Задание Д11–06

ЗАДАНИЕ Д11–06

Дано: R1= R2= R, r1=0,4R, r2=0,8R, c, Р1= 2Р, Р2= 0, Р5= Р, F = 0, M1 = 0, M2 = –PR

Найти: – закон изменения обобщенной координаты; частоту k и период колебаний.

РЕШЕНИЕ:

1. Для решения задачи воспользуемся уравнениями Лагранжа. Система имеет две степени свободы. Выберем в качестве обобщенных координат угол поворота j блока 2 и удлинение пружины х (q1=j, q2=x). Тогда уравнения Лагранжа будут иметь вид

; .

2. Кинетическая энергия системы, равна сумме энергий всех тел (весомых):

.

Т. к. блоки вращаются вокруг своих осей, а каток движется плоскопараллельно, то

; , где , .

Выразим все скорости через обобщенные скорости и: , . Для определения рассмотрим движение катка как сложное. Т. к. определяет положение т. Е по отношению к концу пружины К, получим , где численно , . Принимая во внимание, что положительные направления для и разные и что точка касания катком поверхности есть мгновенный центр скоростей катка, получаем

и .

Следовательно = ==.

Отсюда =, ;

=, . (1)

3. Определим обобщенные силы и . На систему действуют активные силы: силы тяжести , , силы упругости , и пара сил с моментом М.

а) Определение . Сообщим системе возможное перемещение, при котором координата получает приращение (), а не изменяется (=0 – пружина при этом не изменяет своей длины). Блоки 1 и 2 связаны нитью т. е. , отсюда . Тогда т. К и центр катка Е получают одинаковые перемещения . Элементарная работа действующих сил равна

==

б) Определение . Сообщим системе возможное перемещение, при котором координата получает приращение (), а не изменяется (т. К не перемещается и блоки не проворачиваются).

Тогда элементарную работу совершат только и .

=.

Коэффициенты при и в записанных выражениях и будут искомыми обобщенными силами. Следовательно и . (2)

Подставляя выражения (1) и (2) в уравнения Лагранжа, получим следующие диф. уравнения движения системы:

, ;

или , .

4. Для определения исключим из полученных уравнений .

,

. Отсюда ,

, . Обозначим , , (3)

тогда получим диф. уравнение вида

. (4)

Общее решение этого уравнения: , где

– общее решение однородного уравнения , т. е. ;

– частное решение уравнения (4), которое (по виду правой части) ищем в виде .

Из (4) для имеем . Следовательно .

Тогда . Определим постоянные интегрирования по начальным условиям: при и (движения начинается из состояния покоя и пружина не деформирована) и . Таким образом, искомая зависимость имеет вид:

. (5)

(здесь и рассчитываются по равенствам (3)). Каток совершает колебательные движения по отношению к остальной части системы по закону (5) с круговой частотой и периодом колебаний .