Эффект Доплера

А. М. ГУЛЫЙ

ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА

В общем случае движения источника сигналов и приемника сигна­лов расстояние l, которое проходит сигнал от момента излучения до момента приема сигнала, является переменной величиной. Если считать, что в момент времени t источник излучает сигнал, а в момент времени t' приемник принимает этот сигнал, то

l = u(t' – t) ,

где u – скорость распространения сигнала.

Среда, в которой распространяется сигнал и движутся источник и приемник, считается неподвижной. Другими словами, система от­счета связана со средой. Очевидно, что за время ∆t расстояние l будет иметь приращение ∆l. Пусть в рассмотренный нами момент времени t был излучен сигнал определенной фазы, например, начало периода. В момент t + ∆t фаза излучаемого сигнала измени­лась, и этот сигнал с измененной фазой приемник принял в момент времени t' + ∆t'. При этом этот сигнал с изменённой фазой прошел расстояние l + ∆l.

Тогда

Если вычесть первое из второго, то получим

откуда

Перейдя к пределу, получим

Это дифференциальная форма закона, описывающего эф­фект Допле­ра в общем случае.

Производная от расстояния l определяется в каждом конкретном случае после того, как l выражено через t, т. е. найдено l = l(t). Нахождение функции l(t) в общем случае довольно громоздко, поэтому здесь приводиться не будет. Укажем только те величины, которые остаются при этом всегда постоянными и которые надо ис­пользовать при выводе l(t).

В общем случае, когда в движении с постоянными скоростями находятся источник и прием­ник, скорости их всегда можно расположить в двух параллельных плоскостях, расстояние h между которыми остается постоянным. Постоянным также является и угол между направлениями скоростей источника и приемника.

В данной работе рассмотрим только интересующий нас случай.

На рисунке пред­ставлен случай, когда источник неподвижен и на­ходится в точке O, а приемник дви­жется со скоростью v в нап­рав­лении от A до B и дальше. В момент времени t источник из­лучает начало сиг­нала, а, напри­мер, че­рез период Т, в мо­мент времени t + Т излучает конец сигнала. Приемник принимает этот сигнал соответственно в точке А начало сигнала в момент време­ни t' и в точке B – конец сигнала в момент времени t' + Т'. Скорость распространения сигнала u. Тогда

Вычитая из второго первое, получим

В свою очередь, в момент времени t' приемник находился в точке A, а в момент t' + Т' – в точке B. Таким образом, расстояние AB приемник прошел за время

t' + Т' – t' = Т '

следовательно

AB = vТ' .

Из рисунка находим

После возведения в квадрат и сложения левых и правых частей этих уравнений получим

и

где

После подстановки в формулу для Т ' получим

Если движется источник, а приемник неподвижен, то

Если приемник движется по направлению к источнику или от не­го, то θ = 0 или θ =180° Тогда

или если источник движется к приемнику или от него, то

Известные из курса физики формулы.

Если приемник движется перпендикулярно к направлению на источ­ник, то θ = 90° или θ = 270°. Тогда

Это так называемый поперечный эффект Доплера.

Подобный результат получается и в случае, когда движется ис­точник, а приемник неподвижен

Отсюда следует, что поперечный эффект Доплера существует не только при приеме световых волн, а и в случае любых волн и пе­риодических сигналов, в том числе звуковых волн, волн на воде и других.

До настоящего времени считалось, что поперечный эффект Допле­ра в состоянии объяснить только теория относительности, а клас­сическая физика не в состоянии это сделать. Но, как видно из выше изложенного, и классическая физика благополучно объясняет это явление. Более того, полученные формулы дают возможность объяснить механизм этого явления. Так в пределе, когда Т→0 и Т'→0, выходит, что Т' = Т, т. е. никакого поперечного эффекта Доплера нет. Действительно, если Т' = T→0, то l →p и l – p →0, т. е. приемник принимает и начало, и конец излучения практически на одинаковых расстояниях от источника. Другое дело, когда T ≠ 0. Тогда l ≠ p, так как α ≠ 90°, когда θ = 90°, и, разумеется, эффект наблюдается.

Не будет наблюдаться эффект Доплера, если приемник и источ­ник будут все время находиться на одинаковом расстоянии друг от друга независимо от движения того или другого или обоих разом. Например, если приемник будет двигаться по окружности или по поверхности сферы, в центре которой находится источник, или на­оборот, движется источник, а приемник находится в центре.

Следует отметить, что если движущийся источник не точечный и имеет некоторую длину и движется в направлении этой длины, то его лучи отклоняются в сторону движения источника (см. аберрацию звезд). Такой источник не имеет лучей, направленных перпендикулярно к скорос­ти. В таком случае невозможно установить приемник так, чтобы направление принимаемых лучей было перпендикулярным к скорости источника. Поэтому получаемый опытным путем эффект не является поперечным.

Литература:

1. . Вселенная, авторское издание, Сумы, 1996 г.