Оптимальные по CC-VaR портфели
двумерного рынка опционов
(Вычислительный центр РАН, Москва)
*****@***ru
Исследуется однопериодный двумерный рынок – рынок, порожденный двумя базовыми активами. На нем обращаются двумерные α‑опционы – многомерный аналог обычных опционов колл и пут. На дискретном по страйкам рынке α‑опционов в разных однотипных и смешанном базисах из простейших нормированных баттерфляев строятся оптимальные по континуальному критерию VaR портфели опционов. Построения иллюстрируются графиком доходов.
Ключевые слова: базовые активы, многомерный рынок, α‑опционы, базисные баттерфляи, функция рисковых предпочтений инвестора, континуальный критерий VaR, оптимальный портфель.
Введение
Континуальный критерий VaR (CC‑VaR), введенный в работах автора (см. например, [1,2,7]), требует, чтобы строящийся из имеющихся на рынке инструментов портфель инвестора порождал случайный доход q, удовлетворяющий неравенствам P{q ³ f(e)} ³ 1–e для всех eÎ[0,1] (P{M} – вероятность множества M с точки зрения инвестора). Неотрицательная, монотонно возрастающая и непрерывная функция f(e) задается инвестором и определяет его рисковые предпочтения. Типичным примером может служить функция f(e) = el, eÎ[0,1], l>0.
Исходной для применения CC‑VaR является модель теоретического однопериодного δ‑рынка, в основе которого лежит некоторый базовый актив (например, акция). Таковым является, в частности, теоретический однопериодный рынок опционов, вообще говоря, с континуальным множеством страйков.
Многомерный рынок – это рынок, порожденный несколькими (n>1) базовыми активами, цены которых в конце периода образуют случайный вектор с плотностью вероятности, прогнозируемой инвестором. Рынок достаточно разнообразен и на нем можно строить и торговать портфелями с произвольными измеримыми платежными функциями. В этом смысле рынок считается теоретическим. Цель работы – использование определенного в [2‑5] многомерного аналога обычных опционов типа колл и пут – α‑опционов – и перенесение результатов по применению континуального критерия VaR на рынок таких опционов.
1. Многомерные теоретический и дискретный рынки опционов
Пусть X = ÕiÎNXi, XiÎÂ, N = {1,2,…,n}. Заданы две неотрицательные функции (плотности) p(x) и c(x), x Î X, порождающие меры P{M} и С{M}, MÌX, первая из которых – вероятностная мера, являющаяся прогнозом инвестора на конец периода, а вторая – ценовая мера, которую предоставляет рынок.
Вводится инструмент D(x), называемый d-инструментом, платежной функцией которого служит d-функция относительно x, x Î X, при этом |D(x)| = c(x), x Î X, где |I| означает стоимость инструмента I. Эти инструменты играют роль базисных инструментов, на основе которых можно строить иные инструменты. Инструмент G с произвольной измеримой платежной функцией g(x) и его стоимость представляются соответственно в виде
.
Так, вводятся инструмент "индикатор H[M]", M Ì X, и единичный безрисковый актив U = H[X]. Построение оптимального портфеля инвестора основано на сравнительном анализе мер C{×} и P{×}. Алгоритм (см. например, [2]) использует известную из математической статистики процедуру Неймана-Пирсона [6], применяемую к функции относительного дохода r(x) = p(x)/c(x), xÎX.
Многомерный опционный рынок образуют α-опционы A(s; α), определяемые платежной функцией a(x; s; α) = ∏iÎN max(0, αi(si–xi)), где x = (x1,x2,…,xn), s = (s1,s2,…,sn) и α = (α1,α2,…,αn) – векторы соответственно цен базовых активов и страйков xi,siÎXi, iÎN, и чисел –1 и +1 в любом порядке, которые характеризуют тип опциона. Далее речь идет лишь о двумерных рынках.
Двумерный дискретный по страйкам рынок использует равномерное разбиение интервалов X = [a1,b1) и Y = [a2,b2) на сценарии Sl, iÎI = {1,2,…,n1}, и Tj, jÎJ = {1,2,…,n2}, соответственно:
,
;
здесь h1 и h2 – расстояния между соседними страйками для первого и второго активов соответственно.
Страйками компонентных опционов служат центры сценариев. Прямым произведением одномерных сценариев образуются двумерные сценарии Sl ´ Tj, iÎI, jÎJ. Заданы плотности p(x,y) и c(x,y), xÎX, yÎY. Основную роль в алгоритме оптимизации из [2] играет функция относительного дохода r(x,y) = p(x,y)/c(x,y). Интегрированием p(x,y) по сценариям находится вектор pS (используется лексикографическая упорядоченность), интегрированием платежной функции простейших нормированных баттерфляев (в количестве n1n2) по мере C{×} находится вектор cB, по мере P{×} – pB.
