Функции нескольких переменных

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Пусть: z - переменная величина с областью изменения R; R- числовая прямая; D - область на координатной плоскости R2.

Любое отображение D->R называют функцией двух переменных с областью определения D и пишут z = f(x;y).

Другими словами:

Если каждой паре (х; у) двух независимых перемен­ных из области D по некоторому правилу ста­вится в соответствие одно определенное значение z из R, то переменную величину z называют функцией двух не­зависимых переменных х и у с областью определения D и пишут

Аналогичным образом определяются функции многих переменных

П р и м е р 1. Найти и изобразить область определения функции

Решение.

x2 –y ≠ 0

Область определения – есть плоскость хОу за исключением точек, лежащих на параболе у = х2, см. рисунок.

П р и м е р 2. Найти и изобразить область определения функции

Решение.

Область определения – есть часть плоско­сти, лежащая внутри круга радиуса г = 3 , с центром в начале координат, см. рисунок.

П р и м е р 3. Найти и изобразить область определения функции

Решение.

Область определения – есть часть плоско­сти, в которой абсцисса и ордината ка­ждой точки имеют одинаковые знаки, т. е. это часть плоскости, лежащая в пер­вом и третьем координатных углах, см. рисунок.

К числу функций нескольких переменных относятся производственные функции.

Производственными функциями называют функ­ции, представляющие зависимости величин объемов вы­пускаемой продукции от переменных величин затрат ре­сурсов.

Производственные функции применяются не только в микроэкономических, но и в макроэкономических рас­четах.

Простейшая производственная функция - функция зависимости объема произведенной работы V от объемов трудовых ресурсов R и вложенного в производство капи­тала К

2.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ФУНКЦИИ ДВУХ

ПЕРЕМЕННЫХ

2.1.График функции двух переменных

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и область D на плоскости хОу. В каждой точке М(х;у) из этой области восстановим перпендикуляр к плос­кости хОу и отложим на нем значение z = f(x; у). Геомет­рическое место полученных точек

является пространственным графиком, функции двух переменных.

Это некоторая поверхность.

Равенство z = f(x; у) называется уравнением этой по­верхности.

Функция двух переменных имеет наглядную геомет­рическую интерпретацию. Для функции числа перемен­ных n > 2 аналогом поверхности является гиперповерх­ность (n + 1) - мерного пространства, не имеющая геомет­рической интерпретации.

2.2. Линии уровня

Линией уровня функции двух переменных z = f(x; у) называется линия f(x; у) = С (С = const) на плоскости хОу, в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение С.

Линия уровня представляет собой сечение поверхности графика функции двух переменных z = f(x; у) плоскостью z = С.

Поверхностью уровня функции трех переменных

u = f(x; у; z) называется поверхность в R3 (трехмерном про­странстве), в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение f(x;y;z) = C (С = const).

П р и м е р. Найти и построить линии уровня функции

Решение.

Линии уровня z = С данной функции имеют уравнения

Это окружности с центром в начале координат, радиусом R = C1/2 и уравнением

x2 + y2 = R2, см. рисунок.

Линии уровня позволяют представить рассматриваемую поверхность, дающую в сечении плоскостями z = C концентрические окружности.

При построении графика функции часто пользуются методом сечений.

П р и м е р. Построить график функции и найти .

Решение. Воспользуемся методом сечений.

– в плоскости – парабола.

– в плоскости –парабола.

– в плоскости – окружность.

Искомая поверхность – параболоид вращения.

Расстоянием между двумя произвольными точками и (евклидова) пространства называется число

Множество точек называется открытым кругом радиуса с центром в точке r.

Открытый круг радиуса ε с центром в точке A называется - ε - окрестностью точки А.

3адание

Найти и изобразить графически область определения функции:

Построить линии уровня функций:

3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

Основные понятия математического анализа, введен­ные для функции одной переменной, распространяются и на функции нескольких переменных.

О п р е д е л е н и е:

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных z = f(x;у) при х —> х0, у —> у0, если для лю­бого

ε >0 существует δ >0 такое, что |f(х; у) - А| < ε , как только

|x - x0| < δ и |у – у0| < δ.

