Рабочая программа дисциплины «Теория упругости»

Министерство образования Российской Федерации

Южно-Уральский государственный университет

Кафедра «Прикладной механики, динамики и прочности машин»

СОГЛАСОВАНО: Заведующий выпускающей кафедрой «Прикладная механика, динамика и прочность машин» _________________ «___»_____________2006

УТВЕРЖДАЮ: Декан Физического факультета ___________________ «___»_____________2006

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

дисциплины «Теория упругости» СД.01

для специальности 150301 «Динамика и прочность машин»

направление подготовки 651500 «Прикладная механика»

факультет «Физический»

кафедра-разработчик: «Прикладная механика, динамика и прочность машин»

Рабочая программа составлена в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования и примерной программой дисциплины по направлению подготовки специальности

150301 «Динамика и прочность машин»

Рабочая программа рассмотрена и одобрена на заседании кафедры «Прикладной механики и динамики машин» № протокола от «____»_______________2006 года

Зав. кафедрой разработчика д. т.н., проф. ____________________

Ученый секретарь кафедры к. т.н., доц. ____________________

Разработчик программы к. т.н., доц. ____________________

Челябинск

2006

1. Введение

1.1. Требования к уровню освоения содержания дисциплины.

Рабочая программа курса «Теория упругости», относящегося к циклу специальных дисциплин разработана применительно к очной форме подготовки дипломированных специалистов по специальности 150301 «Динамика и прочность машин».

В соответствии с ГОСТом в обязательный минимум образовательной программы подготовки дипломированных специалистов по специальности 150301 «Динамика и прочность машин» должно входить следующее. Сведения из тензорного анализа: тензоры в декартовом базисе, инварианты, дифференцирование тензорных полей и интегральные теоремы. Тензоры напряжений и деформаций. Уравнения равновесия. Условия совместности деформаций. Связь между напряженным и деформированным состояниями. Упругий потенциал. Формулы Грина. Дополнительная работа деформаций. Формула Кастильяно. Упругий потенциал для линейного материала. Теорема Клапейрона. Полная система уравнений теории упругости. Прямая и обратная задачи. Полуобратный метод. Принцип Сен-Венана. Уравнения равновесия в перемещениях. Зависимости Бельтрами-Мичелла. Вариационные принципы в теории упругости. Вариационные методы решения задач теории упругости (Релея-Ритца, Галеркина, Треффца, Канторовича). Плоская и осесимметричная задача теории упругости, уравнения термоупругости. Постановка задачи динамической теории упругости, волны в упругих средах. Основы нелинейной теории упругости.

1.2. Требования к уровню подготовки для освоения дисциплины.

В процессе изучения курса используются разделы следующих дисциплин: высшая математика (аналитическая геометрия и линейная алгебра, основы математического анализа, уравнения математической физики, основы вариационного исчисления), физика (физические основы механики), теоретическая механика (условия равновесия твердого тела, понятие о силовом поле), сопротивление материалов (внешние и внутренние силы, метод сечений, деформации и напряжения, принцип Сен-Венана, механические свойства материалов, энергетические методы и теоремы).

Полученные в курсе результаты широко используются в теории пластичности и ползучести, экспериментальных методах исследований, конструкционной прочности и основах механики разрушения, теории устойчивости и других специальных дисциплинах.

2. Цели и задачи преподавания и изучения дисциплины.

Главной задачей курса является подготовка студентов к пониманию основных положений механики деформируемого тела, лежащей в основе всех инженерных расчетов на прочность и жесткость.

В результате усвоения дисциплины выпускник должен иметь представление об основных уравнениях теории упругости при однородном и неоднородном напряженно-деформированном состоянии, знать основные задачи теории упругости, а также методы их решения. С этой целью предварительно выпускник должен освоить основы тензорного аппарата (тензорную алгебру и тензорный анализ) в объеме, необходимом для изучения механики.

3. Объем дисциплины и виды учебной работы.

Вид учебной работы	Всего часов	Распределение по семестрам в часах
Семестр
I	II
Общая трудоемкость дисциплины	200	92	108
Аудиторные занятия	82	64	18
Лекции (Л)	66	48	18
Практические занятия (ПЗ)	16	16	–
Семинары (С) Лабораторные работы (ЛР)	–	–	–
Самостоятельная работа (СРС)	65	20	45
Курсовой проект (работа)	45	–	45
Семестровое задание	–	–	–
Вид итогового контроля (экзамен)	8	8	–
Объем работы в соответствии с ГОС и учебным планом	187	87	100

4. Содержание дисциплины.

