Практическое применение логарифмической и показательной функций

МОУ Петропавловская СОШ

Составила:

2010 год

Дидактические цели учебного проекта:

формирование предметной компетентности (навыков работы с большими объемами информации, умений видеть проблему и наметить пути ее решения, применять базовые знания для решения конкретной проблемы); формирование коммуникативной компетентности (умений кратко и понятно излагать свои мысли, физически грамотно говорить).

•  формирование исследовательских навыков в поиске, анализе явлений природы, человеческой деятельности.

Поставленные задачи:

•  расширить знания о логарифмической

функции и методах решения уравнений;

•  узнать, какие явления из жизни и некоторых наук описывает логарифмическая функция;

•  научиться применять полученные знания в

нестандартных ситуациях на основе рассмотрения примеров из реальной жизни, при решении практико-ориентированных задач.

•  Работа в программах MX Power Point

Темы работ в рамках проекта:

1.  Банковские расчеты

2.  Применение логарифмов в географии

3.  Расчеты в производстве

4.  Применение логарифмической функции

в биологии и химии

5.  Применение логарифмов и логарифмической функции в физике и астрономии

Этапы проведения проекта:

•  Самостоятельная работа(сбор информации по выбранной теме, систематизация материалов, подготовка и оформление результатов работы в виде презентаций, тестов, публикаций и др.) с 20.01.10 – 10.02.10

•  Заключительный (защита проектов и подведение итогов) 12.02. 10

Открытие банковского счёта Проблема, которая нас заинтересовала– открытие банковского счета, другими словами, как «положить деньги на книжку.» Мы знаем что, если в банк внесена сумма Sº руб. и банк выплачивает p% в год, то через n лет на счете вкладчика окажется сумма: Sⁿ=Sº(1+p/100)ⁿ- формула сложных процентов. Конечно, надо понимать, что нами, как всегда это бывает при применении математики к реалиям окружающего мира, рассматривается только идеальная математическая модель, не учитывающая ни инфляции, ни денежных реформ, ни деноминации, ни многих других причин. Очевиден рост величины вклада при возрастании срока его хранения. Докажем это на конкретном примере. В Сберегательном банке России для некоторых видов вкладов (так называемых срочных вкладов, которые нельзя взять ранее, чем через год) принята следующая система начисления денег на сумму, внесённую в банк. За первый год нахождения внесённой суммы на счёте она возрастает на некоторое число процентов, в зависимости от вида вклада. В конце года вкладчик может снять со счёта эти деньги - “проценты”, как их обычно называют. Если же он этого не сделал, то они капитализируются, т. е. присоединяются к начальному вкладу, и поэтому в конце следующего года проценты начисляются банком уже на новую, увеличенную сумму. Коротко говорят, что при такой системе начисляются “проценты на проценты”. В математике в такой ситуации обычно говорят о сложных процентах. Подсчитаем, сколько денег получит вкладчик, скажем, через 5 лет, если он положил на счёт в банк 1500 р. И ни разу не будет брать деньги со счёта, а тем временем сумма будет ежегодно увеличиваться на 10%:

10% от этой суммы составляют 0,1 1500 = 150р., и, следовательно, через год на его счёте будет 1500 + 150 = 1650 р.10% от новой суммы составляют 0,1 1650 = 165 р., и, следовательно, через два года на его счёте будет 1650 + 165 = 1815 р. 10% от новой суммы составляют 0,1 1815 = 181,5 р., и, следовательно, через три года на его счёте будет 1815 + 181,5 = 1996,5 р.

