Нестандартные задачи (стр. 4 )

Правило удобно сформулировать в виде формулы:

А1=15;

Однако полезно при разборе задачи попытаться дать словесную формулировку (см. задачу 17.2).

20.3. (Продолжение серии задач типа 18.4.) Если вытащить наугад 8 шаров, то среди них может не оказаться трех шаров одного цвета (2 белых + 9 красных + 2 синих + 2 черных). Если теперь вытащить еще один шар, то обязательно получим 3 шара одного цвета.

Ответ. 9 шаров.

20.4. а) Какую бы цифру мы не поставили вместо А, число A37 на 6 делиться не будет, так как оно не делится на 2.

б) Чтобы число А37 делилось на 9, надо чтобы сумма его цифр делилась на 9, т. е. А + 3 + 7 должно делиться на 9, а А + 10 делится на 9 только если А = 8

20.5. Решение:

► 21.1. Если число делится нацело на 31 и частное равно 30, то это число Но в условии не сказано, что число должно делиться нацело, т. е. при делении его на 31 возможны остатки и наибольший из них равен 30, следовательно, искомое число равно

21.2. (Задача является продолжением задачи 15.3.) После того, как удастся получить 1 литр, действуем так:

	Ведро (8 л)	Бидон (5 л)	Банка (3 л)
4-й шаг	2 л	5 л	1 л
5-й шаг	7 л	0 л	1 л
6-й шаг	7 л	1 л	0 л
8-й шаг	4 л	1 л	3 л
9-й шаг	4 л	4 л	0 л

21.3. Из условия следует, что масса половины кирпича 2 кг. Следовательно, масса кирпича 4 кг.

21.4. (Вспомните задачу 19.4.) А - Лжец, так как фраза «Мы все Лжецы» не может быть правдой; следовательно, либо В — Рыцарь, либо С - Рыцарь (либо они оба Рыцари). Если В - Рыцарь, то Лжец один А, а С — также Рыцарь. Если В - Лжец, то лжецов двое (как так все трое не могут быть ни лжецами, ни рыцарями), следовательно, С может быть только Рыцарем, независимо от того, кто В. Про В невозможно сказать, Рыцарь он или Лжец.

21.5. Ответ:

►22.1. 1) Чтобы число *43* делилось на 45, требуется, чтобы оно делилось на 5 и на 9.

2)Число делится на 5, если его последняя цифра 0или 5.

3)Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

4)Рассмотрим два случая:

а) если последняя цифра 5, то сумма цифр 12 + х, где х = 6, т. е. получаем число 6435;

б) если последняя цифра 0, то сумма цифр 7 +х, где х = 2, и тогда число равно 2430.

22.2. (Аналог задач 1.4 и 4.4.) Сделайте рисунок!

Ответ: а) Если автомобили едут в разные стороны, то расстояние между ними через час равно 120 км;

б) автомобили едут навстречу друг другу; тогда расстояние между ними через час будет равно 80 км;

в) автомобили едут в одну сторону и впереди тот, которого скорость больше; в этом случае расстояние между ними составит 40 км;

г) автомобили едут в одну сторону и впереди тот, чья скорость меньше, тогда через час расстояние между ними будет 0 км.

22.3. Если до конца суток осталось времени, прошедшего от начала суток, то от начала суток прошло . Следовательно, сутки составляют времени, прошедшего от начала суток, значит, составит (ч) и с начала суток прошло (ч).

Ответ. Сейчас 15 часов.

22.4. (Продолжение темы задач 18.4 и 20.3.) Может случиться так, что вначале мы вытянем 100 черных шаров, и лишь затем 2 белых.

Ответ. 102 шара.

22.5. Решение:

23.1. 700 - самое маленькое трехзначное число, первая цифра которого 7; оно не делится на 3; заметим, что из трех подряд идущих чисел только одно делится на 3. Так как 701 на 3 не делится, то искомым является число 702.

23.2. Так как произведение чисел оканчивается на 0, то среди сомножителей должно быть четное число. Единственное простое четное число это 2. Следовательно, четыре простых последовательных числа это 2, 3, 5, 7. Их произведение равно 210.

23.3. Остаток равен 8 и делится на однозначное число, поэтому делитак как делитель больше 8, но меньше 10). При делении числа 5АА на 9 получаем остаток 8, следовательно, при делении суммы цифр этого числа 5 + 2А на 9 имеем остаток 8. Отсюда следует, что 2А - 3 делится на 9. Перебором убеждаемся, что А = 6, и, следовательно, искомое число 566.

23.4. Имеются следующее, сведения:

1) вода и молоко не в бутылке;

2) сосуд с лимонадом находится между кувшином и сосудом с квасом, следовательно, лимонад не в кувшине и квас не в кувшине;

3) в банке - не лимонад и не вода;

4) стакан находится около банки и сосуда с молоком, следовательно, молоко не в стакане и не в банке;

Результаты запишем в таблицу:

	Бутылка	Стакан	Кувшин	Банка
Молоко	нет (из 1)	нет (из 4)	да (из 5)	нет (из 4)
Лимонад	да (из 6)	нет (из 6)	нет (из 2)	нет (из 3)
Квас		нет (из 6)	нет (из 2)	да (из 6)
Вода	нет (из 1)	да (из 6)	да (из 5)	нет (из 3)

5)из таблицы видно, что молоко может быть только в кувшине, и, следовательно, в кувшине не вода.

