Теория вероятностей (стр. 4 )

называется борелевской сигма-алгеброй в пространстве

Аналогично даются определения борелевского множества и борелевской функции (как отображения из пространства векторов в пространство действительных чисел). При этом определении координаты случайного вектора будут случайными величинами.

Распределения случайных величин и векторов

Функция распределения

Функция действительного аргумента

назвается функция распределения, если она удовлетворяет следующим условиям

Важность функции распределения состоит в том, что каждой такой функции соответствует единственная вероятность P на борелевской сигма-алгебре прямой, для которой

и, наоборот, каждой вероятности на борелевской сигма-алгебре прямой соответствует некоторая функция распределения

Дискретные распределения на прямой

Основные дискретные распределения - равномерное, биномиальное, геометрическое, пуассоновское, можно рассматривать как распределения на пространстве

так как множество целых чисел содержится в множестве действительных чисел и борелевская сигма-алгебра содержит все одноточечные множества. Добавим к ним еще одно важное распределение – вырожденное, и построим графики функций распределения для этих распределений.

Вырожденное распределение

Вырожденное распределение это такая вероятностная мера, которая приписывает вероятность 1 одному элементарному исходу, т. е.

а всем остальным исходам, естественно, ничего не достается

Говорят, что распределение вырождено в точке x0.

Построим функцию распределения вырожденного распределения.

поэтому

Бернуллиевское распределение

Бернуллиевское распределение приписывает вероятность p точке 1 и 1-p точке 0 , т. е.

Построим функцию распределения вырожденного распределения

На следующем рисунке приведен график функции распределения бернуллиевского распределения при p = 0,7

Видно, что функция распределения бернуллиевского распределения равна сумме двух вырожденных функций распределения – в 0 и 1 с множителями 0,3 и 0,7.

Случайная величина, имеющая бернуллиевское распределение называется бернуллиевская случайная величина.

Биномиальное распределение

Биномиальное распределение приписывает точке k вероятность

Построим функцию распределения биномиального распределения

На следующем рисунке приведен график функции распределения биномиального распределения при n=5, p=0,7.

На следующем рисунке приведен график функции распределения биномиального распределения при n=20, p=0,5.

Случайная величина, имеющая биномиальное распределение называется биномиальная случайная величина. Для биномиального распределения используют обозначение

.

В частности, бернуллиевское распределение это

Геометрическое распределение

Геометрическое распределение приписывает точке k вероятность

Построим функцию распределения геометрического распределения

На следующем рисунке приведен график функции распределения геометрического распределения при p=0,4.

Случайная величина, имеющая геометрическое распределение называется геометрическая случайная величина. Для геометрического распределения используют обозначение

.

Пуассоновское распределение

Пуассоновское распределение приписывает точке k вероятность

Построим функцию распределения пуассоновского распределения

На следующем рисунке приведен график функции распределения пуассоновского распределения при =2.

Случайная величина, имеющая пуассоновское распределение называется пуассоновская случайная величина. Для пуассоновского распределения используют обозначение

.

Произвольное дискретное распределение

Общий вид функции распределения дискретного распределения, приписывающего вероятности действительным числам

Заметим, что скачок функции в точке

равен

Заметим, что данное определение дискретной случайной величины более общее, чем ранее введенное. Сообразите, почему?

Случайная величина, имеющая дискретное распределение, обычно называется дискретная случайная величина.

Функция распределения случайной величины

Если случайная величина имеет распределение с функцией распределения F, то говорят, что F – функция распределения случайной величины. В этом случае, очевидно,

Если нам будет важно отметить, какой случайной величине соответствует функция распределения F, будем отмечать это так

Непрерывные распределения на прямой

Распределение называется непрерывным, если его функция распределения непрерывна. Случайная величина, имеющая непрерывное распределение, обычно называется непрерывная случайная величина.

Для дискретных распределений мы вычисляли функцию распределения, зная вероятность. Теперь, наоборот, мы будем задавать функцию распределения и исследовать свойства получающейся вероятности.

Равномерное распределение на отрезке.

Рассмотрим следующую функцию распределения

Какими свойствами обладает вероятность, соответствующая этой функции распределения?

Нетрудно увидеть, что вероятность отрезка, целиком лежащего внутри отрезка [0,1], равна его длине.

В общем случае для любого отрезка

его вероятность равна длине его пересечения с отрезком [0,1]

Вероятность одноточечного множества равна нулю.

Такая вероятностная мера называется мера Лебега на отрезке [0,1] или равномерное распределение на отрезке [0,1].

Равномерное распределение применяется в тех случаях, когда исход опыта – абсолютно случайная точка отрезка [0,1], например, случайный момент времени. Во многих языках программирования есть функция, возвращающая случайное число из отрезка [0,1] (rand(), random() и т. п. ) – датчик случайных чисел. Используя равномерное распределение, можно моделировать другие распределения, например, бернуллиевское. Действительно, если

равномерно распределена на отрезке [0,1], то

случайная величина

имеет

бернуллиевское распределение с параметром p.

