Тема работы:
«Загадочное и необыкновенное число π»
Образовательное учреждение:
Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение Вигская средняя общеобразовательная школа
Адрес: 157 161 Костромская область, Чухломский район, посёлок Вига, улица Школьная, 15 а
Номинация: Математика и физика
Фамилия, имя автора: Душанина Арина
Класс: 7
Фамилия, имя, отчество руководителя работы:
Год выполнения работы: 2012 – 2013 учебный год
Содержание
страница
1. Введение 3
2. Методика исследования 5
3. Результаты исследования 9
4. Выводы 13
5. Заключение 14
6. Литература 14
Введение
Абсолютно все знают, что такое число π (пи). Но знакомое всем со школы число, возникает во многих ситуациях, не имеющим никакого отношения к окружностям. Английский математик Август-де-Морган назвал как-то π «... загадочным числом 3, 14159..., которое лезет в дверь, в окно и через крышу». Это таинственное число, связанное с одной из трех классических задач античности — построение квадрата, площадь которого равна площади заданного круга — влечет за собой шлейф драматических, исторических, и курьезных занимательных фактов. В любой книге по занимательной математике вы непременно найдете историю вычисления и уточнения значения числа π.
Наши первоначальные представления о числах и геометрических формах относились к эпохе древнего каменного века — палеолита. Уже тогда люди изготавливали орудия для труда и рыболовства в форме ромбов, треугольников, сегментов. С наступлением неолита произошел переход от простого собирания пищи к ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию. Постепенно рыболовы и охотники сменились первобытными земледельцами, которые вели оседлый образ жизни. Появились простейшие ремесла — гончарное, плотничье, ткацкое. В эпоху последнего неолита люди научились плавить медь и бронзу, изготовлять орудия производства и оружия. Это навлекло оживление торговли на уровне обмена. В этот момент входят в употребления числа. Возникает необходимость измерения длины и емкости тел. Единицы измерения были грубы и исходили из размеров человеческого тела. Человек неолита обладал острым чувством геометрической формы. Обжиг и раскраска глиняных сосудов, изготовление корзин и тканей, обработка металлов вырабатывали геометрические представления. Во время путешествий люди пользовались созвездиями, как ориентирами. Все это дало некоторые сведения о свойствах окружности, сферы, об углах.
Поэтому я решила провести собственное математическое исследование для числа π.
Цель: Выяснить с помощью современных математических вычислений значение числа π в разных древних странах и сравнить его с действующим значением.
Задачи:
- проанализировать информацию по данному вопросу;
- рассмотреть различные конкретные задачи древности, связанные с числом π;
- решить задачи древности, используя математические формулы;
- проанализировать значение числа π в древности и в настоящее время;
- выяснить когда впервые появилось обозначение числа π;
- когда начали применять значение числа π в России.
Актуальность исследования
Число π. Что это?
- Это математическая константа.
В школе число π мы находим, как отношение длины окружности к ее диаметру. У наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но на протяжении многих столетий они занимались геометрическими расчетами в различных областях, связанных с математикой.
Где же надо знать значение числа π?
- в алгебре: π - иррациональное и трансцендентное число;
- в тригонометрии: радианное измерение углов;
- в планиметрии: длина окружности и ее дуги, площадь круга и ее частей;
- в стереометрии: объем шара и его частей, объем цилиндра, объем конуса, объем усечённого конуса, площадь поверхности цилиндра, площадь поверхности конуса, площадь поверхности сферы;
- в физике: теория относительности, квантовая механика, ядерная физика;
- в теории вероятности: формула Стирлинга для вычисления факториала.
Поэтому я считаю актуальным знать все про число π.
Практическая значимость работы
Проследить зарождение геометрии у различных народов и выяснить, есть ли сходства в решении практических задач с исследованием числа π.
Методика исследования
Чтобы проследить, как зарождалась геометрия, и какие геометрические задачи решали в древних странах, связанных с числом π пришлось просмотреть множество математических источников. Я выбрала несколько древних стран: Египет, Вавилон, Индия, Греция, Китай для которых и постаралась выяснить, есть ли сходства в решении практических задач с исследованием числа π.
Геометрия в Египте
Современная наука располагает сравнительно небольшим числом египетских, математических документов — около пятидесяти папирусов. Самым древним из них является «Московский папирус», относящийся к эпохе 1850 года до н. э., и содержащий двадцать пять
задач с решениями. (Московский папирус)
Размеры «Московского папируса»
544 см х 8 см.
