Как решать задачи по планиметрии

Как решать задачи по планиметрии

Треугольник.

AH - высота, BM - медиана, CK - биссектриса. Показано условными обозначениями на чертеже.

МN - средняя линия, MNxx ВС и MN = 1/2AC M и N - середины сторон, р = a+b+c - полупериметр. P - периметр.

Сумма углов треугольника - 180°

АС + ВС > АВ-наибольшая сторона, меньше суммы двух других.
АВ - АС < ВС-наименьшая сторона, больше разности двух других.
Sтр = 1/2 BC·AH =  1/2   AB·AC·Sin A =

Правильный	Равнобедренный	Прямоугольный	Косоугольный (остро/тупоугольный)
Равны стороны и углы по 60°. Совпадают высоты, медианы, и биссектрисы.	AB = BC, РA=РC - при основании. ВH - высота, медиана, биссектриса к основанию.	РC=90°, CB и CA - катеты, AB - гипотенуза т. Пифагора: BA2=BC2+CA2 CH2=BH·CA. Sin A=a/c; Cos A=b/c; Tg A=a/b	Sтр.=1/2 ah=1/2 bh т. е.получим полупроизведение основания на высоту.

Свойства биссектрисы

делит угол на два равных угла; содержит точки, равноудаленные от сторон угла: TK=TP. Делит сторону на отрезки пропорциональные прилежащим к ним сторонам треугольника :

Свойства медиан

делит сторону пополам в точке пересечения делятся в отношении 1: 2, считая от стороны AD=2DK, BD=2DM, или DK=1/2AD, DM=1/3BM

В прямоугольном треугольнике

- катет, лежащий против угла в 30, равен половине   гипотензы: ВА=2СА;
- центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы: АО=ОВ.
- площадь равна полупроизведению катетов.
- h2 = BH·HA

Треугольник и окружность

Четырёхугольники

Название и вид	Диагонали в точке пересечения делятся пополам	Стороны и углы равны
Параллелограмм	AC2+ BD2 = 2AB2 + 2AD2 Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон.	Попарно противоположные стороны. Противоположные углы.	S = b·h S = a·b·sin A
Прямоугольник	Диагонали равны d2 = a2 + b2	Стороны противоположные. Углы Все прямые	S = a·b
Ромб	Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов.	Стороны все равны. Углы противоположные.	S = a·h S = 1/2d1·d2 S = a2·sinA

Трапеция

a, b-основания, h-BH-высота MN - средняя линия AB и CD - боковые стороны, BD, АС - диагонали

Равнобедренная

Прямоугольная

S = 1/2 (a + b)·h = MN·h

Окружность и круг

OD - a - радиус, проведённый в точку касания
перпендикулярен касательной.

Треугольник.

№ п/п	Содержание задачи	Ответ
№1	Дан равнобедренный треугольник, длина основания которого b, а высота, опущенная на боковую сторону, равна h. Найти площадь треугольника.
№2	Дан треугольник АВС, в котором АВ=с, АС=b, А=a. Найти длину биссектрисы угла А.
№3	Периметр прямоугольного треугольника равен р, а длина его гипотенузы равна с. Найти площадь треугольника.	1/4 (p2-2pc)
№4	Площадь треугольника равна S. Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, площадь которого равна S?. Найти площадь четырёхугольника, три вершины которого совпадают с вершинами отсеченного треугольника, а четвёртая лежит на середине основания исходного треугольника.

Комментарий: Тип задач, когда по изготовлению чертежа по условию, вводится вспомогательная величина. Затем с помощью формул и приёма выражения одной величины из двух разных фигур составляется алгебраическое уравнение. Отличается их решение широким спектром алгебраических преобразований.

Предлагаем решение данных задач.

Задача 1.

Решение:

Составим уравнение, используя формулу площади треугольника через полупроизведение основания на высоту: 1/2 ВС·АК = 1/2АС·ВМ.

Обе части уравнения сократим на 1/2, введём данные по условию задачи и неизвестную величину, обозначенную через х.