Продолжим заполнение таблицы;

6) вода не в кувшине, значит, вода может быть только в стакане, следовательно, в стакане не лимонад и не квас, поэтому лимонад в бутылке, а квас в банке.

23.5. Решение.

►24.1. Пусть х- искомое число. Тогда:

1) при делении 100 на х в остатке получили 4, значит, 96 делится на х без остатка;

2) при делении 90 на х в остатке получили 18, поэтому 72 делится на х без остатка;

3) делитель должен быть больше остатков, следовательно, делитель больше 18;

4) числа 96 и 72 делятся на х, поэтому их разность 24 также делится на х, причем . Это может быть только в том случае, если х=24.

24.2. Не является, так как делится на 2.

24.3. Если 0,6 числа овец пасутся, то остальные 0,4 пьют воду, значит, 0,4 общего числа составит 60 овец; тогда 0,1 составляет 15 овец, следовательно, всего было 150 овец.

24.4. (Ср. с задачей 17.4.) В коробке с надписью БЧ могут быть только шары одного цвета, так как иначе бы надпись соответствовала содержанию. Из этой коробки и надо вынуть один шар. При этом возможны два случая:

1) вытащили черный шар, т. е. в коробке с надписью БЧ два черных шара; тогда в коробке ББ белый и черный шары, а в коробке ЧЧ два белых шара;

2) вытащили белый шар, т. е. в коробке БЧ два белых шара; тогда в коробке ЧЧ шары разного цвета, и в коробке ББ два черных.

24.5. Ответ. 10= 1585.

►25.1. Наибольшее пятизначное число, первая цифра которого 3, а остальные цифры различные, это 39876; оно не делится на 9, но делится на 3,. так как сумма его цифр равна 33. Из 9 идущих подряд чисел одно обязательно делится на 9. Если из числа 39876 вычесть 6, то получим 39870. Это число и является искомым, так как 39873 на 9 не делится.

25.2. Одна четвертая часть куска мыла весит кг. Следовательно, кусок мыла весит кг, т. е. 3 кг.

25.3. (См. задачу 19.2.) Пока едешь пути на мотоцикле, на велосипеде проедешь в два раза меньше, т. е. пути. Поэтому, велосипедисту останется путь в два раза больший, но так как и скорость его теперь в два раза больше, чем у пешехода, то они прибудут одновременно.

25.4. (Продолжение темы задач 19.4 и 21.4.) А не может быть Рыцарем, так как в этом случае он не может сказать про себя: «Я - Лжец» (Рыцари могут говорить только правду). Не может он быть и Лжецом, так как Лжец всегда лжет. Следовательно, А -не коренной житель острова и поэтому мы не знаем, сказал ли он правду или ложь. Таким образом, про ничего определенного сказать нельзя.

25.5. Ответ.

,

►26.1. Решая аналогично 22.1 получим: 72630 и 72135.

26.2. Рассмотрим равносторонний треугольник (сделайте рисунок!) со стороной 1 м. Из трех его вершин две окрашены одинаково, расстояние между ними как раз и равно 1 метру.

26.3. 0,5 кг составляет 0,2 веса кошки. Следовательно, кошка весит 2,5 кг.

26.4. Ответ. Мальчика звали Дима.

26.5. Решение.

►27.1. Искомое число будет делиться на 7, 8 и 9. Эти числа взаимно простые, следовательно, искомое число будет делиться на их произведение, т. е. на 504. Это число трехзначное. Ответ. 504.

27.2. (См. задачу 15.5.) Каждый час поезда сближаются на 80 км. Встретились они через 4 ч. За это время голубь пролекм.

27.3. Число тетрадей в одной стопке составляет 60% числа тетрадей в другой (т. е. от количества тетрадей во второй стопке). Таким образом, в двух стопках вместе будет (т.)

Ответ: (т.) - в первой стопке; (т.) во второй.

27.4. Двух честных сенаторов быть не может, так как в соответствии с фактом 2) в каждой произвольно выбранной паре сенаторов хотя бы один продажен. Из факта 1) следует, что, по крайней мере, один из сенаторов является честным, следовательно, честных сенаторов ровно 1.

27.5. Ответ.

►28.1. (См. задачи 22.1 и 26.1.) Используя признак делимости на 4, заключаем, что последняя цифра либо 2, либо 6.

Ответ. 3132 и 8136.

28.2. (См. задачу 12.5.) Сделайте рисунок! Ответ. 27 с.

28.3. Если к половине всех учеников (а это - ) прибавить четверть (), затем прибавить , пребывающих в «молчаливом размышлении», то получим , следовательно, три девы составляют часть учеников, а всего учеников 24 человека.

28.4. Чтобы проверить утверждение Мюнхгаузена, разложим число 6552 на простые множители. Получим:. Так как число 13 - простое, т. е. его нельзя представить в виде произведения однозначных множителей, и само оно - не цифра, значит, Мюнхгаузен как всегда врал.

28.5. Решение.

►29.1. Разложим число 864 на простые множители:. Так как множители должны быть взаимно простыми, то все двойки должны содержаться в одном множителе, а все тройки - в другом Ответ. .

29.2. Заметим, что (всего 1995 нулей) Сумма цифр этого числа делится на 9, следовательно, и само число делится на 9.

29.3. После подорожания товар стоил 1100 руб. При снижении цены 1100 руб%, 110 рублей - 10% стоимости товара, следовательно, товар стал стоитьруб.

29.4. Будем решать задачу, последовательно заполняя таблицу:

Имена девочек	Цвет туфель	Цвет платья
	белый	зеленый	синий	белый	зеленый	синий
Аня Валя Наташа	да (3) нет (2)	да (1)	да (4)	да (5)	да (6)	да (7)

1) Так как у Наташи туфли были зеленого цвета (1), а у Вали не белого (2), то у Ани туфли белые (3), а Вали синие (4).

2) Так как у Ани цвета платья и туфель совпадали, то у нее платье белое (5), у Вали платье не синее (так у нее цвета платья и туфель не совпадали) и не белое (как у Ани), следовательно, оно зеленое (6). У Наташи — платье синее (7).

29.5.

							2	0	9
						*	2	0	9
						1	8	8	1
				+	4	1	8
					4	3	6	8	1

►30.1. Решение. Так как сумма квадратов двух простых чисел оканчивается на 3, то одно из этих чисел оканчивается на 3, то одно из этих чисел четное, т. е. 2. Последняя цифра второго простого числа 9, так как только сумма 9 + 4 оканчивается на 3. Если квадрат простого числа оканчивается на 9, то само простое число оканчивается на 7 или на 9. Таких чисел много: 3, 7, 13, 17, 2, 37, ... . К сожалению, полностью решить задачу, т. е. найти все такие числа, мы не можем.

30.2. После замерзания объем воды увеличивается на и станет равным . Это означает, что объема воды соответствует объема льда (см. рисунок). Следовательно, после таяния объем льда уменьшается на .

вода

лед

30.3. По ходу решения задачи заполняем таблицу:

Имена	Цвет платья
девочек	зеленый	голубой	розовый	белый
Аня	нет(1)
Валя	нет(1)	да(3)	нет(З)	нет(З)
Галя	да (2)
Надя	нет (2)

1).Девочка в зеленом платье - не Аня и не Валя (1);

2).девочка в зеленом платье - не Надя (так как она стоит между девочкой в голубом и Надей). Следовательно, в зеленом платье Галя;

3).Валя не в розовом платье и не в белом, следовательно, она в голубом платье;

4)из рисунка (сделайте!) понятно, что розовое платье может быть только у Нади, а белое - у Ани.

30.4. Пусть х — исходное число. Тогда х + 1 число четное и делится на 3 (так как при делении х на 3 имеем остаток 2), следовательно, х + 1 делится на 6, а при делении х на 6 получаем остаток 5.

30.5. Решение.

Список литературы

1. Задачи математических олимпиад. М., 1975.

2. Нестандартные задачи по алгебре. М., 1976.

3. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. М., 1995.

4.Возлинская ММ. Нестандартная математика в школе. М., 1993.

5. Математический фольклор. М., 1987.

6., Итерберг Я. В., Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы. Киров, 1994.

7. Занимательные математические игры. М., 1987.

8.. L Московская математическая олимпиада: сборник подготовительных задач. М., 1994.

9.Квант. .

10. Задачи по математике для любознательных. М., 1992.

11. Задачи повышенной трудности в курсе математики 4-5 классов: Кн. для учителя. М., 1986.

12.. Сухотина 3. С. (сост.) Развивающие задачи для математического досуга. М., 1993.

13. Увлекательная математика. М., 1985.

14 Занимательные логические задачи. Спб., 1996.

15.Мочалов ЛЛ. Головоломки. М., 1980.

16., Математическая шкатулка: Пособие для учащихся. М., 1984.

17. Задачи я упражнения по развитию творческой фантазии учащихся. М., 1985.

18. Как решать задачу. М., 1961.

19. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. М., 1970.

20.Пойа Дж. Обучение через задачи / В сб.: На путях обновления школьного курса математики. М., 1978.

21.. Задачи и теоремы из анализа. Предисловие. М.- Л., 1937.

22. Математические олимпиады младших школьников. М., 1990.

23. (сост.) Задачи для внеклассной работы, по математике. М., 1994.

24.. Я.. Примени математику. М., 1989.

25. Алиса в стране смекалки. М., 1987.

26. Как же называется эта книга? М., 1981.

27. Принцесса или тигр? М., 1985.

28. Математический праздник. М., 1995.

29., Математика. Задачи на смекалку. М., 1995.

30. задачи в обучении математике. М., 1994.

Содержание

Особенности организации конкурса	3
Комментарии к задачам	5
Условия задач	6
Решения задач	20
Список литературы	43
Содержание	44