2. Иллюстративный пример.
Положим X = Y = [–1,1), p(x, y) = 13/36 – x2/6 – y2/6, c(x, y) = 37/120 – (x + 1/2)2/6 – (y – 1/2)2/6, xÎX, yÎY. Первая из плотностей порождает дискретное распределение вероятностей на двумерных сценариях, а с помощью второй находятся цены базисных баттерфляев. Дискретизация осуществляется выбором n1 = 6, n2 = 5.
cB = {0.029, 0.034, 0.038, 0.040, 0.039, 0.029, 0.035, 0.039, 0.040, 0.040, 0.029, 0.034, 0.038, 0.040, 0.039, 0.026, 0.032, 0.036, 0.037, 0.037, 0.023, 0.028, 0.032, 0.034, 0.033, 0.018, 0.023, 0.027, 0.029, 0.029}.
pS = {0.017, 0.028, 0.032, 0.028, 0.017, 0.027, 0.038, 0.042, 0.038, 0.027, 0.032, 0.043, 0.047, 0.043, 0.032, 0.032, 0.043, 0.047, 0.043, 0.032, 0.027, 0.038, 0.042, 0.038, 0.027, 0.017, 0.028, 0.032, 0.028, 0.018}.
pB = {0.018, 0.028, 0.032, 0.028, 0.018, 0.020, 0.038, 0.041, 0.038, 0.020, 0.033, 0.042, 0.046, 0.042, 0.033, 0.033, 0.042, 0.046, 0.042, 0.033, 0.020, 0.038, 0.041, 0.038, 0.020, 0.018, 0.028, 0.032, 0.028, 0.019}.
Посредством алгоритма оптимизации из [2], опирающегося на процедуру Неймана-Пирсона, в предположении, что функция рисковых предпочтений инвестора f(ε) = ε2, eÎ[0,1], находится вектор весов базисных баттерфляев в оптимальном портфеле
g = {0.001, 0.019, 0.053, 0.012, 0.0003, 0.085, 0.250, 0.0, 0.100, 0.007, 0.280, 0.600, 0.610, 0.210, 0.039, 0.540, 0.920, 0.840, 0.380, 0.070, 0.450, 0.750, 0.300, 0.027, 0.149, 0.400, 0.420, 0.120, 0.003}.
Далее оптимальный портфель базисных баттерфляев G = åiÎI,jÎJ gij Bij использованием однотипных базисов из [3,4] записывается последовательно в терминах опционов C (коллов по обоим активам), S (коллов по второму активу и путов – по первому), P (путов по обоим активам), F (коллов по первому активу и путов – по второму). Имеем
GC = 0.001 U + 0.618 C11 – 1.130 C12 + 0.192 C13 – 0.230 C14 + 0.550 C15 + 1.315 C21 – 1.453 C22 – 1.267 C23 + 0.927 C24 + 0.477 C25 – 1.74 C31 + 2.12 C32 + 0.240 C33 – 0.247 C34 – 0.369 C35 + 0.068 C41 + 0.213 C42 + 0.795 C43 + 0.017 C44 – 1.09 C45 – 1.00 C51 + 1.89 C52 + 0.460 C53 – 0.834 C54 – 0.506 C55 + 0.755 C61 – 1.64 C62 – 0.422 C63 + 0.367 C64 + 0.94 C65 + 0.325 C1· + 0.331 C2· + 0.207 C3· – 1.22 C4· – 0.707 C5· + 1.06 C6· + 0.045 C·1 + 0.041 C·2 – 0.190 C·3 + 0.074 C·4 + 0.030 C·5.
GS = 0.142 U + 0.618 S11 – 1.1 S12 + 0.192 S13 – 0.230 S14 + 0.550 S15 + 0.325 S1∙ + 1.31 S21 – 1.45 S22 – 1.26 S23 + 0.93 S24 + 0.477 S25 + 0.331 S2∙ – 1.74 S31 + 2.12 S32 + 0.240 S33 – 0.247 S34 – 0.369 S35 + 0.207 S3∙ + 0.068 S41 + 0.213 S42 + 0.795 S43 + 0.017 S44 – 1.09 S45 – 1.22 S4∙ – 1.00 S51 + 1.89 S52 + 0.460 S53 – 0.834 S54 – 0.506 S55 – 0.707 S5∙ + 0.755 S61 – 1.64 S62 – 0.422 S63 + 0.367 S64 + 0.94 S65 + 1.06 S6∙ + 0.791 S∙1 – 0.886 S∙2 – 0.634 S∙3 + 0.412 S∙4 + 0.316 S∙5.
