Лекция

Лекция 8,9

Тема 1.4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Cлучайная величина полностью характеризуется своим законом распределения, который одновременно указывает на то, какие значения может принимать с. в. и с какими вероятностями. Однако в ряде случаев удобнее пользоваться некоторыми другими характеристиками случайных величин, содержащими не всю информацию о с. в., но достаточно хорошо отражающими свойства ее закона распределения. Такие характеристики, которые предназначены для выражения в сжатой форме наиболее существенных особенностей распределения, называются числовыми характеристиками (или параметрами распределения) случайных величин.

В теории вероятностей числовые характеристики играют очень большую роль, поскольку с их помощью облегчается решение многих вероятностных задач. Зачастую удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками.

В теории вероятностей и математической статистике наиболее важными среди различных числовых характеристик, имеющих различное назначение и различные области применения являются математическое ожидание, дисперсия и моменты различных порядков.

1. Математическое ожидание случайной величины

Среди числовых характеристик случайных величин нужно, прежде всего, отметить те, которые характеризуют центр группирования значений с. в., т. е. указывают число на вещественной прямой (если, конечно, оно существует), около которого группируются все возможные значения с. в. В качестве таких характеристик используются несколько видов средних, мода и медиана. Основной и наиболее употребительной характеристикой центра группирования значений с. в. является математическое ожидание, или среднее значение, случайной величины.

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной с. в. ξ называется величина Мξ, равная сумме произведений значений хк с. в. ξ на соответствующие им вероятности рк:

Мξ = . (1.1)

При этом предполагается, что ряд в правой части равенства (1.1) абсолютно сходится, т. е.

.

В противном случае говорят, что с. в. ξ не имеет математического ожидания.

Можно показать, что математическое ожидание дискретной с. в. приближенно равно среднему арифметическому всех ее возможных значений. Вследствие этого математическое ожидание с. в. называют также ее средним значением.

Часто оказывается удобной так называемая «механическая» интерпретация математического ожидания дискретной с. в. Представим себе, что единичная масса распределена по оси абсцисс так, что в точке хк сосредоточена масса рк, к = 1, 2, …, n,… Тогда математическое ожидание Мξ, определяемое формулой (1.1), есть не что иное, как абсцисса центра тяжести данной системы материальных точек. Поэтому математическое ожидание с. в. называют еще центром распределения с. в.

Для конечных с. в. математическое ожидание (среднее значение) всегда существует. Оно может не существовать только для дискретных с. в., принимающих бесконечное множество значений, что показывает следующий пример.

Пример 1.1. Пусть ξ – положительная целочисленная с. в. с рядом распределения , k = 1, 2, …. Вероятности рк удовлетворяют характеристическому равенству:

Тогда

и, значит, математическое ожидание Мξ с. в. ξ не существует. ·

Математическим ожиданием (средним значением) непрерывной с. в. ξ с плотностью распределения р(х) называется величина

. (1.2)

При этом предполагается, что интеграл в правой части (1.2) абсолютно сходится, т. е.

В противном случае говорят, что математического ожидания у с. в. x не существует.

Так же, как и в дискретном случае, математическое ожидание непрерывной с. в. можно интерпретировать как абсциссу центра тяжести единичной массы, распределенной на числовой прямой так, что плотность массы в точке х равна р(х).

Пример 1.2. Найдем математическое ожидание с. в. ξ из примера 4.1, тема 1.3. Поскольку этом случае р(х) = 0 при х < – 2 и х > 2, то

·

Пример 1.3. Пусть ξ – непрерывная случайная величина, распределенная по закону Коши:

Тогда

и, следовательно, математическое ожидание с. в. ξ не существует. ·

Свойства математического ожидания

1°. Математическое ожидание случайной величины x заключено между ее наименьшим и наибольшим значениями:

a £ Mx £ b,

где a – наименьшее, b – наибольшее значение с. в. x.

2˚. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

МС = С.

3˚. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(Сξ) = СМξ.

4˚. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

.

Из свойств 3˚ и 4˚ вытекает свойство линейности математического ожидания:

5˚. при любых постоянных С1, С2, …, Сn.

6˚. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей:

.