Нетрудно представить себе, сколько при таком непосредственном, “лобовом” подсчёте понадобилось бы времени для нахождения суммы вклада через 5 лет. Между тем этот подсчёт можно провести значительно более просто. Пусть банк начисляет p% годовых, внесенная сумма равна S р., а сумма, которая будет на счёте через n лет, равна S р. p% от S составляют р., и через год на счёте окажется суммаS = S + = = S, т. е. начальная сумма увеличилась в 1 + раз. За следующий год сумма S увеличится во столько же раз, и поэтому через два года на счёте будет сумма S = S = S = S и т. д. Другими словами справедливо равенство S = S. Это равенство называют формулой сложного процентного роста. Пусть вкладчик положил в банк 10.000 руб. под ставку 12% годовых. Через сколько лет его вклад удвоится? В нашем случае деньги на вкладе накапливаются по формуле

S = . Нам необходимо найти n, при котором =, т. е. решить уравнение = .Мы можем решить это уравнение по определению логарифма числа. Вычислим этот логарифм, предварительно перейдя к основанию 10, пользуясь калькулятором.n = log = = .

Таким образом, удвоение вклада произойдёт через 6 лет (с небольшим). Рассмотрим этот же пример, но в общем виде. Некоторая сумма денег в A руб. подвержена приросту в p% годовых. Через сколько лет эта сумма составит S руб.? Руководствуясь формулой сложных процентов, имеем уравнение относительно неизвестного n: S = A . Логарифмируя это уравнение по основанию 10 (так как видели, именно с этим основанием удобно работать в случаях с прямыми подсчётами), получим: lg S = lg, lg S = lg A + lg , lg S – lg A = n lg, откуда n = . Хочется обратить внимание на то, что умение проводить такие расчёты является очень важной составляющей экономического анализа, особенно в случаях с принятием оптимального решения. Однако мы рассмотрели примеры, когда деньги просто положены под проценты, причём неважно: в банк, в производство и т. д. Но реальные ситуации проводимых операций с деньгами намного более сложные, поэтому посмотрим пример с небольшим усложнением. Пенсионер 1 января положил на вклад все свои сбережения – 150.000 руб. под 5% годовых. Он намеревается каждый год 31 декабря снимать с вклада по 25 тыс. руб. На протяжении какого периода времени он это может делать? Рассмотрим сначала ситуацию в общем виде. Пусть A – исходная сумма, S – снимаемая сумма ежегодно, P – процентная ставка. Тогда через год на счету будет A, а после снятия денег A ;через два года:

, или A ;через три года: , илиA ;через четыре года:, или

A и т. д. Получается, что после снятия в конце года денег на вкладе остаётся сумма в количестве

A руб. Сумма

представляет собой конечную геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем , а значит, эта сумма равна = Тогда в итоге получаем - закон образования суммы в конце каждого года после съёма денег с вклада. В нашем случае получаем:,и нам необходимо найти, при каком значении n эта сумма станет равной нулю.

; =

;; ;; ;; .Таким образом, выполнение денежных операций в полном объёме возможно на протяжении 7 лет. Усложним задачу и попробуем определить условия выплаты по банковскому вкладу (с учётом «процентов на проценты»), если клиент банка хочет забрать вклад не в конце года, когда ему должны выплатить p% годовых, а, скажем, через 8 месяцев. Эти условия должны быть “справедливыми”: ведь весь этот срок банк уже вкладывал куда-то деньги клиента и получал определенную прибыль, и поэтому сумма на счете клиента также должна возрасти на какую-то часть. Но на какую именно? Математический ответ на этот вопрос дают расчеты все по той же формуле сложных процентов. Пусть за каждые 8 месяцев сумма S возрастает на q%. Тогда через 8 месяцев она станет равной S , через 16 месяцев – S , а ещё через 8 месяцев, т. е. за 24 месяца (за 3 срока) она станет равной S .Однако 24 месяца – это 2 года, и по условию хранения вклада (p% годовых) сумма на счете должна оказаться равной S .Поэтому должно выполняться равенство S = S ,из которого можно найти коэффициент возрастания вклада за 8 месяцев: = Если воспользоваться данным выше определением дробной степени, то мы будем иметь равенство = ,и, следовательно, на счёте вкладчика через 8 месяцев должна оказаться сумма S = S .Другими словами, через года сумма на счёте увеличивается в раз. Данные рассуждения позволяют сделать вывод: формулу сложных процентов можно применять не только для целого числа лет, но и для любого срока хранения вклада. Например, можно рассчитать месячный процент при объявленных банком p% годовых: через 1 месяц начальная сумма S на счёте должна превратиться в S , т. е. увеличиться в раз. На практике, однако, часто пользуются более простым расчётом и при p% годовых (с учётом “процентов на проценты”) за 1 месяц выплачивают %. Возникает очень интересный практический вопрос – кто выигрывает от такого упрощения: банк или вкладчик?
Ответить на этот вопрос дает возможность так называемое неравенство Бернулли, из которого, в частности, следует, что для любых x>0 и любого 0 < r < 1 справедливо неравенство < 1+rx. При x = и r = получаем, что < 1+.Следовательно, в этом случае реальный рост суммы вклада за месяц несколько больше, чем объявленный банком, и поэтому от такого упрощения расчётов выигрывает клиент банка.