, - уравнение иррациональное с одним неизвестным, которое и позволит найти х = ВС, а затем и площадь треугольника АВС.

3) Предварительно возведём обе части уравнения в квадрат. После алгебраических преобразований, выразим x2*h2=b2(x2-b2/4); b2*x2-x2h2-(b2)2/4=0; x2(b2-h2)=(b2)2/4

4) Площадь треугольника АВС: S = 1/2 BC·AK,

Задача 2.

АК - биссектриса, пусть равна m.
Свойства биссектрисы, кроме того, что она
с делит угол пополам и точки её на равном
расстоянии от сторон угла, - делит
m противоположную сторону на отрезки
пропорциональные прилежащим сторонам
треугольника.

Теорема “труженица” - ВК/АВ = КС/АС   (1)

Здесь необходимо найти биссектрису, через которую вместе с данными из условия задачи, используя теорему косинусов, легко выражаются отрезки ВК и КС:

Из АВК ВК2 = с2 + m2 - 2 cm cos /2

Из АКС КС2 = b2 + m2 - 2 bm cos /2.

Коль имеем дело с квадратами выражений, для упрощения преобразований, возводим обе части (1) в квадрат

и выполним подстановку:

Выполним деление:

Переносим всё в одну часть:

Полученное выражение можно записать в следующем виде: m?(1/c - 1/b)(1/c + 1/b) - 2 m cos1/2(1/c -1/b) = 0, где присутствует общий множитель m·(1/c - 1/b). Вынесем его:

m·(1/c - 1/b) (m (1/c +1/b) - 2 cos /2) = 0 - произведение равно 0, то:

m·(1/c - 1/b) = 0 или m 0, (b - c)/ (bc) = 0 где b = c - треугольник равнобедренный	m·(1/c + 1/b) - 2 m cos /2 = 0. m ·((b+c)/(bc)) = 2 cos /2

Задача 3.

Уравнение по условию задачи, где дан периметр:

возведём обе части уравнения в квадрат

:

. Вот здесь будьте внимательными! Чтобы не уйти в длинное решение!

Заметив, что полупроизведение катетов даёт площадь данного прямоугольного

треугольника, в виде сразу даём ответ, не находя неизвестное.

Ответ: 1/2 (p2 - 2pс)

Задача 4.

Из данных условия задачи, очевидно, надо использовать формулу площади треугольника: полупроизведение основания на высоту треугольника АВС. Следует провести высоту треугольника АВС к основанию АС.

Для решения задачи, конечно же, выгодна высота ВH, т. к. она связана с основаниями всех трёх треугольников: АВС, МВК, МРК.

Введём вспомогательные неизвестные величины:
Пусть: BH = h; AC = a - в треугольнике АВС и BT = h'; MK = a' - в треугольнике МВК.
При этом TH = h - h' - является высотой треугольника МРК.
По условию задачи:

SABC = 1/2ah = S (1)

SMBK 1/2a' h' = S' (2)

Отсюда:

SMPK =1/2a' (h - h' ) =1/2 a'h - 1/2 a'h' = 1/2 a' h - S'; S MPK = 1/2 a' h - S' (3)

Треугольники АВС и МВК - подобные, коль МК АС - по условию задачи.

Значит: АС/МК=BH/BT, т. е. a/a' = h/h', ah' = a'h - по свойству пропорции.

А вот здесь, полезно обратить внимание на равенство полученных произведений и проявить смекалку! Задайте себе вопрос: Где взять это произведение?

Перемножив почленно, записанные уравнения (1) и (2), получим:

1/4 ah·a'h' = S·S' , где ah' заменим на a'h:

1/4 a'h·a'h = SS' и (a'h)2 = 4 SS'

Значит: a' h = , что подставим в выражение (3) площади треугольника МРК и получим:

SMPK = ? ·' - S'; SMPK = - S'

Отсюда площадь искомого четырёхугольника РМВС:

- S' + S' =
Ответ: