Изгиб

5. ИЗГИБ

5.1. Основные понятия

Балка – стержень, работающий на изгиб. Изгиб возникает тогда, когда в поперечных сечениях балки действует изгибающий момент и, возможно, поперечная сила. Если из внутренних сил не равны нулю только Мх ( Мх и Qy ) , то балка испытывает изгиб в вертикальной плоскости, если Му (Му и Qx) , то в горизонтальной плоскости. В том случае, если поперечное сечение балки имеет ось симметрии, а балка – плоскость симметрии и равнодействующие всех внешних нагрузок, в том числе реакций опор, лежат в плоскости симметрии балки, называемой силовой плоскостью, изгиб называется плоским. При этом изогнутая ось балки будет представлена плоской кривой, лежащей в плоскости симметрии балки.

Балки устанавливаются на опорах, которые бывают: шарнирно – подвижные, ( рис. 5.1,а, опора В ), шарнирно – неподвижные, ( рис. 5.1,б, опора А ), жесткое защемление или заделка, ( рис 5.1,в ). Для плоской системы сил в силовой плоскости выполняются три уравнения равновесия статики, поэтому в опорах статически определимой балки должно возни-кать три реакции. Типы таких балок : простая однопролетная, расстояние между опорами называется пролетом ( рис. 5.1,а), консольная балка с одной или двумя ( рис 5.1,б ) консолями, балка - консоль ( рис 5.1,в ).

5.2. Дифференциальные зависимости при изгибе

Вырежем из балки сечениями I – I и I – II участок АВ, длиной dz ( рис. В сечении 1 - 1 приложим внутренние силы MX и QY.

В сечении П – П из–за приращения координаты z на dz, внутренние силы также получат приращения и станут равными MX + dMX, QY + dQY.

Поперечная сила прикладывается так, чтобы она вращала рассматриваемую часть балки по часовой стрелке. Изгибающий момент будем прикладывать так, чтобы он растягивал нижние волокна в

рассматриваемой части балки. Вследствие малости dz нагрузку q будем считать постоянной на этом участке. Так как балка находится в равновесии, то участок АВ находится в равновесии ( рис. 5.3 ).

Рис. 5.2 Рис. 5.3

Запишем уравнения равновесия статики. : ; ; = .

Из этой зависимости следует, что если распределенная нагрузка отсутствует, то есть , то , если , то QY – ли-нейно зависит от координаты z.

. – MX – QY dz + q dz () + MX + dMX = 0.

. Величина - бесконечно малая высшего ( второго ) порядка малости, ей пренебрегаем по сравнению с остальными величинами первого порядка малости. Получаем

( 5.1 )

Следствия из этой зависимости:

1. Если , то = const – это чистый изгиб.

2. Если в какой-то точке, и меняет знак в окрестности этой точки, то в этой точке принимает экстремальное значение, что используется для нахождения третьей точки при построении криволинейной эпюры изгибающих моментов.

5.3. Нормальные напряжения при изгибе

При выводе формулы для определения нормальных напряжений будем использовать следующие допущения :

1.  Плоские поперечные сечения, перпендикулярные оси балки до изгиба, остаются плоскими и перпендикулярными оси балки во время изгиба, поворачиваясь относительно друг друга на некоторый угол.

2.  Волокна балки, параллельные ее оси, растягиваются или сжимаются и не давят друг на друга в поперечном направлении.

3.  Деформации волокон по ширине балки постоянны.

Точно эти допущения выполняются для случая чистого изгиба, но с высокой степенью точности их можно применять и при наличии поперечной силы.

Так как при изгибе одни волокна балки растягиваются, а другие сжимаются, то между ними находятся волокна, которые не растягиваются и не сжимаются, а только изгибаются. Эти волокна образуют нейтральный слой балки. Пересечение силовой плоскости балки и нейтрального слоя называется нейтральной осью балки.

Рассмотрим балку в условиях чистого изгиба. Проведем два сечения I – I и II – II на расстоянии dz друг от друга ( рис. Пусть ось z – нейтральная ось. Волокно расположено на нейтральном слое.

Волокно АВ расположено на расстоянии от нейтрального слоя. АВ=ОО1 . Нарисуем балку после изгиба. ( рис. Сечения I – I и II – II, оставаясь плоскими, повернутся друг относи-тельно друга на угол da и

пересекутся в точке К Рис. 5.4

.

Рис. 5.5 Рис. 5.6

Точка К – центр кривизны нейтральной оси балки, ρ - радиус кривизны нейтральной оси. Абсолютное удлинение волокна АВ будет равно

DАВ = А1В1 – АВ. Относительное удлинение или линейная деформация

волокна АВ будет

=.

Так как материал подчиняется закону Гука, то напряжения будут равны

Используем метод сечений и рассмотрим правый участок балки ( рис. Так как участок балки находится в равновесии, то должны выполняться все уравнения равновесия статики. Некоторые из них : , , выполняются тождественно. Запишем остальные три уравнения равновесия:

: . Используем ( 5.2 ) , ,

но E ¹ 0, и, если r = ∞, то балка прямая, то есть она не изогнулась, что противоречит условию. Значит SX=0, то есть, ось х – центральная ось.

: Из тех же соображений следует, что , то есть , и оси x и y являются главными. : , , или , откуда . (5.3)

Здесь - кривизна нейтральной оси балки при изгибе, EIX - жесткость балки при изгибе. Подставим выраже-ние ( 5.3 ) в формулу ( 5.2 ) и получим формулу для

Рис. 5.7 определения нормальных напряжений при изгибе.

Построим эпюру нормальных напряжений при изгибе ( рис. Максимальные напряжения возникают при .

Из условия прочности балки при изгибе по допускаемым нормальным напряжениям , можно подобрать сечение балки

Как видно из рис. 5.7, наиболее нагруженными, то есть полностью работающими, являются волокна, наиболее удаленные от нейтрального слоя. Поэтому по возможности удаляют из балок материал, расположенный близко к нейтральному слою, и получают такие сечения, как двутавр, швеллер. Рациональными сечениями являются такие, у которых наибольшее значение при наименьшей площади сечения.

Пример на определение внутренних усилий и подбор сечения в балке, изображенной на рис. 5.8,а.

Определим опорные реакции. В шарнирно-неподвижной опоре А возникают две составляющих реакции – вертикальная RA и горизонталь-ная НА. В шарнирно-подвижной опоре В – одна вертикальная реакция RВ. Для определения трёх неизвестных реакций имеем три уравнения равновесия статики : , НА=0.

: , RA = 49 кН.

: , RB = 40 кН.

Проверка .

Разобьём балку на участки. Границами участков являются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы или моменты, а так же сечения, где начинается и заканчивается приложение распределённых нагрузок. На заданной балке имеются 4 участка.

Участок 1. Проводим сечение в пределах 1 участка на рас-стоянии от точки А. Сечение проводится в произвольном месте участка I, но только не по его граничным точкам А и D. Координата при этом изменяется от 0 до а, то есть 0£ . Отбросим правую, более сложную часть балки и рассмотрим равновесие левой части ( рис. 5.9 )

: , откуда .

Это прямая линия, для построения которой достаточно найти её значение в двух точках, например, при =0 и при =а :

кН, кН

По полученным значениям строим эпюру QY на I участке ( рис. 5.8,б ).

: , откуда .

Это парабола, для построения которой необходимо иметь как минимум значения в трёх точках. В двух точках

кНм, кНм

и в какой-либо третьей точке. Если эпюра Qy на рассматриваемом участке не пересекает ось, то Мx не имеет экстремума на этом участке, и в качестве третьей точки принимается любая точка участка, например, середина. Если эпюра Qy пересекает ось, как это имеет место в нашем примере на участке I, то в качестве третьей точки выбирается координата , которую определим, приравнивая выражение для Qy(z1) нулю при : , откуда м.

Тогда кНм

Строим эпюру МX на I участке (рис. 5.8,в).

Отбросим правую часть балки и рассмотрим равновесие левой части ( рис. 5.10 ).

åFY = 0 : , откуда = 49 – 20 * 4 = -31 кН

åmО2= 0 : , .

кНм кНм

Cтроим эпюры Qy ( рис. 5.8,б) и Мх ( рис. 5.8,в) на II участке.

Участок III проще рассматривать справа, отбрасывая левую часть балки, поэтому проводим сечение в пределах III участка на расстоянии от сечения С, то есть 0££с. ( рис. 5.11).

åFY = 0 : , откуда кН .

: .

кНм кНм

Участок 1V. Участок IV также удобно рассматривать, отбросив часть балки слева от сечения, ( рис. 5.12 ) , 0£ Z4£е.

åFY = 0 : кН;

: ;

; кНм;

Подберем стальную балку двутаврового поперечного сечения из условия прочности по нормальным напряжениям.

Подставим в формулу (5.6 ) =46 кНм=46000 Нм, =160 Мпа.

м3=287,5 см3.

По сортаменту, см. приложение 1 , выбираем двутавр № 24 по

ГОСТ 8239-89 с =289,0 см3.