Для планирования развития городов, других населённых пунктов, строительства жилья, дорог, других объектов мест проживания людей, необходимы расчёты – прогнозы на 5, 10, 20 лет вперёд. Покажем, как в таких расчётах применяются показательная функция и логарифмы.

Задача №1. Население города возрастает ежегодно на 3%. Через сколько лет население этого города увеличиться в 1,5 раза?

Решение. Для решения этой задачи применим формулу сложных процентов: Примем население города за a, тогда А = 1,5а, p = 3 и x – неизвестно. Сделав подстановку в формулу и сократив на а, получим: или Чтобы решить это показательное уравнение прологарифмируем его. xlg1,03 = lg1,5 , откуда x = Найдя по таблице lg1,5 и lg1,03 , получим

Примерно через 14 лет.

Задача №2. Какова была численность населения города 10 лет тому назад, если в настоящее время в городе проживает 300 тыс. человек, а ежегодный прирост населения составляет 3,5%?

Решение. Численность населения изменяется по формуле: В нашей задаче B = 300 тыс. человек, p = 3,5 %, x = 10 лет, - численность населения 10 лет тому назад. Тогда

; тыс. чел.

Используются логарифмы и в расчётах, связанных с изменением атмосферного давления при изменении высоты над уровнем моря.

Задача №3. Зависимость давления атмосферы р (в сантиметрах ртутного столба) от выраженной в километрах высоты h над уровнем моря выражается формулой Вычислим, каким будет атмосферное давление на вершине Эльбруса, высоты которой 5,6 км?.

Задача №4. Высота над уровнем моря вычисляется по формуле где - давление на уровне моря, p – давление на высоте h м. Альпинисты, поднимаясь на пик Победы, достигли высоты, где давление было равно 304 мм рт. ст. Вычислим, на какой высоте находились альпинисты.

( мм рт. ст.) м

Приведём примеры, демонстрирующие применение показательной функции в экономических расчётах производства. Наукой и практикой экспериментально установлены многие зависимости между величинами, поэтому некоторые формулы, которые будут нами использоваться, мы приводим без вывода. Так, стоимость оборудования цеха через t лет может быть найдена по формуле , где – первоначальная стоимость оборудования в рублях, p – ежегодный процент амортизации, В – стоимость оборудования в рублях через t лет. Необходимо вычислить стоимость оборудования через 5 лет, если его первоначальная стоимость , а ежегодный процент амортизации = 5,7%

Решение. Подставим заданные величины в формулу. Получим:

Задача: Стоимость оборудования мастерской равна 500 тыс. р. Известно, что через 10 лет стоимость этого оборудования вследствие амортизации будет равна 200 тыс. р. Найдите процент ежегодной амортизации оборудования.

Решение. где B = 200 тыс. рублей,

тыс. рублей,

x=10лет. (%)

Другой пример из расчётов прироста производства древесины. Задача.Лесной участок содержит 6500 древесины. Сколько будет древесины на этом участке через 10 лет, если ежегодный прирост леса составляет в среднем 2%?

