Обобщение матриц Адамара и создание их Интернет-банка

Обобщение матриц Адамара и создание их Интернет-банка

,

кафедра вычислительных систем и сетей,

Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения

Научный интерес к матрицам Адамара прошел несколько стадий. Так, в начале позапрошлого столетия интерес математиков концентрировался на исследовании детерминанта матриц. Адамар показал, что матрицы с элементами {1, –1}, выделенные еще Сильвестром, обладают экстремальными свойствами1. Следующая стадия связана с эпохой космических полетов – большое значение приобрели принципы помехоустойчивого кодирования информации на основе матриц Адамара, в том числе кодирование и сжатие изображений.

Математическое исследование, как и многое прочее, имеет свою инерцию. Первоначально матрицы искали переборными процедурами. В то же время, вычислительная математика обладает мощным арсеналом средств проведения исследований – экстремальные матрицы можно искать чуть ли не методами теории управления, причем четных или нечетных порядков, все равно. На уникальную роль матриц нечетных порядков обратил внимание еще итальянский математик Скарпи2. Использовав блоки, размерность которых равна первым числам Мерсенна 3 и 7, он легко превзошел результаты Адамара, построив матрицы не только 12-го, но и 56-го порядков.

В обоих случаях порядок результирующей матрицы равен n(n+1), где n – число Мерсенна. Множества таких матриц, на практике, значительно шире. Авторами получены матрицы нечетных порядков, соответствующих числам Мерсенна и Ферма, они названы матрицами Адамара-Мерсенна и Адамара-Ферма. Вычислены также матрицы Адамара-Эйлера четных порядков, восполняющие пробелы в виде несуществующих матриц Белевича, и еще десяток артефактных матриц.

Нахождение новых обобщенных матриц – вычислительно трудоемкая процедура. Она связана как с нетривиальным анализом структурных инвариантов при отделении каймы у матриц Адамара, как в методе Скарпи, так и с итерационным вычислением глобального (или локального, при снижении требований) минимума максимума абсолютных значений элементов ортогональных матриц (М-матриц).

Достижения в рассматриваемой области весьма важны и приоритетны. Имеет смысл организовать Интернет-банк обобщенных матриц Адамара и алгоритмов их вычисления. Предлагается создание математической сети с исполняемыми алгоритмами для проведения совместных работ в Интернет распределенным научным коллективом исследователей.

1Hadamard, J. Résolution d'une question relative aux déterminants. Bulletin des Sciences Mathématiques 17: 1893, P. 240–246.

2Scarpis, U. Sui determinanti di valore massimo, Rendiconti della R. Istituto Lombardo di Scienze e LettereP. 1441–1446.