7˚. Пусть η = ƒ(ξ) – некоторая функция от случайной величины ξ. Тогда если с. в. ξ дискретна с распределением рк = Р{ξ = хк}, к = 1, 2, …, то

если с. в. ξ непрерывна с плотностью рξ(х), то

Контрольные вопросы

  1.  Что называют числовыми характеристиками (или параметрами) случайной величины?

  2.  Как определяется математическое ожидание случайной величины: а) дискретной; б) непрерывной?

  3.  Как определяется математическое ожидание конечной дискретной с. в.?

  4.  Как определяется математическое ожидание конечной непрерывной с. в., т. е. с. в., все значения которой принадлежат отрезку [a, b]?

  5.  Какие другие названия используют для математического ожидания? Чем объясняются эти названия?

  6.  Всегда ли существует математическое ожидание с. в.? Приведите примеры с. в., для которых не существует математического ожидания.

  7.  Сформулируйте свойства математического ожидания.

  8.  В чем заключается свойство линейности математического ожидания?

  9.  Докажите свойство 2° математического ожидания.

10.  Докажите свойство 3° математического ожидания для дискретной с. в.

Контрольные задания

  1.  Закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

xk	– 4	– 2	0	4	8
pk	1/2	1/4	1/8	1/16	1/16

Найти математическое ожидание случайных величин: а) x; б) h = –2x; в) z = 2x + 3,5.

  2.  Найти математическое ожидание числа x выпавших гербов, если монета подбрасывается: а) один раз; б) два раза; в) три раза; г) пять раз.

  3.  Найти математическое ожидание числа x выпавших очков, если игральный кубик подбрасывается: а) один раз; б) два раза.

  4.  Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8 и третьим – 0,7. Найти математическое ожидание с. в. x – числа попаданий в цель, если каждый стрелок производит: а) по одному выстрелу; б) по два выстрела.

  5.  В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 3 детали. Найти среднее значение числа бракованных деталей в выборке.

  6.  Предприниматель рассматривает возможность покупки акций трех предприятий, по каждой из которых известна доходность (определяемая как отношение величины получаемого дохода за определенный период времени к цене акции) и вероятности возможных значений доходности. Акции какого предприятия следует считать более доходными, если руководствоваться средним значением (математическим ожиданием) доходности?

Предприятие 1	Предприятие 2	Предприятие 3
Доходность (в %), xk	Вер–ть, pk	Доходность (в %), yk	Вер–ть, qk	Доходность (в %), zk	Вер–ть, rk
5	0,2	3	0,1	1	0,1
7	0,3	7	0,4	6	0,4
9	0,4	10	0,3	10	0,25
11	0,1	15	0,2	20	0,25

  7.  Найти математическое ожидание с. в. x, имеющей плотность распределения:

а) б)

в) г)

  8.  Найти математическое ожидание с. в. x, заданной функцией распределения:

а) б)

в) г)

2. Дисперсия случайной величины

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины. Если производится ряд наблюдений над с. в., то результаты этих наблюдений группируются около математического ожидания данной с. в. Во многих случаях представляет большой интерес величина разброса результатов наблюдений относительно центра группировки.

Одной из характеристик разброса значений с. в. относительно ее математического ожидания является дисперсия. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание».

Дисперсией случайной величины ξ называется величина Dξ, равная математическому ожиданию квадрата отклонения с. в. от своего математического ожидания:

Dξ = М(ξ – Мξ

Полагая в свойстве 7° математического ожидания ƒ(х) = (х – Мξ)2, получим следующие формулы для вычисления дисперсии:

·  если с. в. ξ дискретна с законом распределения рк = Р{ξ = хк}, к = 1, 2, …, то

(2.2)

·  если с. в. ξ непрерывна с плотностью распределения р(х), то

(2.3)

Если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия представляет собой момент инерции заданного распределения единичной массы относительно центра тяжести (математического ожидания).

Часто дисперсию с. в. удобно находить по формуле

Dξ = М(ξ2) – (Мξ)2, (2.4)

которая вытекает из определения дисперсии и свойства линейности математического ожидания:

Dξ = М(ξ – Мξ)2 = М( ξ2 – 2ξМξ + (Мξ)2) = М(ξ2) – 2Мξ · Мξ + (Мξ)2 = М(ξ2) – (Мξ)2.