GP = 0.003 U + 0.618 P11 – 1.1 P12 + 0.192 P13 – 0.230 P14 + 0.550 P15 + 0.019 P1∙ + 1.31 P21 – 1.45 P22 – 1.26 P23 + 0.927 P24 + 0.477 P25 + 0.049 P2∙ – 1.74 P31 + 2.12 P32 + 0.240 P33 – 0.247 P34 – 0.369 P35 + 0.053 P3∙ + 0.068 P41 + 0.213 P42 + 0.795 P43 + 0.017 P44 – 1.09 P45 – 0.212 P4∙ – 1.00 P51 + 1.89 P52 + 0.460 P53 – 0.834 P54 – 0.506 P55 – 0.020 P5∙ + 0.755 P61 – 1.64 P62 – 0.422 P63 + 0.367 P64 + 0.94 P65 + 0.111 P6∙ + 0.791 P∙1 – 0.886 P∙2 – 0.634 P∙3 + 0.412 P∙4 + 0.316 P∙5.
GF = 0.0003 U + 0.618 F11 – 1.1 F12 + 0.192 F13 – 0.230 F14 + 0.550 F15 + 0.019 F1∙ + 1.31 F21 – 1.45 F22 – 1.26 F23 + 0.927 F24 + 0.477 F25 + 0.049 F2∙ – 1.74 F31 + 2.12 F32 + 0.240 F33 – 0.247 F34 – 0.369 F35 + 0.053 F3∙ + 0.068 F41 + 0.213 F42 + 0.795 F43 + 0.017 F44 – 1.09 F45 – 0.212 F4∙ – 1.00 F51 + 1.89 F52 + 0.460 F53 – 0.834 F54 – 0.506 F55 – 0.020 F5∙ + 0.755 F61 – 1.64 F62 – 0.422 F63 + 0.367 F64 + 0.94 F65 + 0.111 F6∙ + 0.045 F∙1 + 0.0410 F∙2 – 0.190 F∙3 + 0.074 F∙4 + 0.030 F∙5.
Тот же портфель в смешанном базисе из [5] представляется в виде
GM = 0.566 U – 1.10 C33 + 0.449 C34 + 0.659 C35 + 0.82 C3∙ + 1.07 C43 + 0.0168 C44 – 1.09 C45 – 1.08 C4∙ + 1.34 C53 – 0.834 C54 – 0.506 C55 – 0.759 C5∙ – 1.31 C63 + 0.367 C64 + 0.94 C65 + 1.01 C6∙ – 0.785 C∙3 + 0.229 C∙4 + 0.556 C∙5 + 0.186 F31 – 0.461 F32 + 0.274 F33 + 0.0684 F41 + 0.213 F42 – 0.28 F43 – 1.00 F51 + 1.89 F52 – 0.880 F53 + 0.755 F61 – 1.64 F62 + 0.887 F63 + 0.618 P11 – 1.1 P12 + 0.512 P13 + 0.367 P1∙ + 1.31 P21 – 1.45 P22 + 0.13 P23 + 0.802 P2∙ – 1.93 P31 + 2.58 P32 – 0.650 P33 – 1.16 P3∙ + 0.895 P∙1 – 1.19 P∙2 + 0.301 P∙3 – 0.320 S13 – 0.230 S14 + 0.550 S15 – 1.40 S23 + 0.927 S24 + 0.477 S25 + 1.72 S33 – 0.697 S34 – 1.02 S35.
Несмотря на различие представлений, все портфели GC, GS, GP, GF и GM при прочих равных условиях должны иметь единую платежную функцию, что подтверждается и множественными вычислительными экспериментами. График этой платежной функции представлен на рис. 1.
Рис. 1. Платежная функция "оптимального" портфеля
Литература
1. АГАСАНДЯН инженерия и континуальный критерий VaR на рынке опционов // Экономика и математические методы, 2005, т. 41, №4. С. 88-98.
2. АГАСАНДЯН континуального критерия VaR на финансовых рынках. М.: ВЦ РАН, 20 с.
3. АГАСАНДЯН опционы и оптимальные по CC-VaR портфели на дискретном двумерном рынке / Труды международной научно-практической конференции "Теория активных систем – 2011" (14-16 ноября 2011 г., Москва, Россия). М.: ИПУ РАН, 2011. Т.2. С. 13-19.
4. АГАСАНДЯН из однотипных баттерфляев двумерного рынка опционов и CC-VaR / Материалы Шестой международной конференции MLSD'2013. М.: ИПУ РАН, 2013 (в печати).
5. АГАСАНДЯН смешанного базиса на двумерном рынке опционов при наличии центра / Труды международной научно-практической конференции "Теория активных систем – 2013" (в печати).
6. КРАМЕР Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. – 948 с.
7. AGASANDIAN G. A. Optimal Behavior of an Investor in Option Market / International Joint Conference on Neural Networks. The 2002 IEEE World Congress on Computational Intelligence (Honolulu, Hawaii, Mai 12-17, 2002). P. .
