, . Моделирование ипотечных механизмов с самофинансированием (стр. 3 )

и сформулируем в качестве цели управления максимизацию собственного капитала кооператива к концу периода управления: . Покажем, что при выбранных условиях стратегия, при которой значения переменных выбираются согласно уравнениям 2.27, 2.28, мажорирует любую другую стратегию выбора этих значений.

Пусть управления заданы в виде некоторых функций от состояния системы. Обозначим через стратегию выбора , в которой эти управления выбираются согласно уравнениям 2.27, 2.28, и рассмотрим отличную от стратегию , в которой выбор удовлетворяет ограничениям модели 2 и определяется некоторыми функциями от состояния системы .

, (2.30)

. (2.31)

Здесь через обозначены вектор активов и вектор обязательств кооператива соответственно, без учета поступлений от кредита и до вложения , через обозначены вектора ставок и цен по периодам до текущего периода включительно.

Утверждение 1. Какова бы ни была реализация случайных факторов модели 2 в период управления , справедливы неравенства

. (2.32)

Прежде чем доказывать утверждение 1, сформулируем следующую лемму. Рассмотрим для исследуемой системы два варианта допустимых управлений в период : в первом варианте внешние депозиты и кредиты выбираются согласно уравнениям 2.27, 2.28, т. е. , ; во втором варианте таковы, что либо , либо . Переменные, в зависимости от варианта управления, далее будем помечать верхними индексами 0, 1.

Лемма 1. .

Доказательство леммы 1.

Пусть , из неравенства 2.24 следует, что .

.

Из формул 2.24 – 2.26 следует, что , а . Если , то , и . Если , то , и . Таким образом,

.

Отсюда получаем, что

.

Следовательно,

(2.33)

Если , то выражение 2.33 положительно, т. е. утверждение леммы 1 верно. Пусть , т. е. . Тогда по условиям леммы 1 . Если при этом , то , и в силу неравенства 2.25 , т. е. . Тогда в силу равенства 2.26 и выражение 2.33 положительно. Предположим, что , тогда и в силу неравенства 2.25 . Но при и . Следовательно, , что противоречит посылке , и лемма доказана. ■

Доказательство утверждения 1. Рассмотрим некоторую реализацию случайных факторов . Стратегиям при этих значениях случайных факторов соответствуют векторы управлений по периодам и соответственно (и дальше верхний индекс переменных соответствует верхнему индексу в обозначении стратегии управления). Пусть – первый операционный период, в который пара переменных не равна . Выберем стратегию с векторами управлений, которые будут отличаться от векторов только компонентами с индексом , а для периода определим . Для всех , очевидно, . В силу леммы 1 будет выполнено неравенство . Но если так, то управления , равное , и , равное , удовлетворяют неравенствам 2.24, 2.25. При этом в силу равенства 2.26

Так как в период все значения переменных модели при стратегии те же, что и при стратегии , кроме переменной , то в силу равенства 2.23 . Поэтому управления , равное , и , равное , удовлетворяют неравенствам 2.24, 2.25.

Для последующих периодов , как очевидно, также будут выполняться равенства , т. е. разность , добавленная к кассе в период остается в кассе во все периоды вплоть до . Поэтому в любой период управление , равное , и управление , равное , также будут удовлетворять неравенствам 2.24, 2.25. Так как все активы и обязательства кооператива, кроме кассы, при стратегии остаются теми же, что и при стратегии , на ту же величину увеличивается и собственный капитал кооператива . Таким образом,

Следующим шагом выбираем первый период , в котором пара не равна (если такой найдется) и по тем же правилам, по которым строилась стратегия , трансформируем вектор управлений в вектор . Для всех , очевидно, .Так же, как и выше, получаем, что собственный капитал

.

И так далее, пока на некотором шаге не получим вектор , равный , вектору управлений при стратегии и реализации . Для шага будут выполнены неравенства

Тем самым, утверждение 1 доказано. ■

Логика всех дальнейших рассуждений такова, что если при прочих равных условиях некоторая стратегия управления дает большее значение собственного капитала по сравнению с другой, то такая стратегия предпочтительней. Так, например, во многих вычислительных экспериментах производился поиск таких минимальных значений ставок , при которых деятельность кооператива оказывалась бы неубыточной, т. е. собственный капитал в конце рассматриваемого периода был бы не меньшим, чем в его начале. Поэтому в силу утверждения 1 для выбора управлений будет целесообразным использовать стратегию . В результате, модель 2 преобразуется в модель 3, которая определяется формулами 2.1 – 2.18, 2.21 –2.23, 2.27 – 2.29. Именно модель 3, представленная в следующем разделе, и различные ее модификации будут предметом дальнейшего исследования в этой работе.

3. Упрощенный вариант модели

Заметим, что из формул 2.27 – 2.28 вытекает, что в модели 3 в любой период либо , либо , причем переменные переходят из категории управлений в категорию фазовых (зависимых) переменных, а приходные и расходные операции по выбору кооператива отсутствуют. Из формул 2.27 – 2.28, следует, что касса , и модель 3 принимает следующий вид (обозначения прежние):

, (3.1)

, (3.2)

, (3.3)

, (3.4)

, (3.5)

, (3.6)

, (3.7)

, (3.8)

, (3.9)

, (3.10)

, (3.11)

, (3.12)

, (3.13)

, (3.14)

, (3.15)

, (3.16)

, (3.17)

, (3.18)

. (3.19)

. (3.20)

В модели 3 неопределенные факторы выражаются теми же переменными, что и в модели 2, а именно внешними ставками и ценами на жилье , а управление свелось к выбору внутренних ставок .

Для модели 3 сформулируем утверждение, которое в аналитической форме демонстрирует эффект самофинансирования кооператива, позволяющий участникам приобретать жилье на более выгодных условиях, нежели в том случае, когда они действуют самостоятельно. Сформулируем следующее условие.

Условие 1. Внешние ставки , а также, депозитные банковские ставки для участников как физических лиц , остаются постоянными в течение всех операционных периодов : . Выполняются неравенства

. (3.21)

Если бы участник действовал по той же накопительно-кредитной схеме, что и в кооперативе, но самостоятельно, то в предположениях условия 1 он был бы вынужден вкладывать средства под процент и получать кредит под процент . Мы покажем, что в тех же условиях кооператив может без ущерба для собственного капитала при ставках на внутренние депозиты установить ставки по кредитам для участников ниже чем .

Лемма 2. В модели 3 изменение собственного капитала кооператива от одного операционного периода к другому равно алгебраической сумме процентных начислений по кредитам и депозитам кооператива за интервал времени между периодами. Операции, производимые во время операционного периода, не изменяют размер собственного капитала кооператива, т. е. для всех .

Доказательство.

Согласно равенствам 3.5 – 3.9

(3.22)

Здесь через обозначены векторы ставок, соответствующих кредитам, входящим в вектор , а через – векторы ставок, соответствующих компонентам вектора депозитов .

Теперь изучим операции, производимые во время операционного периода. Указанные операции представлены в формулах 3.10, 3.13. Рассмотрим каждую из них.

Средства участников и поступают в кассу кооператива (активы) и на сумму этих средств увеличиваются обязательства кооператива перед участниками.

При кредитных выплатах участников часть активов кооператива в форме внутренних кредитов, трансформируется в активы той же стоимости в форме содержимого кассы.

Актив в форме внешнего депозита переходит в кассовый актив той же стоимости.

Поступления от внешнего кредита увеличивают кассу, и на ту же сумму увеличиваются кредитные обязательства кооператива.

Расходуя кассу на приобретение жилья , кооператив увеличивает активы в форме внутренних кредитов и уменьшает свои обязательства, возвращая участникам их вклады. Приобретая в операционный период жилье для участника , кооператив уменьшает свои активы на величину и одновременно уменьшает свои обязательства на величину . В силу равенства 1.18 .

Возвращая внешний кредит , кооператив уменьшает кассовый актив и на ту же величину уменьшает свои обязательства по этому кредиту.

Наконец, делая внешний вклад , кооператив преобразует кассовый актив в актив в форме депозита той же стоимости.

Таким образом, каждая из рассмотренных операций либо не влияет на общую стоимость активов и общий объем обязательств, либо изменяет их на одинаковую величину. При этом разность между суммой активов и суммой обязательств остается неизменной. ■

Лемма 3. Пусть выполняется условие 1, и внутренние кредитные ставки для всех договоров , для всех . Тогда, если собственный капитал кооператива , то ; если , ,, то ; если, то .

Доказательство. Рассмотрим два случая. Пусть . Тогда и, используя формулу 3.22 и лемму 2, получаем

Из последнего равенства, с учетом формулы 3.21, непосредственно вытекают все утверждения леммы 3 для случая .

Пусть теперь . Тогда и

(3.23)

В силу неравенств 3.21, . По условиям леммы 3, , следовательно, , а если при этом , то . Поэтому из равенства 3.23 вытекают все утверждения леммы 3 и для рассматриваемого случая. ■

Сформулируем вполне естественное условие для схемы выплат, по которой участники возвращают кредиты кооперативу.

Условие 2. Схема выплаты кредитов такова, что размеры кредитных выплат участника при всех и размеры невыплаченных сумм кредита при всех являются непрерывными монотонно возрастающими функциями от .

Лемма 4. Пусть в кооперативе, описанном моделью 3, схема возврата выданных участникам кредитов удовлетворяет условию 2. Если в промежутке времени кооператив предоставляет по крайней мере один кредит участнику и кредитные ставки для всех договоров и всех операционных периодов , то значение является непрерывной и строго возрастающей функцией от .

Доказательство. Пусть – первый из операционных периодов, в которые производятся кредитные выплаты . Согласно лемме 2 и формуле 3.22

.

До периода переменные от ставки не зависят. Компоненты вектора не зависят от ни при каких значениях . Поэтому является линейной, строго возрастающей функцией от .

Рассмотрим период .

.

Как показано выше, – строго возрастающая непрерывная функция от . В силу условия 1, компоненты вектора являются непрерывными монотонно возрастающими функциями от . Компоненты вектора не зависят от . Если мы покажем, что величина – это непрерывная монотонно возрастающая функция от , то тем самым мы докажем, что – непрерывная строго возрастающая функция от .

В силу соотношений 3.18, 3.19, разность можно переписать как , где при и при . Требуется показать, что – непрерывная монотонно возрастающая функция от . Согласно формуле 3.17

Величины не зависят от . В силу условия 2 компоненты вектора – это непрерывные монотонно возрастающие функции от . Следовательно, величина – непрерывная, монотонно возрастающая по функция, а значит, величина – непрерывная строго возрастающая функция от .

Теперь рассмотрим период :

К величинам относится все то, что сказано выше о величинах .

Величины не зависят от . Если вектор , то его компоненты в силу условия 2 – это непрерывные монотонно возрастающие функции от . Как показано выше, – непрерывная монотонно возрастающая по функция. Следовательно, величина – непрерывная монотонно возрастающая по функция, и поэтому является непрерывной строго возрастающей функцией от . И так далее для вплоть до . ■