Этот факт обозначается так:

Геометрический смысл определения предела функции 2-х переменных:

Пусть:

М0(х0; у0) - фиксированная точка из области D;

М(х;у) - произвольная точка из области D, не совпадаю­щая с точкой М0(х0;у0).

|М0М| - расстояние между точками М0 и М ;

г > 0 - постоянное число.

Постоянное число А называется пределом функции двух переменных f(x;y) = f(M) при стремлении точки М к точке М0, если для любого ε >0 можно найти такое число г >0, что как только расстояние |М0М| < г, так сейчас же |f(M)-A| < ε.

Этот факт обозначается так:

или

При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки . Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

П р и м е р 1. Найти .

Решение. Пусть стремление к предельной точке происходит по прямой . Тогда

.

Предел, очевидно, не существует, так как число зависит от .

П р и м е р 2. Найти .

Решение. По любой прямой предел один и тот же:

.

С другой стороны, пусть стремление к предельной точке происходит по кривой . Тогда

;

следовательно, предел не существует.

Сформулируем понятие предела функции для случая, когда предельная точка имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда , (остальное – по аналогии).

О п р е д е л е н и е. Число называют пределом функции при и , если для такое, что из неравенств и следует неравенство . Этот факт коротко записывают так:

.

Теоремы о пределах функций двух переменных

Теорема 1. Если существуют и , то:

;

;

,

где предельная точка может быть конечной или бесконечной.

Справедливы аналоги и других теорем о свойствах пределов функций одной переменной.

Частные и полное приращения функции двух переменных.

Пусть М0(х0,у0) - фиксированная точка из области D, а М(х;у) - произвольная точка из области D, не совпадающая с точкой М0(х0;у0).

Разности Δх = х – х0 и Δу = у – у0 называются прира­щениями аргументов.

При указанных приращениях аргументов функция

z = f(x; у) может получить приращения:

Δхz = f(x0+Δx;y0) – f(x0;y0) – частное приращение функции z = f(x;у) по х

Δyz = f(x0;y0 + Δy0) - f(x0;y0) – частное приращение функции z = f(x;у) по х

Δz = f(x0+Δx;y0+Δy) - f(x0;y0) - полное приращение функ­ции z = f(x;у).

4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ

4.1. Непрерывность функции по всей совокупности переменных.

Пусть дана функция с областью определения и пусть – предельная точка множества , т. е точка, к которой стремятся аргументы х и у.

О п р е д е л е н и е 1. Говорят, что функция непрерывна в точке, если:

1)  ;

2)  , т. е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим , и .

О п р е д е л е н и е 2. Говорят, что функция непрерывна в точке, если выполняется равенство

.

Приведенное определение непрерывности задает не­прерывность по всей совокупности переменных. Если имеет место непрерывность по всей совокупности пере­менных, то одновременно имеет место непрерывность по каждой переменной.

Доказано, что непрерывны:

1. Сумма (разность) двух непрерывных функций.

2. Произведение (частное, если знаменатель дроби отли­чен от нуля) двух непрерывных функций.

3. Суперпозиция (функция от функции) непрерывных функций.

4. Целая рациональная функция двух переменных на всей плоскости хОу.

5. Дробно-рациональная функция двух переменных во всех точках, в которых знаменатель функции отличен от нуля.

6. Показательно-степенная функция z = xy и другие.

4.2. Непрерывность по отдельным переменным.

Зафиксируем переменную , полагая , а переменной придадим произвольное приращение . Функция получит частное приращение по х

,

Заметим, что является функцией одной переменной . Аналогично,

.

О п р е д е л е н и е. Функция называется непрерывной в точке по переменной (по переменной ), если

().

Теорема. Если функция определена в некоторой окрестности точки и непрерывна в этой точке, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных.

Обратное утверждение неверно.

П р и м е р. Докажем, что функция

непрерывна в точке по каждой переменной и , но не является непрерывной в этой точке по совокупности переменных.

Доказательство. Рассмотрим частное приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента :

.

Очевидно, что , а это означает, что непрерывна в точке по переменной .

Аналогично можно доказать непрерывность в точке по переменной .

