4. Вынужденные колебания. Резонансные явления
4.1. Вынужденные колебания
|
4.1.1.Упругая балка, на которой установлен двигатель, погнулась под его весом на Dy = 1×10 - 3 м. Определить частоту вращения ротора электродвигателя n0 при которой может возникнуть опасность резонанса.
Решение
1. Статический прогиб обусловлен силой тяжести электродвигателя, которая равна по модулю и противоположна по направлению реакции связи, вызванной упругостью балки
. (1)
2. Масса, соединённая с упругим элементом обладает собственной циклической частотой
. (2)
3. Совмещая уравнения (1) и (2), получим, по сути, значение частоты собственных незатухающих колебаний системы электродвигатель - упругая балка
(3)
4.1.2. Маневровый тепловоз массой m = 1,6×105 кг имеет четыре рессоры жесткость каждой, из которых равна k = 500 кН/м. При какой скорости равномерного движения тепловоз будет наиболее сильно раскачиваться в направлении вертикальной оси, если расстояние между стыками рельс l = 12,8 м.
|
Решение
1. Раскачивание тепловоза вдоль вертикальной оси будет происходить вследствие толчков, получаемых колёсными парами на стыках рельс. Явление резонанса колебательной системы, состоящей из массы тепловоза m и четырёх упругих элементов жесткостью k, будет иметь место при совпадении частоты собственных колебаний системы с частотой следований импульсов на стыках рельсов.
2. Частота собственных колебаний тепловоза
, (1)
. (2)
3. Частота следования импульсов, обусловленных стыками
. (3)
4. Приравняем уравнения (2) и (3) исходя из условия совпадения собственной частоты и частоты возбуждающей силы
, (4)
. (5)
|
4.1.3. Через ручей переброшена длинная упругая доска. Когда девочка стоит посередине такого мостика, доска прогибается в средней части на расстояние Dy = 0,1 м. Когда же она переходит мостик со скоростью v = 3,6 км/час, то доска начинает так раскачиваться в вертикальном направлении, что возникает вероятность падения ребёнка в воду. Определить длину шага х.
Решение
1. Когда девочка стоит посередине доски, мо сила её веса уравновешивается силой, обусловленной упругостью доски
, (1)
где k - коэффициент упругости доски, m - масса девочки, Dy - статический прогиб доски.
2. Из уравнения (1) можно определить частоту собственных колебаний системы «девочка - доска»
. (2)
3. С другой стороны, частоту раскачивания доски можно выразить через длину шага х и скорость перемещения ребёнка по доске
. (3)
4. Возрастание амплитуды колебаний будет наблюдаться при совпадении частот
(4)
4.1.4. На осциллятор массы m без затухания с собственной частотой w0 действует периодическая вынуждающая сила F(t) = F0 coswt. При каких начальных условиях будут протекать только вынужденные колебания? Найти закон изменения смещения x(t).
Решение
1. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в общем виде можно представить следующим образом
(1)
. (2)
Так как осциллятор без затухания, то
, (3)
где w0 - циклическая частота собственных колебаний осциллятора, w - циклическая частота возмущающей силы, А* - амплитуда вынужденных колебаний, f0 =F0/m - приведённая амплитуда внешней силы.
2. Для определения начального смещения х0 подставим в уравнение вынужденных колебаний t =0
. (4)
3. Продифференцируем по времени уравнение колебаний (2)
. (5)
4. Уравнение колебаний в этом случае примет вид
. (6)
4.1.5. Определить через какой промежуток времени установятся вынужденные колебания с системе с добротностью Q = 106 при частоте собственных колебаний w0 = 5 крад/с при воздействии внешней возбуждающей периодической силы.
Решение
1. Добротность колебательной системы Q прямо пропорциональна циклической частоте собственных колебаний w0 и обратно пропорциональна удвоенному коэффициенту затухания b
. (1)
2. Время релаксации системы обратно пропорционально коэффициенту затухания
. (2)
4.1.6. Определить разность фаз j между смещением и вынуждающей силой на резонансе смещения, если собственная частота колебаний равна w0 = 50 рад/с, коэффициент затухания d = 5,2 с - 1.