Решение. Найдём, сколько древесины будет в лесу через 10 лет по формуле сложных процентов: где S – результат, А – исходное кол-во товара, р – процент увеличения, n – кол-во лет.

Следующие примеры, которые мы рассмотрим, имеют непосредственное отношение к физике, химии, биологии, экологии и многочисленным смежным наукам. Практическое применение логарифмов в этих науках связано с их возможностью описывать процессы, при которых изменение одной величины в некоторое количество раз ведёт к изменению зависимой величины на некоторое количество раз. Или наоборот, одна величина меняется на, а другая изменяется в. Таким законам подчиняются, например, процессы размножения микроорганизмов, рост колоний бактерий, радиоактивный распад элементов, изменение скоростей химических реакций и т. п. Все эти процессы получили название процессов органического роста, поскольку математическая модель, их описывающая, имеет одну и ту же структуру.

Рассмотрим задачу об органическом росте в общем виде

Пусть в начальный момент времени имелось q единиц некоторого компонента. В некоторый другой момент времени t имеющийся компонент изменился в p раз. Установите, через какой промежуток времени (начиная с начального момента) этот компонент достигнет заданного количества B единиц.

Для того чтобы это сделать, сначала напомним, что процессы, у которых происходит быстрый рост или быстрое затухание, описываются показательной функцией вида .

В нашем случае будем считать, что начальный момент времени соответствует нулю, тогда , и значит, , т. е. функция, описывающая этот процесс, имеет вид . В следующий момент времени t у нас произошли изменения, описываемые уравнением , т. е. , откуда

Таким образом, по данным условия мы получаем функцию . И теперь ясно, что мы ищем x, при котором , т. е. надо решить уравнение Выполняя логарифмирование уравнения по основанию 10, получим

Биология

Задача №1. В начальный момент времени было 8 бактерий, через 2 ч после помещения бактерий в питательную среду их число возросло до 100. Через сколько времени с момента помещения в питательную среду следует ожидать колонию в 500 бактерий?

Решение. В обозначениях задачи «0» эти данные записываются следующим образом: Значит, требуемое время соответствует значению выражения , т. е. примерно через 3 ч 15 мин.

Задача №2. Численность популяции составляет 5 тыс. особей. За последнее время в силу разных причин (браконьерство, сокращение ареалов обитания) она ежегодно сокращалась на 8%. Через сколько лет (если не будут предприняты меры по спасению данного вида и сохранятся темпы его сокращения) численность животных достигнет предела – 2 тыс. особей, за которым начнётся вымирание этого вида? Решение. Применим для вычисления времени формулу сложных процентов: где2 тыс. – численность животных по истечению искомого времени;5 тыс. – численность животных в начальный момент времени;p = 8 - % сокращения численности животных. Предварительно разделив обе части уравнения на 1000,получим: ; лет. Ответ: приблизительно через 11 лет.

Задача №3. Примером быстрого размножения бактерий является процесс изготовления дрожжей, при котором по мере их роста производится соответствующая добавка перерабатываемой сахаристой массы. Увеличение массы дрожжей выражается показательной функцией: где первоначальная масса дрожжей, t – время дрожжевания в часах, m – масса дрожжей в процессе дрожжевания. Вычислим m, если 10 кг и t = 9 ч.

Решение. Вычислим массу дрожжей в процессе дрожжевания: кг.

Ответ: масса полученных дрожжей: кг.

Разбирая задачу №1, нам очень важно понимать его условность. Ведь действительно, мы учитываем только рост численности бактерий, совершенно не интересуясь такими факторами, как естественная смерть бактерий, временная ограниченность питательного компонента (когда его со временем становится меньше), или, скажем, такой экзотический фактор, как наличие в размножающейся колонии бактерий-паразитов и т. п. Учёт всех этих факторов существенно усложнит построение математической модели ситуации и потребует привлечения иных средств математики для её описания. С некоторыми из этих средств мы познакомимся в курсе математического анализа, а впоследствии вы продолжите их изучение в высшем учебном заведении и, если захотите, на профессиональном уровне. Сейчас же заострять на этом внимание не будем.