Покажем, что предел не существует. Пусть точка стремиться к точке по прямой , проходящей через точку . Тогда получим

.

Таким образом, приближаясь к точке по различным прямым, соответствующим разным значениям , получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке не существует, а значит, функция не является непрерывной в этой точке.

5.ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

5.1.Частные производные первого порядка функции двух переменных

Частной производной первого порядка функции z = f(x, у) по незави­симой переменной называется предел отношения соответ­ствующего частного приращения функции по этой пере­менной к вызвавшему его приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Частная производная первого порядка функции z = f(x, у) по незави­симой переменной х обозначается:

Другие обозначения

Частная производная первого порядка функции z = f(x, у) по незави­симой переменной у обозначается:

Другие обозначения

Легко видеть, что частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому частные производные вычисляются по тем же правилам, что и вычисление производных функций одной переменной.

П р и м е р 1. Найти частные производные функции .

Решение. Имеем:

,

П р и м е р 2. Найти частные производные функции

Решение.

П р и м е р 3. Найти частные производные функции

Решение.

Пример 4. Найти частные производные функции

Решение.

5.2. Дифференциалы первого порядка функции двух переменных

Частные дифференциалы функции z = f(x, у) по переменным х и у определяются, соответственно по формулам

Если частные производные f'х(x;y) и f'у{x;y) сущест­вуют в точке (х0;у0) и в некоторой ее окрестности и не­прерывны в этой точке, то по аналогии с функцией одной переменной устанавливается формула для полного при­ращения функции двух переменных

(*)

где α и β зависят от Δх и Δу и вместе с ними стремятся к нулю.

Функция двух переменных называется дифференци­руемой в точке (х0,у0), если для нее имеет место соотно­шение (*), которое можно представить в форме

где ,

Другими словами, функция z = f(x, y) дифференцируема в точке, (х, у), если ее приращение Δz эквивалентно функции:

при ρ → 0

Выражение

в этом случае представляет собой главную часть приращения Δz, линейно зависящую от Δх и Δу и называется полным дифференциалом dz функции z=f(x, y). Таким образом,

С учетом того, что Δх = dx, Δy=dy:

Итак, полный дифференциал функции двух перемен­ных равен сумме частных дифференциалов.

5.3. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Теорема. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение неверно, т. е. непрерывность является только необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Покажем это.

П р и м е р. Найдем частные производные функции :

.

Полученные формулы теряют смысл в точке .

Можно показать иначе, что функция не имеет частных производных в точке . В самом деле, . Эта функция одной переменной , как известно, не имеет производной в точке . Последнее и означает, что частная производная в точке не существует. Аналогично, не существует частная производная . При этом функция , очевидно, непрерывна в точке .

Итак, мы показали, что непрерывная функция может не иметь частных производных. Осталось установить связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

5.4. Связь между дифференцируемостью и существованием частных производных.

Теорема 1. Необходимое условие дифференцируемости.

Если функция z = f(x, y) дифференцируема в точке M(x, y), то она имеет в точке M частные производные по каждой переменной и .

Обратная теорема не верна, т. е. существование частных производных является необходимым, но не является достаточным условием дифференцируемости функции.

Теорема 2. Достаточное условие дифференцируемости. Если функция z = f(x, y) имеет непрерывные частные производные и в точке , то она дифференцируема в точке (и ее полный дифференциал в этой точке выражается формулой ).

Обратная теорема не верна, т. е. непрерывность частных производных является только достаточным, но не необходимым условием дифференцируемости функции.

5.5. Приближенные вычисления при помощи дифференциала

Для достаточно малых Δх и Δу справедливо утверждение: полное приращение функции приближенно равно дифференциалу функции Δz ≈ dz.

Алгоритм, приближенных вычислений при помощи дифференциала состоит в следующем.

1. Записать функцию, значение которой нужно найти.

2. Выбрать «удобное» значение аргументов х0 и у0 и вы­числить значение функции z0 = f(x0,y0). «Удобными» мы называем значения аргументов, близлежащие к задан­ным значениям, значение функции в которых легко вычисляется.

3. Найти Δх и Δу.

4. Найти полный дифференциал функции и вычислить его значение в точке (х0,у0).

5. Искомое значение функции z1 = z0 + Δz; z1 ≈ z0 + dz.

Пример 1. Вычислить

Пример 2. Вычислить 3,021,97

3адание

Вычислить приближенно при помощи дифференциа­ла:

5.6. Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная.

Случай 1.

Пусть

z=f(u, v); u=φ(x, y), v=ψ(x, y)

Функции u и v непрерывные функции от аргументов х, у.

Таким образом, функция z есть сложная функция от аргументов х и у: z=f(φ(x, y),ψ(x, y))

Предположим, что функции f(u, v), φ(x, y), ψ(x, y) имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.

Поставим задачу вычислить и .

Дадим аргументу x приращение Δx, фиксируя значение аргумента y. Тогда функции двух переменных u= φ(x, y) и

v= φ(x, y) получат частные приращения Δxu и Δxv. Следовательно, z=f(u, v) получит полное приращение, определяемое в п.5.2 (дифференциалы первого порядка функции двух переменных):

Разделим обе части этого равенства на Δx:

Если xu→ 0, то Δxu → 0 и Δxv → 0 (в силу непрерывности функций u и v). Переходя к пределу при Δx→ 0, получим:

(*)

Если бы мы дали приращение Δy переменной y, а x оставили бы фиксированной, то с помощью аналогичных рассуждений нашли бы:

(*)

П р и м е р.

Z=ln(u2+v), u=ex+y², v=x2 + y;

; .

; ; ; .

Тогда по формуле (*) получим:

.

Для получения окончательного результата в две последние формулы вместо u и v необходимо подставить еx+y² и x2+y, соответственно.

Случай 2.

Пусть

Функции х и у непрерывные функции.

Таким образом, функция z=f(x, у) зависит через посредство х и у от одной независимой переменной t, т. е. допустим, что х и у суть не незави­симые переменные, но функции независимой переменной t, и определим производную от z по t.

Если независимая переменная t получит приращение Δt, то функции х и у получат соответственно приращения Δх и Δу, а z получит приращение:

Разделим обе части этого равенства на Δt:

Если Δt→ 0, то Δx → 0 и Δy → 0 (в силу непрерывности функций х и у). Переходя к пределу при Δt→ 0, получим:

(**)

Случай 3.

Предположим, теперь, что роль независимой переменной t играет переменная х, т. е. что функция z=f(x, у) зависит от неза­висимой переменной х как непосредственно, так и через посредство переменной у, которая является непрерывной функцией от х.

Принимая во внима­ние, что , получим на основании равенства (**)

(***)

Производная — называется полной производной от z по х в отличие от частной производной f'x(x, у)=.

П р и м е р.

z=x2+, y=sin x.

Находим частные производные

; ; .

Формула (***) дает в этом случае следующий результат

Доказанное правило дифференцирования сложных функций при­меняется для нахождения производной, неявной функции.

Производная от функции, заданной неявно.

Положим, что уравнение

F(x, y) = 0

определяет у как неявную функцию от х, имеющую производную

у’ = φ’(x)_

Подставляя у = φ (х) в уравнение F(x, y) = 0, мы должны были бы получить тождество 0 = 0, так как у = φ(х) есть решение этого уравнения. Мы видим, таким образом, что постоянную нуль можно рассматривать как сложную функцию от х, которая зависит от х как непосредственно, так и через посредство у =φ(х).

Производная по х от этой постоянной должна равняться нулю; применяя правило (***), получим

F’x(x, y) + F’y(x, y)·y’ = 0,

Откуда

В полученное таким образом выражение для у’ может войти как х, так и у, и если нужно получить выражение у’ только через независимую переменную х, то придется решить уравнение F(x, y) относительно у.

П р и м е р.

Уравнение

х2+у2-1=0

определяет у как неявную функцию от х. Здесь

F(x, y)=x2+y2-1,

Следовательно,

Заметим, что заданное уравнение оперделяет две разные функции (т. к. каждому значению х соответствует два значения у); однако найденное значение справедливо как для одной, так и для другой функции.

5.7. Полный дифференциал первого порядка. Инвариантность формы дифференциала первого порядка

Подставим выражения для и определенные равенствами (*) (см. случай 1 в п.5.6 «Правила дифференцирования сложных и неявных функций. Полная производная») в формулу полного дифференциала

Получаем

После преобразований получаем:

Но

Тогда формула полного дифференциала первого порядка функции двух переменных имеет вид

или

Сравнивая последнее равенство с формулой для первого дифференциала функции двух независимых переменных, можем сказать, что выражение полного дифференциала первого порядка функции нескольких переменных имеет тот же вид, которое он имел бы, если бы u и v были бы независимыми переменными.

Иначе говоря, форма первого дифференциала инвариантна, то есть не зависит от того, являются ли переменные u и v независимыми переменными, или зависят от других переменных.

П р и м е р.

Найти полный дифференциал первого порядка сложной функции

z=u2v3, u=x2·sin y, v=x3·ey.

Р е ш е н и е. По формуле для полного дифференциала первого порядка имеем

dz = 2uv3·du+3u2v2·dv =

=2uv3·(2x·siny·dx+x2·cosy·dy)+3u2v2·(3x2·ey·dx+x3·ey·dy).

Это выражение можно переписать так

dz=(2uv3·2x·siny+3u2v2·3x2·ey)·dx+(2uv3x2·cosy+3u2v2x3·ey)·dy=

=

Свойство инвариантности дифференциала позволяет распространить правило нахождения дифференциала суммы, произведения и частного на случай функции от нескольких переменных:

где u и v — функции нескольких независимых переменных. Действи­тельно, пользуясь доказанным свойством, мы можем, например, написать

или

5.8.  Однородные функции

О п р е д е л е н и е. Функция нескольких переменных назы­вается однородной функцией этих переменных степени m, если при умножении этих переменных на произвольную величину t функция умножается на tm, т. е. имеет место тождество

f(tx, ty) = tm·f(x, у)

при любых допустимых значениях переменных х, у, t. Число m может быть любым фиксированным вещественным числом. Так, например, объем конуса выражается через радиус его основания х и высоту у по формуле v =. Эта

функция будет однородной третьей степени при всех вещественных х, у и t. Такой же функцией будет и любой однородный многочлен от х и у третьей степени, т. е. такой многочлен, в каждом члене которого сумма показателей хну равна трем:

Дроби

суть однородные функции степеней соответственно 1, 0 и (— 1). Отметим, что где радикал считается арифметическим, будет однородной функцией первой степени при всех веще­ственных х а у и при всех. Действительно,

причем оба радикала считаются положительными.

Дифференцируя тождество f(tx, ty) = tm·f(x, у)

по t и применяя правило диффе­ренцирования сложной функции, получим, полагая u=tx и v = ty.

Полагая t=1, находим

чго выражает следующую теорему Эйлера об однородных функциях:

Сумма произведений частных производных однородной функции на соответствующие переменные равна произведению самой этой функции на степень ее однородности.

5.9.  Частные производные высших порядков функции n переменных

Пусть имеем функцию двух переменных:

Частные производные и ), вообще го-

воря, являются функциями переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, частных про­изводных второго порядка от функции двух переменных четыре, так как каждую из функций и можно дифференцировать как по х, так и по у.

Вторые частные производные обозначают так:

= , здесь f дифференцируется последовательно

два раза по х;

=, здесь f сначала дифференцируется по х,

а потом результат дифференцируется по у;

=, здесь f дифференцируется сначала по у,

а потом результат дифференцируется по х;

=, здесь f дифференцируется последовательно

два раза по у.

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х, так и по у. Получим частные производные третьего порядка. Их будет, очевидно, уже восемь:

Вообще, частная производная n - го порядка есть первая производная от производной (n —1)-го порядка. Например,

есть производная n - го порядка; здесь функция z сначала р раз дифференцировалась по х, а потом n - р раз по у.

Для функции любого числа переменных частные производите высших порядков определяются аналогично.

П р и м е р 1. Вычислить частные производные второго порядка от функции

Р е ш е н и е. Последовательно находим:

П р и м е р 2. Вычислить и , если

z=y2·ex + x2y3 +1

Р е ш е н и е. Последовательно находим:

П р и м е р 3. Вычислить , если

U = z2·ex+y²

Решение.