Решение
1. Разность фаз в режиме резонанса между смещением и вынуждающей силой определяется уравнением
. (1)
2. Резонансная частота может быть найдена с помощью уравнения
. (2)
3. Подставим в уравнение (1) значение резонансной частоты
. (3)
Внесём далее коэффициент затухания d под корень
. (4)
4.1.6. Определить, на сколько герц резонансная частота отличается от частоты собственных колебаний системы n0 = 1 кГц, характеризуемой коэффициентом затухания d = 400 с - 1.
Решение
1. Циклическая частота резонансных колебаний системы определяется уравнением
. (1)
2. Частота резонансных колебаний
. (2)
3. Искомая разность частот
. (3)
|
4.1.7. Автомобиль массой m = 1 т проходит испытания на устойчивость к переменным нагрузкам, для чего через задний буксировочный крюк он соединён с упругим элементом жесткостью k = 0,7 МН/м. К автомобилю прикладывается гармоническая сила F(t) = 105 sin15t. Определить, пренебрегая сопротивлением воздуха и силами трения уравнение движения автомобиля.
|
Решение
1. В данном случае исследуемый движущийся объект имеет одну степень свободы, по этому для описания достаточно получить уравнение движения относительно одной, горизонтальной оси ох с началом отсчёта в положении автомобиля при недеформированном упругом элементе.
2. Начальные условия задачи при таком выборе системы отсчёта будут выглядеть следующим образом
. (1)
3. На автомобиль применительно к выбранной оси действуют две силы: сила, вызванная наличием упругого элемента Fk = - kx и внешняя гармоническая сила F(t) = F0 sinwt. Уравнение II закона Ньютона запишется так
, (2)
, (3)
, (4)
где w - циклическая частота
; (5)
величина приведённой возбуждающей силы
. (6)
4. Уравнение (4) является дифференциальным уравнением второй степени с постоянными коэффициентами. Решение уравнения складывается из суммы решений, которые описывают собственные колебания системы и её колебания под действием периодической внешней силы
, (7)
где х1 - общее решение, х2 - частное решение. Характеристическое уравнение запишется следующим образом
. (8)
5. Уравнение (8) даёт возможность искать общее решение в виде
. (9)
6. Для определения вынужденных колебаний, т. е. частного решения х2 необходимо найти соотношение между циклическими частотами свободных и вынужденных колебаний. Так как w < W, то имеют место вынужденные колебания малой частоты, при этом решение целесообразно искать в виде
, (10)
где А и В - коэффициенты подлежащие определению.
7. Подставим уравнение (10) в исходное уравнение (4)
, (11)
, (12)
, (13)
. (14)
8. Приравняем коэффициенты, стоящие в левой и правой частях уравнения (14) при соответствующих тригонометрических коэффициентах
, (15)
. (16)
9. Таким образом, частное решение уравнения (9) имеет вид
. (17)
10. Совместим далее уравнения (7), (9) и (17)
. (18)
11. Для определения постоянных С1 и С2 продифференцируем по времени уравнение (18)
. (19)
12. Подставим в уравнение (18) и (19) начальные условия задачи: t = 0, x = 0, 
, (20)
, (21)
. (22)
13. Уравнение движения автомобиля, таким образом, запишется следующим образом
. (14)
14. Подставим в уравнение заданные по условию задачи величины в решение (14)
. (15)
. (16)
15. Первое слагаемое уравнения (16) определяет собственные колебания автомобиля с амплитудой А0 = 0,12 м, второе слагаемое описывает вынужденные колебания под действием периодической силы F(t) с амплитудой А1 = 0,2 м.
4.1.8. Описанные в предыдущей задаче испытания автомобиля проводятся при частичном включении тормозной системы, обеспечивающей силу сопротивления движению, пропорциональную скорости в первой степени R = zv, где z = 2,5×105 кг/с. Получить уравнение движения.
