Различные задачи

§ 9. Различные задачи

ПримерДоказать неравенство

. (9.1)

Доказательство. Прежде докажем неравенство

. Интеграл равен площади под кривой на отрезке [1, n].

Эта площадь больше площади, которая является объединением площадей прямоугольников

(9.1.1)

Но эта площадь меньше объединения площадей прямоугольников

. (9.1.2)

Методом математической индукции докажем неравенства (9.1.1) и (9.1.2).

Теорема 1. Из этих трёх рисунков и из свойств интеграла, определённого на отрезке [0, 1] следует неравенство . Отсюда - при n = 2 неравенства (9.1.1) и (9.1.2) верны. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Дано, что при n = k выполняется неравенство .

Нужно доказать выполнение этого неравенства при n = k+1:

. (9.1.3)

Доказательство. Сравним площади следующих трёх фигур

Докажем левое неравенство (9.1.3).

.

Докажем правое неравенство (9.1.3). .

Теорема 2 доказана. Из доказанных теорем 1 и 2 следует, что утверждение верно для любого натурального .

ПримерКак далеко распространяется эта закономерность:

; ; ?

Выскажем гипотезу. Для каждого натурального n верно равенство:

. (9.2)

Докажем эту гипотезу методом математической индукции.

Теорема 1. При n = 1 имеем: . Теорема 1 доказана.

Найдём сумму знаменателя правой части равенства (9.2):

. Тогда

. Следовательно, нужно доказать равенство: (9.2.1)

Теорема 2. Дано, что равенство (9.2.1) выполняется при n = k:

.

Нужно доказать, что равенство (9.2.1) выполняется при n = k+1:

.

Доказательство.

. Теорема 2 доказана.

Пример 9.3. Для любого чётного натурального n доказать неравенство:

. (9.3)

Доказательство. При доказательстве потребуются следующие сведения:

На отрезке функции удовлетворяют условиям:

а). Интегралы с переменным верхним пределом от этих функций

; (9.3.1)

б). . (9.3.2)

Теорема 1. Докажем, что неравенство (9.3) верно при n = 2:

При имеем . То есть . Заменяя x на t и интегрируя это неравенство по t от 0 до , получим . Тогда выполняется неравенство , которое равносильно неравенству при

. Повторим процедуру замены переменной x на t и интегрирования этого неравенства по t от 0 до : . Поэтому

, . (9.3.4)

Ещё раз проделаем тоже самое. . Аналогично предыдущему, имеем , . Четвёртый раз, заменяя x на t и интегрируя это неравенство по t от 0 до

, будем иметь: . (9.3.5)

Из неравенств (9.3.4) и (9.3.5) следует неравенство

. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Дано, что неравенство (9.3) выполняется при n = k (k - чётное):

. (9.3.6)

Нужно доказать, что это неравенство выполняется при n = k+2:

. (9.3.7)

Доказательство. Аналогично как при доказательстве теоремы 1 четыре раза нужно проделать процедуру замены x на t и интегрирования соответствующего

неравенства по t от 0 до . Выпишем правое неравенство (9.3.6) . Заменяя x на t и интегрируя это неравенство по t от 0 до , имеем:

.

. Второй раз, заменяя x на t и интегрируя это неравенство по t от 0 до , будем иметь:

.

Это равносильно , . (9.3.8)

Левая часть неравенства (9.3.6) доказана. В третий раз в неравенстве (9.3.8), заменяя x на t и интегрируя это неравенство по t от 0 до , будем иметь:

.

Отсюда . В четвёртый раз, заменяя x на t и интегрируя это неравенство по t от 0 до , будем иметь:

. То есть выполняется неравенство - правая часть

неравенства (9.3.6). Из этого неравенства и неравенства (9.3.8) получается неравенство (9.3.7). Теорема 2 доказана.

Пример 9.4. Доказать, что для каждого натурального n > 1 число оканчивается цифрой 7.

Теорема 1. При n=2 имеем: число оканчивается цифрой 7. Теорема 2. Дано, что число оканчивается цифрой 7. Нужно доказать, что число оканчивается цифрой 7.

Доказательство. Так как число оканчивается цифрой 7, то число оканчивается цифрой 6. Если некоторое число оканчивается цифрой 6, то его квадрат тоже оканчивается цифрой 6. Следовательно, число оканчивается цифрой 6. Теорема 2 доказана.

Пример 9.5. Доказать, что для любого натурального n число есть полный квадрат.

Доказательство. Если применять метод математической индукции, то в

теореме 2 будут большие выкладки. Но при решении этой задачи можно обойтись без метода математической индукции. Заметим, что - сумма n + 1 членов геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии q = 10. Тогда

для любого натурального n. Теорема 2 доказана.

Литература. Содержание