Решения к задачам.
4. Умножим обе части равенства на 2 и перенесём все члены в левую часть. Тогда получим: 
или 
Þа = в = с, то есть треугольник равносторонний.
5. Пусть hc>hb>|AC|.(рис.1) Но АС - наклонная, hc - перпендикуляр, поэтому |AC| не может быть меньше hc.Þ |AC| = hc, то есть высота совпадает со стороной. Это может быть только в прямоугольном треугольнике. Þ высота hb совпадает со стороной АВ. Поскольку hb = |AВ| ³ |AC| и hc = |AC| ³ |AВ|, то |AВ| = |AC|.Þ DАВС - равнобедренный прямоугольный.
6. Перпендикуляр меньше наклонной. Поэтому hc £ b, hb£ a, ha£ (рис.2). В DАВС не может быть двух прямых углов Þ из приведенных неравенств хотя бы одно строгое. Пусть, например, hc < b. Складывая почленно неравенства получаем требуемое строгое неравенство ha + hb + hc < a+b+c.
7. Указание. Замените DАВС на вдвое больший DАґВґС´стороны которого проходят через вершины А, В, С параллельно противоположным сторонам треугольника АВС. Центр описанной окружности этого треугольника АґВґС´ - точка пересечения высот DАВС.
8. К вершине наибольшего угла. Используется неравенство №2.
9. Заметим, что сумма расстояний от Ленинграда до Лыково, от Лыкова до Клина и от Клина до Москвы равна расстоянию от Ленинграда до Москвы, а значит, все эти населенные пункты лежат на одной прямой.
10. Если ширина реки -h, а деревни расположены в точках А и В, то концы моста расположены в точках пересечения прямых А'В и АВ' с берегами, где А' и В' получаются из А и В при параллельном переносе на расстояние h к реке.
11. Рассмотрите две одинаковые развертки боковой поверхности стакана, одна из которых будет представлять внутреннюю, а другая - внешнюю поверхность стакана. Склейте их по общей границе и отметьте две данные точки.
Содержание
Замечательные точки и линии треугольников. Неравенство треугольника.