Решение
1. Второй закон Ньютона в проекции на ось х (см. предыдущую задачу) представится следующим образом
, (1)
, (2)
где y - разность фаз между возбуждающей силой и силой сопротивления, пропорциональной скорости
. (4)
3. Используя условия предыдущей задачи определим постоянные коэффициенты дифференциального уравнения (3)
. (5)
4. В данном случае движение автомобиля будет происходить при малом затухании, потому что w > d и w > W, т. е. решение дифференциального уравнения (4) ищется в виде
, (6)
где х1 - общее решение соответствующего однородного уравнения, х2 - частное решение неоднородного уравнения, причём
, (7)
, (8)
, (9)
, (10)
. (11)
5. При w > W решение уравнения движения представляется в виде
. (12)
6. Проведём необходимые вычисления
, (13)
, (14)
. (15)
7. С учётом полученных величин, решение (12) перепишется в виде
. (16)
8. Для определения постоянных интегрирования С1 и С2 найдём производную по времени уравнения (16), т. е. получим уравнение скорости
(17)
9. Подставим в уравнение (16) начальные условия, аналогичные предыдущей задаче: t = 0, x = 0 и определим значение С1
. (18)
10. Для вычисления С2 в уравнение (17) подставим: t = 0,
, (19)
. (20)
11. Подставим полученные значения в уравнение (16)
(21)
12. Преобразуем полученное решение к следующему
(22)
Наличие перед круглой скобкой экспоненциального множителя с отрицательным показателем степени, говорит о том, что собственные колебания, протекающие с частотой w, достаточно быстро исчезнут и автомобиль будет двигаться, совершая вынужденные колебания с циклической частотой W.
4.2. Явление резонанса
4.2.1. Период собственных колебаний пружинного маятника равен Т0 = 0,55 с. При погружении маятника в вязкую жидкость период стал равным Т = 0,56 с. Найти резонансную частоту колебаний.
Решение
1. Определим циклическую частоту собственных колебаний маятника
. (1)
2. Запишем уравнение периода затухающих колебаний из которого выразим коэффициент затухания d
, (2)
, (3)
. (4)
3. Уравнение резонансной частоты колебаний
, (5)
. (6)
4.2.2. К пружине жёсткостью k = 10 Н/м подвешено тело массой m = 0,1 кг. Тело совершает вынужденные колебания в среде, обладающей сопротивлением r = 2×10 - 2 кг/с. Найти коэффициент затухания d и величину амплитуды резонансных колебаний, если амплитуда возмущающей силы равна F0 = 0,01 Н.
Решение
1. На тело действуют три силы: сила тяжести, сила сопротивления, сила упругости и возбуждающая сила. Уравнение второго закона Ньютона в данном случае содержит необходимые для решения постоянные коэффициенты
, (1)
, (2)
где 
- коэффициент затухания; 
- квадрат собственной циклической частоты, 
.
2. Оценим влияние силы сопротивления на изменение частоты колебаний
. (3)
3. Найдём амплитуду вынужденных колебаний
. (4)
4.2.3. Колебательная система совершает вынужденные колебания в среде с коэффициентом сопротивления r = 10 - 3 кг/с. Считая затухание малым определить амплитудное значение возмущающей силы, если на резонансе амплитуда колебаний составила AR = 5×10 - 3 м, собственная частота колебаний системы составляет n0 = 10 Гц.
Решение
1. Амплитуда резонансных колебаний определяется уравнением
. (1)
2. Ввиду малости затухания, уравнение (1) можно переписать следующим образом
, (2)
откуда амплитудное значение возбуждающей силы определяется как
. (3)
4.2.4. Частота свободных колебаний системы - w0 = 100 с - 1, резонансная частота wR = 99 с - 1. Найти добротность этой колебательной системы.