Задача №4. Известно, что соотношение между углеродом и его радиоактивным изотопом во всех живых организмах постоянно. Период полураспада углерода составляет 5760 лет. Определите возраст останков мамонта, найденных в вечной мерзлоте на Таймыре, если относительное содержание изотопа в них составляет 26% от его количества в живом организме.

Возвращаясь снова к результатам примера 1 и считая, что изначально изотопа было m , получим: , и значит,

Итак, возраст останков мамонта составляет примерно 11 200 лет. В природе существуют радиоактивные вещества, которые распадаются с течением времени. Промежуток времени, за который число радиоактивных атомов данного вещества уменьшается вдвое, называется периодом полураспада и обозначается буквой Т.

ХимияНаши исследования задач по химии школьного и расширенного курса изучения позволили нам выделить ряд типов задач, при решении которых используются логарифмы:

- равновесные процессы

- гидролиз растворов солей

- скорость химической реакции изучает раздел кинетика

- расчёт рН

Приведём примеры решения данных типов задач.

1) Равновесные процессы

Задача №1.Константа равновесия реакции СО + Сl2 = COCl2 при 600° равна 6,386. В каком направлении будет протекать реакция, если в 1 л реакционной смеси находятся а) 1 моль CO : 1 моль Сl2 и 4 моль СОСl2 ? Решение. Для решения используем уравнение ∆G = RT

1)Рассчитываем произведение концентрации веществ:;v(СОСl2) = 4 моль;ν (СО) = 1 моль;ν (Сl2) = 1 моль;= 4

2) ∆G = RT ;∆G= RT ln 0,63;∆G < 0, т. к. R>0, T>0, ln 0,63 < 0 (т. к. e>0, 0,63 < 1 по свойству логарифмов), следовательно, самопроизвольно будет протекать прямая реакция.

Ответ: будет протекать прямая реакция.

2) Гидролиз растворов солей

Задача №2. Константа скорости гидролиза при 25° равна 3,2 * 10-3 час-1. Рассчитайте а) время за которое гидролизу подвергается 10 % исходного количества сахарозы; б) период полупревращения реакции.

Решение. Рассматриваемая реакция является реакцией первого порядка, т. к. константа имеет размерность час-1.Для ответа на вопрос а) используем уравнение ln = kτ ; cτ = 100% - 10% = 90%

τ = = 32,9

б) Период полураспада рассчитывают по формуле: τ0,5 = = 216 час.

3) Скорость химической реакции изучает раздел кинетика

Задача №3. Оцените, во сколько раз возрастает скорость реакции разложения угольной кислоты при 110К, если энергия активации некаталитической реакции равна 86 кДж/моль, а в присутствии карбоангидразы энергия активации равна 49 кДж/моль (считать, что величина предэкспоненциального множителя не меняется).Решение. Для решения используют уравнение Аррениуса: ∆Еа= RT ln , где k1 – константа скорости каталитической реакции, k – константа скорости некаталитической реакции; ∆Еа= 86 кДж/моль – 49 кДж/моль = 37 кДж/моль;

тогда ln = = 14,34 отсюда следует, что = e14,34 =

Ответ: в присутствии карбоангидразы скорость реакции возрастает в раз.

Задача №4. Потенциал платинового рекорд-электрода в растворе, содержащем смесь солей железа(2) и железа(3), при 298К равен 0,783В. Вычислите отношение концентраций ионов Fe3+ и Fe2+. Решение.В соответствии с уравнением Нернста:

c(Fe3+)

Φr = φ0 Fe3+/ Fe2+ + 0,059 lg ------ ; отсюда

c(Fe2+)

c(Fe3+) φr – φ0r 0,783 – 0,771

lg = = ------- = 0,2034

c(Fe2+) 0,059 0,059

c(Fe3+)

= 1,6

c(Fe2+) Ответ: отношение концентраций ионов Fe3+ и Fe2+ равно 1,6.

