ускорении, равном - g.
3. L = uT =2uυ/g, поскольку горизонтальная скорость остается постоянной во время прыжка (никаких горизонтальных сил на животное не действует), а скорость - это расстояние, проходимое за единицу времени.
4. При данном у максимальная длина прыжка достигается при α=45°, поскольку, подставляя в предыдущую формулу и=у cos α и v=ysin α, получаем L=(y2/g)sin2α, а максимум последнего выражения достигается при 2α = 90°, или α = 45°.
5. Максимальная высота прыжка составляет υ2/2g, так как она равна произведению времени подъема Т/2 на среднюю скорость подъема, равную υ/2 (поскольку скорость изменяется от у при толчке до нуля в верхней точке прыжка), а T/2=υ/g (см. п. 2).
6. Кинетическая энергия в начальный момент в соот-
ветствии с обычной формулой равна - ту2/2.
7. Средняя сила, с которой животное отталкивается
от земли, равна ту2/2е, поскольку произведение этой
силы на расстояние е, на котором она действует, должно
быть равно энергии, приобретаемой животным, т. е. - ту2/2
Итак, используя полученные соотношения и зная величину ускорения свободного падения, можно определить у, α, υ, и и Т, зная любые две из этих величин.
ЗАДАЧИ
а) Летучая рыба, выскочившая из воды под углом
20°, достигает максимальной высоты 0,5 м и снова падает
в воду в 7 м от того места, где она выскочила. Покажите, что траектория полета летучей рыбы не совпадает с траекторией полета свободно брошенного тела и, следовательно, рыбы способны каким-то образом планировать, пользуясь, вероятно, своими грудными плавниками, как крыльями.
б) Блоха массой 0,45 мг подпрыгивает на высоту 5,11 см. Какую энергию в эргах она при этом затрачивает? (Блоха прыгает вертикально вверх, сопротивление воздуха не учитывается.)
в) Если время толчка у блохи составляет 1 мс, то могут ли такую работу произвести ее переднегрудные мышцы массой 0,09 мг, обладающие максимальной
удельной мощностью 6·10-2 Вт на 1 г мышцы?
г) Возможно ли, чтобы эта энергия предварительно запасалась в специальных упругих структурах объемом 2,8·10-4 мм3, способных запасать до 1,5·104 эрг на 1 мм3?
Ответ 32. Животное в прыжке а) Тело, брошенное под таким же углом к горизонту, упало бы в воду в 5,5 м от начальной точки с учетом сопротивления воздуха прыжок должен быть еще короче. б) 2,25 эрг. в) Нет, поскольку необходимая для этого мощность составляет 2,5 ·107эрг/с на 1 г мышцы, г) Это возможно, потому что запас энергии в таких структурах может достигать 4,2 эрг, т. е. превышать энергию, необходимую для прыжка.