1. Добротность колебательной системы определяется уравнением
. (1)
2. Коэффициент затухания определим из следующих соображений
. (2)
3. Совместим уравнения (1) и (2)
. (3)
4.2.5. К телу массой m = 0,1 кг колеблющемуся в вязкой среде с начальной амплитудой Amax = 7 мм внезапно начинает действовать внешняя периодическая сила. Тело начитает совершать вынужденные колебания
.
Записать уравнение собственных колебаний тела, если коэффициент затухания равен d = 1 с - 1.
Решение
1. Поскольку результирующее колебание получилось периодическим, то можно полагать, что внешняя сила тоже имеет периодические свойства. Другими словами, на тело действуют три силы: сопротивления (будем считать её пропорциональной скорости) FS = - rv; упругости Fk = - kx и внешняя возбуждающая сила F(t) = F0cosWt. Дифференциальное уравнение движения представится следующим образом
. (1)
2. Собственным колебаниям соответствует решение однородной части уравнения (1)
. (2)
3. Разность фаз между свободными и вынужденными колебаниями, заданная по условию задачи даёт возможность определить циклическую частоту собственных колебаний следующим образом
, (3)
. (4)
4. С учётом значения w0 уравнение собственных колебаний представится следующим образом
. (5)
4.2.6. Тело массой m = 2 кг соединено с вертикальной пружиной жёсткостью k = 5 кН/м. Получить зависимость амплитуды колебаний от частоты возбуждающей гармонической силы при прохождении частоты резонанса. Известно, что амплитудное значение внешней силы составляет F0 = 9,8 Н, коэффициент затухания собственных колебаний - d = 0,75 с - 1.
Решение
1. Период собственных колебаний тела, соединённого с пружиной можно представить двумя уравнениями, из которых следует циклическая частота
. (1)
2. Определим величину приведённой внешней силы
. (2)
3. Амплитуда вынужденных колебаний
. (3)
4. Для построения зависимости А = f(W) зададимся следующими значениями циклической частоты возмущающей силы
4.1. W = w0 (состояние резонанса)
. (4)
4.2. W = 0,95w0
. (5)
4.3. W = 0,9w0
. (6)
4.4 W = 0,7w0
. (7)
4.5. W = 0,5w0
|
4.2.7. Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой n = 1 кГц. Определите частоту n0 собственных колебаний, если частота резонанса равна nR = 998 Гц.
Решение
1. Запишем уравнения для частоты затухающих и резонансных колебаний, образуем систему и разрешим её относительно искомой величины
(1)
. (2)
|
4.2.8. Установка для исследования индивидуальных средств безопасности пассажиров автотранспорта совместно с манекеном обладает массой m = 510 кг. К установке прикладывают горизонтальную возбуждающую гармоническую силу
,
где F0 = 4×104 Н - амплитуда возмущающей силы, W = 60 с - 1 - циклическая частота возмущающей силы. Установка соединена с вертикальной стеной упругим элементом жёсткости k = 1,7×106 Н/м. Определить уравнение движения установки.
Решение
1. Дифференциальное уравнение движения в проекции на горизонтальную ось в данном случае представится следующим образом
, (1)
2. Поделим уравнение (1) на m
, (2)
3. Введём стандартные обозначения и вычислим циклическую частоту собственных колебаний системы
. (3)
4. Перепишем уравнение (2) с учётом обозначений (3)
. (4)
5. Сравнение величин w и W показывает, что колебания происходят в области резонанса, но тем не менее w < W
6. Уравнение (4) совпадает с уравнением (4) задачи 4.1.6, поэтому воспользуемся результатом интегрирования и запишем решение в виде
. (5)
7. Ввиду того, что w @ W будем иметь следующие соотношения
. (6)
8. Перепишем уравнение (5) следующим образом
, (7)
или
. (8)
9. Преобразуем выражение, стоящее в скобках
. (9)
10. С учётом уравнения (9) уравнение (8) можно представить так
, (10)
где
. (11)
11. При w @ W величина a(t) является медленно изменяющейся во времени с циклической частотой
, (12)
|
и периодом 
. Другими словами, будет иметь место процесс биений, т. е. гармонических колебаний с периодом Т = 2p/W, амплитуда которых изменяется по закону синуса с малой циклической частотой, определяемой уравнением (12). Вынужденные колебания протекают с периодом Т = 2p/W = 0,1 с.