Полагая в свойстве 7° математического ƒ(х) = х2, получим следующие формулы для вычисления М(ξ2):

·  если с. в. ξ дискретна с законом распределения рк = Р{ξ = хк}, к = 1, 2,…, то

(2.5)

·  если с. в. ξ непрерывна с плотностью распределения р(х), то

(2.6)

Пример 2.1. Вычислим дисперсию числа угаданных номеров ξ в «Спортлото 6 из 49».
Рядом распределения для с. в. ξ по формуле (2.5) найдем

ξ	0	1	2	3	4	5	6
р(х)6	0,436	0,413	0,1324	0,0176	0,00097	2 10 -5	7 10 -8

М(ξ2) = 02 · 0,436 + 12 · 0,413 + 22 · 0,1324 + 32 · 0,0176 + 42 · 0,00097 + 52 · 2·10 –5 + 62 · 7·10 –8 ≈ 1,117.

Таким образом, в силу (2.4) получаем

Dξ = 1,117 – (0,735)2 ≈ 0,577. ·

Пример 2.2. Найдем дисперсию с. в. ξ из примера 4.1 темы 1.3. Для этого по формуле (2.6) вычислим

Поскольку Мξ = 0 (см. пример 1.3), то Dξ = М(ξ2) – (Мξ)2 = 0,8. ·

Свойства дисперсии

1°. Дисперсия случайной величины неотрицательна: Dξ ³ 0.

2°. Дисперсия постоянной величины равна нулю: DС = 0.

3°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:

D(Сξ) = С2Dξ.

4°. Дисперсия суммы попарно независимых с. в. равна сумме дисперсий слагаемых:

.

Отметим, что, в отличие от математического ожидания, дисперсия не обладает свойством линейности даже для независимых случайных величин.

Нетрудно видеть, что дисперсия Dξ имеет размерность квадрата размерности с. в. ξ. Для практических же целей удобнее иметь меру разброса, размерность которой совпадает с размерностью с. в. ξ. В качестве такой меры естественно использовать величину

, (2.7)

которую называют средним квадратическим (или стандартным) отклонением случайной величины ξ.

Контрольные вопросы

  1.  Как определяется дисперсия случайной величины?

  2.  Что характеризует дисперсия случайной величины?

  3.  Как выглядят формулы, определяющие дисперсию, для дискретных и непрерывных случайных величин?

  4.  По какой формуле можно проще вычислять дисперсию?

  5.  Запишите формулы для вычисления дисперсии, если случайная величина: а) дискретная; б) дискретная конечная; в) непрерывная; г) непрерывная конечная, т. е. все ее значения принадлежат отрезку [a, b].

  6.  Сформулируйте свойства дисперсии.

  7.  Что такое среднее квадратическое (стандартное) отклонение случайной величины?

  8.  Что характеризует среднее квадратическое отклонение и в чем смысл его введения?

Контрольные задания

  1.  Исходя из определения и свойств математического ожидания докажите свойства 10–40 дисперсии.

  2.  Для случайных величин в контрольных заданиях 1 – 8 п.1 вычислите дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

  3.  Случайные величины x1, x2,…, xn независимы, имеют одно и то же математическое ожидание a и одинаковую дисперсию s2. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и стандартное отклонение среднего арифметического этих случайных величин: с. в.

3. Параметры основных законов распределения

3.1. Дискретные распределения

1. Распределение Бернулли. Предположим, что с. в. ξ имеет распределение Бернулли с параметром р. Пользуясь определениями математического ожидания и дисперсии, непосредственно находим

Мξ = 0·q + 1·р = р;

Dξ = (0 – р)2·q + (1 – р)2·р = р2q + q2р = рq(р + q) = рq.

Таким образом, если с. в. ξ имеет распределение Бернулли с параметром р, то Мξ = р, Dξ = рq, где q = 1 – p.

2. Биномиальное распределение. Пусть ξ – с. в., имеющая биномиальное распределение с параметрами n и р. Математическое ожидание и дисперсию этого распределения можно вычислить по формулам

что предоставляется проделать читателю.

Мы рассмотрим здесь другой способ вычисления параметров биномиального распределения.