Рассмотрим следующую функцию распределения

Покажите, что если , то. Нарисуйте график соответствующей функции распределения.

эта функция распределения называется функция распределения равномерного распределения на отрезке [a, b]. Случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [a, b], называется равномерно распределенная на отрезке [a, b] случайная величина. Для равномерного распределения используют обозначение .

Мера Лебега на прямой.

Можно показать, что существует (не вероятностная) мера на прямой, которая приписывает каждому отрезку его длину. Эта мера называется мера Лебега (на прямой). В дальнейшем будем обозначать эту меру

Плотность распределения

В тех случаях, когда функцию распределения можно представить в виде интеграла (Римана) от неотрицательной функции

функцию f называют плотностью, соответствующей функции распределения F, или плотностью F.

Если функция распределения имеет плотность, то эта функция распределения непрерывна и такие функции распределения называют абсолютно непрерывными.. Заметим, что представление функции распределения в виде интеграла от некоторой функции неоднозначно, поэтому у одной функции распределения может быть несколько различных плотностей. Впрочем, различаться они могут только в не очень большом числе точек. Поэтому обычно плотностью называют наиболее прилично ведущую себя функцию f – непрерывную или почти непрерывную. Ее и приводят в различных справочниках. Нарисуем, например, график плотности равномерного на отрезке [0,2] распределения.

Очевидно, любая плотность удовлетворяет условию

Зная плотность распределения нетрудно подсчитывать вероятности различных множеств.

и, вообще, если индикаторная функция

множества

интегрируема по Риману на любом конечном отрезке, то

Если g(x) – неотрицательная функция, удовлетворяющая условию

то функция

будет функцией распределения с плотностью

Этот факт позволяет построить множество примеров непрерывных функций распределения

Вероятностный смысл плотности распределения

Если плотность распределения непрерывна в точке x, то

т. е. плотность это предельный коэффициент пропорциональности между вероятностью P и мерой Лебега. Отношение плотности в точке x к плотности в точке y показывает насколько вероятнее малая окрестность точки x такой же малой окрестности точки y. У равномерного распределения на отрезке [a, b] плотность постоянна на [a, b] ,т. е. все окрестности одинаковой длины имеют одинаковую вероятность. Это хорошо согласуется с представлением о совершенно случайном выборе точки из отрезка.

Бета-распределение на отрезке [0,1]

Связь между бета-функцией и гамма-функцией выражается соотношением

Рассмотрим функцию Эта функция неотрицательна, и при положительных a и b существует интеграл , который называется бета-функция в точке (a, b).

Тогда функция

будет плотностью. Соответствующее ей распределение называется бета-распределение с параметрами (a, b) на отрезке [0,1].

В частном случае, при a=1 и b =1 получается равномерное распределение на отрезке [0,1]. Бета-распределение используется для моделирования ситуаций в которых точка случайно, но, вообще говоря, неравномерно выбирается из отрезка. Для того, чтобы понять, как устроено это распределение, построим график плотности бета-распределения при различных значениях параметров (a, b)

a=2 ,b=4

a=4 ,b=2

a=4 ,b=4

При a и b, больших единицы, плотность обращается в 0 на концах отрезка и имеет максимум в точке

Эта плотность подходит для моделирования ситуаций, в которых случайная точка имеет наибольшую вероятность находиться в окрестности точки x0 , например, стрельба по отрезку, при которой точка x0 является точкой прицеливания.

Придумайте примеры ситуаций, которые естественно описывать следующими бета-распределениями

При a и b, меньших единицы, вид плотности радикально меняется. a=1/2 , b=1/2

a=1/4 , b=2/3

Наконец, приведем вид плотности бета-распределения при a=1/4 , b=4

Для бета-распредления распределения используют обозначение

.

Смеси распределений.

Пусть

конечный или счетный набор распределений на одном и том же измеримом пространстве и

дискретное распределение, т. е.

Тогда функция

так же будет распределением, которое называется смесь распределений

Числа

называются коэффициентами смеси.

Ситуацию, в которой возникает смесь распределений, можно представить себе, например, так. Случайно, в соответствии с распределением

выбирается одна из вероятностей

а затем проводится эксперимент в соответствии с выбранной вероятностью.

При смешивании распределений, очевидно, аналогичным образом смешиваются их функции распределения и (если существуют) плотности. Смешаем два бета-распределения B(2,6) и B(6,2) с коэффициентами 1/2. График плотности получившегося распределения приведен на рисунке

Данную плотность можно использовать для моделирования стрельбы по одной мишени двух стрелков, один из которых целится в точку

а другой – в точку

Смешивая различные бета-распределения, можно моделировать различые способы выбора случайной точки на отрезке. На следующем рисунке приведен график плотности смеси пяти бета-распределений.

Нормальное (гауссовское) распределение.

Рассмотрим положительную функцию

Докажите это, переходя к полярным координатам в интеграле , который, очевидно, равен квадрату исходного.

Так как то функция

является плотностью и задает так называемое стандартное нормальное (гауссовское) распределение.

График этой плотности приведен на рисунке

Общее нормальное распределение задается плотностью

где

параметры распределения.

Покажите, что если ,то

Нормальное распределение обладает большим количеством замечательных свойств, многие из которых мы рассмотрим в дальнейшем. Это распределение использовал Гаусс в модели случайных ошибок измерения. Случайная величина, имеющая нормальное распределение, называется нормальная или гауссовская случайная величина. Для этого распределения используют обозначение

.

Графики плотности

Экспоненциальное (показательное) распределение.

Рассмотрим плотность

где

параметр распределения. Распределение с такой плотностью называется экспоненциальное или показательное распределение. Приведем график плотности этого распределения при

Для доказательства достаточно воспользоваться формулой условной вероятности. Можно показать, что экспоненциальное распределение это единственное распределение, из распределений имеющих плотность, с таким свойством.

Экспоненциальное распределение применяется при моделировании различных временных интервалов - времени жизни технических устройств, интервалов между моментами регистрации радиоактивных частиц датчиками радиации, интервалов между последовательными звонками в телефонной сети и т. п. Это распределение обладает замечательным свойством, которое называется отсутствие последействия. Именно, если имеет экспоненциальное распределение, то

Покажите, что, если,то

С точки зрения теории надежности это распределение описывает нестареющий элемент, т. е. в любой момент времени элемент имеет то же распределение остаточного времени жизни, что и новый элемент. Случайная величина, имеющая такое распределение называется экспоненциальная или показательная случайная величина. Это распределение обозначается

Гамма-распределение.

Рассмотрим плотность

где

параметры распределения. Распределение с такой плотностью называется гамма распределение. Приведем график плотности этого распределения при

Величина

рассматриваемая как функция переменной

называется гамма-функцией и имеет следующие, легко доказываемые свойства

Это распределение обозначается

Гамма распределение обобщает экспоненциальное распределение и превращается в него при

Гамма распределение с целым параметром

называется распределение Эрланга порядка и обозначается

Распределение

где n – целое, называется распределение хи-квадрат и обозначается

Построение меры в конечномерном пространстве

Борелевская сигма-алгебра в конечномерном пространстве

Борелевская сигма-алгебра на пространстве действительных векторов определяется аналогично борелевской сигма-алгебре на прямой с заменой прямоугольников

на параллелепипеды

Обозначим ее

Эта сигма-алгебра содержит все практически важные множества векторов. Множество, принадлежащее борелевской сигма-алгебре называется борелевское множество.

Определение случайного вектора

Пусть

основное вероятностное пространство

пространство векторов с борелевской сигма-алгеброй

поточечное измеримое отображение, ставящее в соответствие каждому элементарному исходу основного пространства действительный вектор. Это отображение называется случайный вектор.

Вероятностная мера, определенная на борелевской сигма-алгебре по формуле

называется распределением случайного вектора.

Пусть

случайный вектор и

Функция

называется функция распределения (иначе - совместная функция распределения) случайного вектора

Аналогично одномерному случаю определяются дискретные и непрерывные случайные вектора и их распределения.

Плотность распределения случайного вектора f(x) – это функция, удовлетворяющая условию

Мера Лебега в конечномерном пространстве

Мера Лебега в конечномерном пространстве это мера, приписывающая параллелепипеду его объем. В частности, мера Лебега прямоугольника это его площадь.

Мера Лебега на квадрате - Задача о встрече

Рассмотрим следующую задачу.

Два человека договорились встретиться в определенном месте в течение часа и ждать друг друга не более 10 минут. Найти вероятность, того они встретятся, если момент прихода каждого совершенно случаен.

Для решения задачи построим следующую вероятностную модель. Исходом опыта является вектор

где первая координата – момент прихода первого человека, вторая – момент прихода второго. Сигма-алгебра – все борелевские подмножества единичного (1 час=1 единица времени) квадрата. Предположение о совершенной случайности моментов прихода приводит к вероятностной мере, которая приписывает каждому множеству единичного квадрата его площадь. Эта мера называется мера Лебега на квадрате. Подсчитаем вероятность интересующего нас события. Два человека встретятся, если

Площадь этой наклонной полосы

равна

Независимые случайные величины

Случайные величины

,

заданные на одном вероятностном пространстве, называются независимыми, если для любых борелевских множеств

Можно показать, что независимость случайных величин эквивалентна тому, что их совместная функция распределения равна произведению их одномерных функций распределения

Если случайные величины независимы и имеют совместную плотность, то она является произведением их одномерных плотностей. Верно и обратное.

Многомерное нормальное распределение

Пусть