4.1. Разделы дисциплины, виды и объем занятий

Номер раздела, темы	Наименование разделов, тем дисциплины	Объем в часах и по видам
Всего	Л	ПЗ	С	ЛР	СРС
1	Тензоры в линейном пространстве	8	4	2	–	–	2
2	Тензоры в Евклидовом пространстве	16	8	4	–	–	4
3	Напряжения и деформации при однородном напряженно-деформированном состоянии	12	8	2	–	–	2
4	Тензорное дифференцирование	11	6	2	–	–	3
5	Интегрирование в тензорном поле	11	6	2	–	–	3
6	Теория напряжений и деформаций при неоднородном напряженно-деформированном состоянии	16	8	4	–	–	4
7	Некоторые классические задачи теории упругости	10	8	–	–	–	2
8	Плоская постановка задач теории упругости	40	10	–	–	–	30
9	Вариационные принципы теории упругости	9	4	–	–	–	5
10	Постановка задачи динамической теории упругости	7	2	–	–	–	5
11	Основы нелинейной теории упругости	7	2	–	–	–	5
Итого	147	66	16	–	–	65

4.2. Содержание разделов и тем дисциплины.

Разделы	Темы	Содержание разделов и тем дисциплины
Тензорная алгебра	Тензоры в линейном пространстве	Скаляры и векторы. Тензорное произведение. Полиада. Тензоры. Координаты тензора. Преобразование координат при смене базиса.
Тензоры в Евклидовом пространстве	Скалярное произведение векторов. Скалярное произведение тензоров. Скалярная свертка. Декартов базис. Собственные числа тензора. Полярные и цилиндрические координаты. Векторное произведение. Векторное свертывание. Тензор как линейный оператор. Инвариантные числа двухвалентного тензора.
Тензорная механика	Напряжения и деформации при однородном напряженно-деформированном состоянии	Тензор напряжений. Тензор дисторсии. Тензор деформации. Тензор жесткого поворота. Тензоры геометрических характеристик сечения. Понятие об упругости. Закон сохранения энергии. Постулат устойчивости. Закон Гука. Тензор констант упругости для изотропного тела.
Тензорный анализ	Тензорное дифференцирование	Тензор–функция скалярного параметра. Дифференцирование функции нескольких переменных. Дифференцирование сложной функции. Понятие поля. Направленная производная. Градиент поля. Оператор дифференцирования. Дивергенция и ротор. Дифференцирование произведения функций. Двукратное дифференцирование.
Интегрирование в тензорном поле	Интегрирование по линии. Интегрирование по поверхности. Интегрирование по объему. Интегральные теоремы.
Тензорная механика	Теория напряжений и деформаций при неоднородном напряженно-деформированном состоянии	Дифференциальные уравнения равновесия. Уравнение Коши. Полная система уравнений теории упругости. Принцип возможных перемещений. Закон сохранения энергии. Устойчивость. Однозначность решения. Принцип суперпозиции. Свойства симметрии. Разрешающее уравнение теории упругости в перемещениях. Разрешающее уравнение теории упругости в напряжениях (Уравнение Бельтрами-Митчела). Гармоническая функция напряжений и перемещений.
Некоторые классические задачи теории упругости	Задача о всестороннем равномерном давлении на тело. Задача о сферической полости в неограниченном теле. Задача о сфере, нагруженной внешним и внутренним давлением. Задача о цилиндрическом включении. Задача Ламе о трубе, нагруженной внутренним и внешним давлением. Сосредоточенная сила в неограниченном теле (задача Кельвина). Действие сосредоточенной силы на полупространство (задача Буссинеска).
Плоская постановка задач теории упругости	Особенности двумерного пространства. Основные уравнения теории упругости. Бигармоническая Функция напряжений (функция ЭРИ). Решение плоской задачи теории упругости с помощью полиномов. Метод конечных разностей.
Вариационные принципы теории упругости	Вариации полей напряжений и смещений. Принцип минимума потенциальной энергии (принцип Лагранжа). Принцип минимума дополнительной потенциальной энергии (принцип Кастилиано). Метод Рэлея-Ритца.
Постановка задачи динамической теории упругости
Основы нелинейной теории упругости

5. Лабораторные работы (практикум).

Не запланированы

6. Практические занятия.

6.1. Состав и объем практических занятий

Номер занятия	Номер раздела или темы	Наименование и краткое содержание практических занятий	Характер занятий и цель	Кол-во часов
1	1	Тензоры в линейном пространстве	Практическое занятие с целью получения навыков решения задач по теме «Тензоры в линейном пространстве»	1
2	Тензоры в Евклидовом пространстве	Практическое занятие с целью получения навыков решения задач по теме «Тензоры в Евклидовом пространстве»	1
2	2	Тензоры в Евклидовом пространстве	Практическое занятие с целью получения навыков решения задач по теме «Тензоры в Евклидовом пространстве»	1
1 2	Контрольная работа по тензорной алгебре	Контрольная работа с целью получения результатов текущего контроля	1
3	3	Напряжения и деформации при однородном напряженно-деформированном состоянии	Практическое занятие с целью получения навыков решения задач по теме «Напряжения и деформации при однородном напряженно-деформированном состоянии»	2
4	3	Контрольная работа по теме «напряжения и деформации при однородном напряженно-деформированном состоянии»	Контрольная работа с целью получения результатов текущего контроля	2
5	4	Тензорное дифференцирование	Практическое занятие с целью получения навыков решения задач по тензорному дифференцированию	1
5	Интегрирование в тензорном поле	Практическое занятие с целью получения навыков решения задач по тензорному интегрированию	1
6	5	Контрольная работа по тензорному анализу	Контрольная работа с целью получения результатов текущего контроля	2
7	6	Теория напряжений и деформаций при неоднородном напряженно-деформированном состоянии	Практическое занятие с целью получения навыков решения задач по теме «Теория напряжений и деформаций при неоднородном напряженно-деформированном состоянии»	2
8	6	Контрольная работа по теме «Теория напряжений и деформаций при неоднородном напряженно-деформированном состоянии»	Контрольная работа с целью получения результатов текущего контроля	2

6.2. Контрольные вопросы по практическим занятиям.

Список контрольных вопросов к практическому занятию по теме №1 «Тензоры в линейном пространстве».

·  Что называется линейным пространством? Каковы его элементы?

·  Что такое полиада?

·  Какой объект называется тензором? Что представляют собой его валентность и ранг?

·  Что называют размерностью линейного пространства? Что такое базис?

·  Что представляют собой координаты тензора?

·  Для чего используют матричную форму записи тензоров? Что она собой представляет?

·  Каковы в линейном пространстве операции со скалярами, векторами и тензорами (перечислить действия в тензорной, координатной и матричной форме)?

·  Какие тензоры называют симметричными, а какие –кососимметричным? Как преобразуют координаты вектора и двухвалентного тензора при переходе к новому базису?

Список контрольных вопросов к практическому занятию по теме №2 «Тензоры в Евклидовом пространстве».

·  Что называется Евклидовым пространством? Чем оно отличается от линейного?

·  В каком случае координаты вектора не являются его проекциями на базисные оси?

·  Что представляют собой проекциями тензора?

·  Что такое скалярная свертка? Как она влияет на валентность тензора?

·  Какой базис называют декартовым?

·  Какую систему координат называют цилиндрической? Полярной?

·  В каком случае скалярное произведение вектора и двухвалентного тензора будет коммутативно?

·  Как осуществляется двойное скалярное произведение?

·  Почему единичный тензор называют тензором тождественного преобразования?

·  Что представляют собой собственные числа и собственные векторы двухвалентного симметричного тензора?

·  Что представляет собой альтернирующий тензор? Как на него влияет правизна декартового базиса?

·  Что представляет собой векторное произведение? Его геометрический смысл.

·  Что такое векторная свертка? Как она влияет на валентность тензора? Чему равна векторная свертка двухвалентного кососимметричного тензора?

Список контрольных вопросов к практическому занятию по теме №3 «Напряжения и деформации при однородном напряженно-деформированном состоянии».

·  Каковы основные гипотезы, принятые в теории однородного напряженно-деформированного состояния?

·  Что называется тензором напряжений?

·  Каков вид тензора напряжений для одноосного напряженного состояния? Шарового? Цилиндрического.

·  Что представляет собой материальное волокно?

·  Что означает однородность деформированного состояния?

·  Что называется тензором дисторсии?

·  Что представляют собой координаты тензора дисторсии?

·  Что представляют собой столбцы матрицы тензора дисторсии?

·  Что называется тензором деформации?

·  Что представляют собой координаты тензора деформации?

·  Что представляют собой столбцы матрицы тензора деформации?

·  Что называется тензором жесткого поворота?

·  Что представляют собой координаты тензора жесткого поворота?

·  Что представляют собой столбцы матрицы тензора жесткого поворота?

·  Как связаны между собой тензоры дисторсии, деформации и жесткого поворота?

·  Что такое вектор статического момента тела?

·  Что такое тензор момента инерции?

·  Какое тело называют упругим?

·  Как вычислить удельную работу внутренних сил в упругом теле?

·  Чему равна потенциальная энергия упругой деформации?

·  В чем состоит постулат устойчивости Друкера?

·  Каковы три форму записи Закона Гука для изотропного тела?

·  Каковы виды симметрии тензора констант упругости?

Список контрольных вопросов к практическому занятию по теме №4 «Тензорное дифференцирование».

·  Что в тензорном анализе называют «полем»?

·  Что такое радиус-вектор?

·  Что представляет собой направленная производная?

·  Что такое градиент? Как операция взятия градиента влияет на валентность тензорного поля?

·  Как связаны между собой левый и правый градиенты двухвалентного тензорного поля?