12. Вычислим величину a(t)
. (13)
13. Уравнение (10), описывающее движение исследуемой установки можно в окончательном виде записать следующим образом
. (14)
|
4.2.9. Простейшая конструкция прибора для измерения параметров вибраций, которая, кстати, применяется и в сейсмографах, представляет собой массу, присоединённую к вертикальной пружине. Перемещение массы вызывает изменение одной из электрических величин: сопротивления, ёмкости, индуктивности, ЭДС индукции и т. п., которые включаются в схемы регистрации.
Пусть виброметр представляет собой пружину жёсткостью k = 1 кН/м с присоединенной массой m = 10 кг. Прибор для калибровки поместили на рабочий стол, совершающий колебания в соответствие с уравнением: x = a sin W×t, где а = 5 мм - амплитуда колебаний рабочего стола, W = 16 p с - 1 - частота колебаний стола вибростенда. Записать уравнение колебаний скользящего контакта относительно сопротивления R.
Решение
1. Предположим, что в начальный момент времени масса находится в покое в положении статического равновесия. Ось х, вдоль которой происходит движение, направлена вертикально вниз, т. е. совпадает с направлением вектора ускорения свободного падения. Начальные условия задачи в этом случае можно записать следующим образом:
при t = 0 x = x0 = 0, 
. (1)
2. В неподвижном состоянии основания виброметра упругий элемент имеет удлинение равное 
. При смещении основания виброметра полное удлинение пружины составит
, (2)
где x - смещение корпуса прибора совместно с рабочим столом вибростенда.
3. К массе приложены две силы: сила тяжести mg, направленная вертикально вниз и сила упругости пружины, направленная, в связи с удлинением, вертикально вверх
. (3)
4. Дифференциальное уравнение движения будет иметь традиционный вид второго закона Ньютона
, (4)
. (5)
5. В положении статического равновесия 
, то можно считать, что 
, при этом дифференциальное уравнение движения примет вид
. (6)
, (7)
, (8)
где 
= 10 с - 1 - циклическая частота собственных колебаний, 
0,5 м×с2 - значение приведённой внешней силы.
6. Решение уравнения (8) представляет собой сумму решений однородного уравнения и частного решения
, (9)
. (10)
7. Для определения постоянных интегрирования вычислим производную по времени уравнения (10)
. (11)
8. Подставляя в уравнения (10) и (11) начальные условия из соотношений (1), получим
. (12)
9. Уравнение движения контакта, соединённого с массой представится с учётом значений постоянных интегрирования следующим образом
. (13)
Подставим в уравнение (13) заданные значения величин
. (14)
10. С чётом силы сопротивления, которая пропорциональна скорости движения свободные колебания, определяемые первым слагаемым уравнений (13) и (14) быстро затухнут, масса будет совершать только вынужденные колебания
, (15)
. (16)
|
2.4.10. Танк, проехав по мокрой грунтовой дороге, оставил два ряда углублений, расположенных на расстоянии l = 8 м друг от друга. Через некоторое время по дороге проехал легковой автомобиль массой М = 1,3 т, который попав в резонанс стал испытывать ощутимые вертикальные колебания. С какой скоростью двигался автомобиль, если под действием массы четырёх пассажиров m = 300 кг подвеска автомобиля «проседает» в состоянии покоя на Dх = 2 см.
Решение
1. По величине статической реакции подвески автомобиля определим коэффициент её жесткости
. (1)
2. Частота собственных колебаний автомобиля
. (2)
3. Скорость движения автомобиля, соответствующая резонансным колебаниям
(3)