Для площади круга с диаметром d использовалось правило, которое имело вид:
S = 
. Конечно, это правило является приближенным.
В 1858 году в тайниках одной из египетских пирамид был найден папирус размером
544 см х 33 см, относящийся к 1650 году до н. э., составленный писцом Ахмесом и содержащий 84 задачи с решениями еще более раннего происхождения. Папирус был приобретен английским собирателем старины Г. Райндом, а ныне хранится в Британском музее и носит название «папирус Райнда».
Текст папируса расшифрован в 1877 году профессором А. Эйзенлором.
В данном папирусе есть задача: Египтяне, заменяя площадь круга площадью равновеликого квадрата, брали за сторону последнего 
диаметра круга. Найдите приближённое значение для числа π (решение данной задачи в результатах исследования 1). (папирус Райнда)
Геометрия в Вавилоне
Возделывание почвы в районах блуждающих Тигра и Ефрата, текущих с армянского нагорья, требовало большого технического искусства и регулировки. К тому же Двуречье было перекрестком многочисленных караванных путей. Вместе с товарами Вавилон попадали знания других народов. Шумеры писали на глиняных плитках, которые в большом количестве находят при раскопках. Найдены 44 глиняные таблички, которые можно считать своеобразной математической энциклопедией вавилонян, относящейся к 2000 году до н. э.. В табличках даны способы решения практических задач, связанных с земледелием, строительством и торговлей. Для значения π вавилоняне брали в большинстве случаев библейское значение π =3, хотя, некоторые таблички содержат лучшее приближение, π = 3 
.
Площадь круга S и длину его окружности C в Вавилоне связывали формулой S = 
.
Позднее это правило использовалось в Индии и Китае.
Задача, записанная на глиняной табличке: За длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность правильного шестиугольника. Найдите приближённое значение для числа π, которым пользовались вавилоняне (решение данной задачи в результатах исследования 2).
Древнеиндийская геометрия
Древнеиндийская геометрия имела ярко выраженный практический характер и была тесно связана как с повседневными понятиями, так и с религиозными обрядами в частности с культом жертвоприношения. В части дошедших до нас под названием «Сульва-сутра» («Правило верёвки») священных древнеиндийских книг излагаются свойства фигур, связанных с построением алтарей-жертвенников. В настоящее время известно три книги «Сульва-сутра», авторами которых считаются: Бодгойана (или Бодгояна, 6-7 в до н. э.), Катиайана (или Катияна, 4-5 в. до н. э.) и Апастамба (4-5 в. до н. э.). В «Сутрах» правила и приемы приводятся так же, как и египтян и вавилонян, без каких-либо объяснений. Вот так выглядит правило «Катиайаны» для построения квадрата равновеликого кругу: «Разделить диаметр на 15 равных частей и взять 13 таких частей для стороны квадрата, равного по площади данному кругу».
Задача: Найдите значение π, которым пользовались индусы, руководствуясь «правилом Катиайаны» (решение данной задачи в результатах исследования 3).
Древний Китай
Все сочинения, содержащие математические знания китайских ученых, дошли до нас от периода династии Хань (206-220 гг. до н. э.), но в них содержится материал более раннего происхождения. Самое древнее китайское математико-астрономическое сочинение «Чжоу-би», написанное около 1100 г. до н. э, содержит правило для определения площади круга: «Умножь диаметр сам на себя, раздели на четыре, возьми три раза».
Задача («Чжоу – би»): Найдите значение π из древнекитайского трактата (решение данной задачи в результатах исследования 4).
Нет особого термина для радиуса, вместо него всегда задается диаметр. Для определения площади круга используются четыре различных правила:
1. «Умножь диаметр сам на себя, раздели на четыре, возьми три раза» («Чжоу – би»).
2. «Умножь половину обвода на половину диаметра».
3.«Умножь обвод на диаметр, раздели на четыре».
4. «Умножь обвод на себя, раздели на двенадцать».
Задача: Найдите значение π из остальных трёх правил древнекитайского трактата (решение данной задачи в результатах исследования 5).
Древняя Греция
Число π называют «Архимедово число». Архимед первый решил заменить длину окружности периметром описанного (вписанного) правильного многоугольника в 3 веке до н. э. Начав с шестиугольника, перешел к двенадцатиугольнику, затем к двадцатичетырехугольнику и так далее до девяностошестиугольника. Хорошее приближение оказалось дает число 
= 3, 14286.