·  Какие поля называются потенциальными?

·  Что называют дивергенцией? Как дивергенция влияет на валентность тензорного поля?

·  Что такое ротор тензорного поля? Как операция взятия ротора влияет на валентность тензорного поля?

·  Чему равен градиент радиус-вектора?

·  Чему равен градиент модуля радиус-вектора?

·  Чему равен ротор радиус-вектора?

·  Чему равна дивергенция радиус-вектора?

·  Чему равен ротор градиента любого тензорного поля?

·  Чему равна дивергенция ротора любого тензорного поля?

·  Что такое циркуляция и чему она равна в потенциальном поле?

Список контрольных вопросов к практическому занятию по теме №5 «Интегрирование в тензорном поле».

·  Каковы варианты интегрирования в тензорном поле?

·  Что представляют собой векторные дифференциалы?

·  В чем состоит теорема Гаусса-Остроградского?

·  В чем состоит теорема Стокса?

Список контрольных вопросов к практическому занятию по теме №6 «Теория напряжений и деформаций при неоднородном напряженно-деформированном состоянии».

·  Каковы основные гипотезы, принятые в теории неоднородного напряженно-деформированного состояния?

·  Как записывают дифференциальное уравнение равновесия в тензорной и координатной форме?

·  Откуда следует симметрия тензоров напряжений при неоднородном напряженно-деформированном состоянии?

·  Как формулируется уравнение Коши? Как из этого уравнения получить условие совместности деформаций?

·  Какова полная система уравнений теории упругости?

·  В чем состоит принцип возможных перемещений?

·  Как формулируют закон сохранения энергии при неоднородном напряженно-деформированном состоянии?

·  В чем состоит принцип устойчивости при неоднородном напряженно-деформированном состоянии?

·  Как формулируют разрешающее уравнение теории упругости в перемещениях (уравнение равновесия в форме Ламе)?

·  Как формулируют разрешающее уравнение теории упругости в напряжениях (уравнение Бельтрами-Митчела)?

Рубежный контроль знаний осуществляется путем проведения контрольных работ по разделам и темам.

·  Тензорная алгебра (тензоры в линейном пространстве и тензоры в Евклидовом пространстве).

·  Напряжения и деформации при однородном напряженно-деформированном состоянии.

·  Тензорный анализ (Тензорное дифференцирование, интегрирование в тензорном поле).

·  Теория напряжений и деформаций при неоднородном напряженно-деформированном состоянии.

7. Семинарские занятия

Не запланированы.

8. Самостоятельная работа студентов (СРС).

1. Подготовка к контролю текущей успеваемости (20 часов);

2. Выполнение курсовой работы «Анализ напряженно-деформированного состояния в точке тела и методы решения задач теории упругости» (45 часов).

8.1. Курсовой проект (работа) или семестровое задание.

Taблица 6 - Содержание и объем курсового проекта (работы) или семестрового задания

Номера раздела	Наименование и содержание разделов семестровой работы	Объем расчетной части	Кол-во часов на одного студента
Курсовая работа «Анализ напряженно-деформированного состояния в точке тела и методы решения задач теории упругости»
1.	Анализ напряженно-деформированного состояния в точке тела	30%	15
2.	Расчет напряжений, возникающих в симметричной двухопорной балке-стенке	50%	25
7.	Оформление расчетно-пояснительной записки	20%	5

8.2. Рефераты (Деловые игры или другие виды СРС).

9. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

9.1. Рекомендуемая литература;

а) основная литература (не более 4—5 наименований);

1.  Садаков тензорного анализа (применительно к теории упругости). – Челябинск: ЧПИ, 1981. – 92 с.

2.  и др. Основные понятия и простейшие задачи теории упругости. Учебное пособие. – Челябинск: ЧГТУ, 1992. – 64 с.

3.  , Гудьер Дж. Теория упругости.- М.: Наука, 1979.

б) дополнительная литература

1.  Безухов и задачи по теории упругости, пластичности и ползучести.- М.: Высшая школа, 1965.

2.  Работнов деформируемого твердого тела.- М.: Наука, 1979.

3.  Филин механика твердого деформируемого тела, Т.1.- М.: Наука, 1975.

4.  Безухов теории упругости, пластичности и ползучести.- М.: Высшая школа, 1968.

5.  ГОСТ 2.105-95. единая система конструкторской документации. Общие требования к текстовым документам. – Минск: Издательство стандартов, 1995. – 36 с.

9.2. Средства и материально-техническое обеспечение дисциплины.

1.  Раздаточный материал:

·  электронный конспект лекций по теории упругости;

·  контрольные вопросы для подготовки к практическим занятиям;

·  образцы выполнения и оформления разделов курсовой работы.

2.  Комплект задач для выполнения контрольных работ.

3.  Комплект контрольных вопросов по теоретической части курса.