Естественно поставить вопрос, зависит ли результат дифферен­цирования функции нескольких переменных от порядка дифференци­рования по разным переменным, т. е. будут ли, например, тождествен­но равны производные

или

Оказывается, что справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а. Если функция z=f(x, y) и ее частные производ­ные f'x, f'y, f'xy и f"yx определены и непрерывны в точке М(х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

Аналогичная теорема имеет место и для функции любого числа переменных.

П р и м е р 4. Найтии, если u = exy·sinz.

Р е ш е н и е.

Следовательно,

П р и м е р 5. Найти частные производные второго порядка

Решение.

Смешанные производные равны.

5.10. Дифференциалы высших порядков функции n переменных.

Полный дифференциал du функции от нескольких переменных есть в свою очередь функ­ция тех же переменных, и мы можем определить полный дифферен­циал этой последней функции. Таким образом, мы получим дифферен­циал второго порядка d2u первоначальной функции и, который также будет функцией тех же переменных, а его полный дифференциал приведет нас к дифференциалу третьего порядка d3u первоначальной функции и т. д.

Рассмотрим подробнее случай функции u=f(x, у) двух пере­менных х и у и будем предполагать, что переменные х и у суть независимые переменные. По определению

При вычислении d2u будем принимать во внимание, что диффе­ренциалы dx и dy независимых переменных надо рассматривать как величины постоянные, а потому их можно выносить за знак диффе­ренциала

Вычисляя точно так же d3u, мы получим

Эти выражения d2u и d3u приводят нас к следующей символи­ческой формуле для дифференциала любого порядка:

(*)-

причем формулу эту надо понимать так: сумму, стоящую в круглых скобках, надо возвести в степень n, применяя Формулу бинома Ньютона, после чего показатели степеней у и надо считав указателями порядка производных по х и у от функции f.

Формула (*) обобщается без труда и на случай функции лю­бого числа независимых переменных. Формула (*) справедлива, не только в том случае, когда х и у незави­симые переменные. Но при выводе выражения d2u существенным было считать dx и dy величинами постоянными, и формула (*) справедлива лишь в тex случаях, когда dx и dy могут считаться постоянными. Это будет справедливо, если х и у либо независимые переменные, либо в свою очередь зависят от каких-либо переменных по линейному закону.

Поэтому форма дифференциалов порядка выше первого в общем случае не является инвариантной. Она инвариантна только в двух случаях: когда х и у – независимые переменные либо когда они зависят от независимых переменных по линейному закону.

5.11. Производная по направлению

Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x; у), имеющая непрерывные частные производные и , и точка М(х;у). Проведем из точки М вектор с направляющими косинусами cos α, cos β (α + β = 90°). На векторе рассмотрим точку М1(х + Δх; у + Δу). При перехо­де от точки М к точке М1 функция z = f(x; у) получит пол­ное приращение

где γ1 и γ2 бесконечно малые, стремящиеся к нулю при стремящемся к нулю (см. рис.).

Разделив выражение для Δz на Δs, получим

где , , а потому получаем:

Пусть Δs—>0.

Предел отношения при Δs—>0 называется произ-

водной функции z = f(х; у) в точке (х; у) по направлению вектора и обозначается

Переходя к этому пределу, получим

(*)

Таким образом, зная част­ные производные функции

z = f(x; у) можно найти произ­водную этой функции по любому направлению, а каждая частная производная является частным случаем произ­водной по направлению.

П р и м е р. Найти производную функции

в точке М(1;0) в направлении, составляющем с Ох угол в 30°.

Р е ш е н и е.

По формуле (*):

Следовательно, функция z = f(x;y) в данном направлении возрастает.

5.12. Градиент

Градиентом функции z = f(x; у) называется вектор , координатами которого являются соответствующие частные производные данной функции

Связь между производной функции по направлению и градиентом этой функции осуществляется соотношени­ем

т. е. производная функции z = f(x;y) в данном направле­нии равна проекции градиента функции на направле­ние дифференцирования.

Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии уровня данной функ­ции.

Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке.

П р и м е р. Найти градиент функции

в точке М(3;4).

Р е ш е н и е.