«Двадцать две совы скучали
На больших сухих суках
Двадцать две совы мечтали
О семи больших мышах»
Архимед доказал, что число π одинаково для любого круга. Математический метод Архимеда поводил к познанию геометрической формы, к которой предметы более или менее приближаются, и законы которой необходимо знать, если мы хотим воздействовать
на материальный мир. В Древней Греции появились архитектура, а где архитектура, там и расчеты.
Архимед в 3 веке до н. э. обосновал в своей небольшой работе «Измерение круга» три положения:
1. Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и ее радиусу.
2. Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14.
3. Отношение любой окружности к ее диаметру меньше 3 
и больше 3 
.
«Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз;
Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо нынче нам заняться
Оказать старинке честь,
Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть,
Надо только постараться,
И запомнить все как есть
Три — четырнадцать – пятнадцать - девяноста два и шесть!»
(С. Бобров «Волшебный двурог»)
Результаты исследования
Результат исследования 1
Задача из папируса Райнда: Египтяне, заменяя площадь круга площадью равновеликого квадрата, брали за сторону последнего диаметра круга. Найдите приближённое значение для числа π.
Результат исследования 2
Задача, записанная на глиняной табличке: За длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность правильного шестиугольника. Найдите приближённое значение для числа π, которым пользовались вавилоняне.
Результат исследования 3
Задача: Найдите значение π, которым пользовались индусы, руководствуясь «правилом Катиайаны»
Результат исследования 4
Задача («Чжоу – би): Найдите значение π из древнекитайского трактата.
Результат исследования 5
Задача: Найдите значение π из остальных трёх правил древнекитайского трактата.
Вывод:
Прослеживая зарождение и становление геометрии, легко усмотреть поразительную близость математических сведений у различных народов, практически не общавшихся. Это сходство (как по форме, так и по содержанию) говорит об общности практических задач, породивших эти математические знания. Так на протяжении тысячелетий опытом и разумом многочисленных безвестных тружеников и мыслителей закладывался фундамент математической науки.
Результаты моего исследования занесены в таблицу 1.
Таблица 1
Сравнение значения числа π в древних странах с общепринятым значением
Древние страны | Значение числа π | Принятое значение числа π | Вывод |
Египет | 3,161 | 3,1415926 | У египтян была неточность уже во второй действующей цифре. |
Вавилон | 3 и 3 | Вавилоняне пользовались лишь грубым приближением. Число π использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни, но недостаточно точное исчисление значения π привело к краху всего проекта. | |
Индия В Индии трое ученых дали различное значение числа π: Ариябхатта Будхайян Бхаскара | 3,004 3, 1416 3, 162 3, 1416 | В Древней Индии значение числа π было грубым приближением, только у индийских математиков Ариябхатта и Бхаскара было более близким к принятому. | |
Китай Цзу Чун-чжи | 3 3, 1415296 | У китайского математика Цзу Чун-чжи значение числа π было более близким к принятому. | |
Архимед | 3, 142857 | Архимед ошибался в третьем знаке после запятой. |
Заключение
Число π можно вычислять бесконечно и у него будет бесконечно много знаков. В настоящее время значение числа π известно с точностью до 500 миллиардов знаков. Цифры десятичного представления числа π достаточно случайны, что дает повод для математических исследований. В десятичном разложении π присутствует любая последовательность цифр, просто ее надо найти. Может быть, в числе π сидит какая-то написанная или ненаписанная книга, любая информация, которая может быть выдумана. Надо только рассмотреть как можно больше знаков, найти нужный участок и расшифровать его. Важность таких попыток обусловлена, помимо любопытства, еще и гипотезой о том, что все (а может и некоторые) универсальные постоянные (постоянная планка, число Эйлера, универсальная гравитационная постоянная, заряд электрона и т. д.) со временем меняют свои значения, так как меняется кривизна пространства из-за перераспределения материи или по другим, не известным причинам. Может быть можно предположить, что и число π, отражающее свойства Вселенной, может со временем меняться. Во всяком случае, никто не может нам запретить заново, найти значение π, подтвердив или опровергнув имеющиеся значения.
Литература:
«Геометрия до Эвклида в очерках и задачах»/ : Чистые пруды, 20с. (Библиотека «Первого сентября» серия «Математика» выпуск 6.). «История математике в школе 4-6 кл.»/ глейзер Г. И. - Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 19с., ил. «Стереоометрия»/ Бескин. Л.Н.-М., с.218-237.