Задача №5 На сколько градусов надо повысить температуру для ускорения химической реакции в 59000 раз, если скорость реакции растёт в геометрической прогрессии со знаменателем, равным 3 при повышении температуры на каждые 10°?

Решение. 3x=59000; lg 3x = lg 59000;

x lg3 =59000; 10° · x = 100°

Ответ: надо повысить температуру на 100° для ускорения химической реакции.

4) Расчёт рН

Задача №7. Вычислите pH раствора соляной кислоты с = 0,003 моль/л.

Решение: Для сильных кислот можно считать, что степень ионизации их в разбавленных растворах равна 1, тогда с(Н3О+) = с(НВ), т. е.рН = - lg c(HB) = - lg c(HCl) = - lg 0,003 = 2,52. Ответ: рН = 2,52.

Физика

«Математические методы становятся не только методами, которые используются в механике, физике, но общими методами для всей науки в целом»

Например. Для урана-238 Т = 4,56 млрд. лет; для радия-226 Т = 1590 лет; для цезия-137 Т = 31 год; для йода-131 Т = 8 суток; для радона-222 Т = 3,81 суток. Пусть Т – период полураспада радиоактивного вещества, а t – время, прошедшее с начала наблюдения. Отношение – мера протекшего времени при условии, что за единицу времени берётся период полураспада. Тогда, где – масса вещества в начальный момент t = 0, а m – масса вещества по прошествии времени t. Если взять t=T , то получим , т. е. остающаяся в результате распада масса составляет половину исходной массы. Так и должно быть по определению самого понятия периода полураспада.

Задача №1. Чему равна масса йода-131 к концу четвёртых суток с начала наблюдения, если в начальный момент его масса составляла 1г?

Решение. = 1г; Т = 8 сут.; t = 4 сут.; m - ?

; г.Ответ: m 0,7 г.

Используя эту же формулу, можно решить следующую задачу.

Задача №2. Первый международный эталон радия был изготовлен Марией Кюри в августе 1911 г. и содержал 16,74 мг чистого радия. Какое количество радия содержалось в этом эталоне в 1991 г., если оно вычисляется по формуле где 16,74 мг, Т = 1600 лет и t – время, прошедшее после 1911 г.?

Решение. Найдём количество радия в 1991 году:мг Ответ: 16,17 мг

Астрономия

Приведём один пример использования логарифмов в астрономии. Увеличение диаметра объектива телескопа позволяет видеть всё большее количество звёзд, не различимых простым глазом. При этом предельная «звёздная величина» k звёзд, видимых через телескоп, вычисляется по приближённой формуле k = 7,5 + , где D – диаметр объектива телескопа в сантиметрах. Например, при D = 8 см k = 7,5 + 12. Значит, через телескоп можно увидеть звёзды до 12-й величины. Вычислите k, если D = 16 см. Подставим данное значение диаметра в формулу.

Получим: k = 7,5 + 13,5. Ответ: .

В математике часто используется логарифмическая функция у =

Если а>0, то функция возрастает, если 0<a<1, то функция убывает. Логарифмическая функция проходит через точку (1;0). Данная функция широко используется в различных отраслях жизни человека.

Например, ступени темперированной хроматической гаммы(12 звуковой) частот звуковых колебаний представляют собой логарифмы с основанием 2.

Громкость звука и яркость звезд оценивается по логарифмической шкале. “Величина” звезды представляет собой логарифм её физической яркости. Короче говоря, оценивая яркость звезд, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной по основанию 2,5.

Уравнение логарифмической спирали .

Математическая спираль является символом жизни. Развитие раковин, завитки рогов архаров, расположение семечек в подсолнухе все это развитие по логарифмической спирали. Один из наиболее распространенных пауков эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра логарифмической спирали. По логарифмическим спиралям закручены и многие галактики, в частности Галактика, которой принадлежит Солнечная система.