Случайная величина ξ с биномиальным распределением интерпретировалась в теме 1.3 как число «успехов» в n испытаниях Бернулли с вероятностью р «успеха» в каждом испытании. Поэтому можно записать

ξ = ξ1 + ξ2 + … + ξn,

где ξi – число «успехов» в i – м испытании (i = 1, 2, …, n).

Поскольку испытания в схеме Бернулли независимы, то с. в. ξ1, ξ2, …, ξn независимы. Кроме того, с. в. ξi имеют распределение Бернулли с параметром р и, в силу п.1, Мξi = р, Dξi = рq,
i = 1, 2, …, n. Пользуясь свойствами аддитивности 4° математического ожидания и дисперсии, находим

Итак, если с. в. ξ имеет биномиальное распределение с параметрами n и р, то Мξ = nр, Dξ = nрq.

3. Геометрическое распределение. Предположим, что с. в. ξ имеет геометрическое распределение с параметром р. Тогда

рк = Р{ξ = к} = q к –1 р, к = 1, 2, …,

и

Перестановка суммирования и дифференцирования здесь правомерна, так как ряд , представляющий сумму членов убывающей геометрической прогрессии, сходится и его сумма равна q/(1– q).

Вычисление дисперсии проводится с помощью формул (2.4) и (2.5) аналогичным образом, что приводит к выражению Dξ = q/р2. Вычисления по формуле (2.5) сложнее, чем вычисление математического ожидания, и поэтому здесь опускаются.

Таким образом, для с. в. ξ, распределенной по геометрическому закону с параметром р, имеем

Мξ = 1/р, Dξ = q/р2.

4. Распределение Пуассона. Пусть с. в. ξ распределена по закону Пуассона с параметром λ. Тогда

и

Здесь мы воспользовались разложением в ряд Маклорена функции еλ:

Во второй сумме суммирование начинается с k = 1, так как первый член суммы, соответствующий k = 0, равен нулю. Кроме того, в предпоследней сумме перешли к новому индексу суммирования i = k –1.

Вычисление дисперсии проводится с помощью формул (2.4) и (2.5) аналогичным образом, что приводит к выражению Dξ = l. Поскольку вычисления по формуле (2.5) сложнее, чем вычисление математического ожидания, поэтому они здесь опускаются.

Таким образом, если с. в. x распределена по закону Пуассона с параметром λ, то Мx = Dx = l.

3.2. Непрерывные распределения

1. Равномерное распределение. Пусть ξ – с. в., имеющая равномерное распределение на отрезке [а, b]. Тогда плотность распределения ξ равна

По формуле (1.2) находим

Таким образом, математическое ожидание с. в. ξ, равномерно распределенной на отрезке [а, b], есть середина этого отрезка.

Для нахождения дисперсии Dξ вычислим величину М(ξ2). В силу формулы (2.6) имеем

Поэтому, в соответствии с (2.4), находим

Таким образом, дисперсия равномерно распределенной с. в. зависит только от длины интервала, на котором она распределена, и является возрастающей функцией от длины интервала.

Итак, если с. в. ξ равномерно распределена на отрезке [а, b] , то Мξ = (а + b)/2, Dξ = (b – а)2/12.

2. Показательное (экспоненциальное) распределение. Пусть с. в. ξ имеет показательное распределение с параметром λ, которое определяется плотностью

Найдем математическое ожидание с. в. x, используя при вычислении по формуле (1.2) метод интегрирования по частям:

Для вычисления предела мы воспользовались правилом Лопиталя:

Таким образом, математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра l.

Для нахождения дисперсии D(x) вначале вычислим

Применяя дважды метод интегрирования по частям, в результате получим М(ξ2) = 2/λ2.

Следовательно,

и

Таким образом, если с. в. ξ имеет показательное распределение с параметром λ, то Мξ = σξ = 1/λ.

3. Нормальное распределение. Пусть с. в. ξ распределена по нормальному закону с параметрами а и σ. Плотность распределения с. в. x равна

Вычислим математическое ожидание по формуле (1.2):

Введем новую переменную интегрирования t = (х-а)/σ. Тогда х = σt + а и dх = σdt, а пределы интегрирования останутся, в чем нетрудно убедиться, прежними. Следовательно, получаем

a.

Первый интеграл в правой части полученного равенства равен нулю, так как он сходится абсолютно и является интегралом от нечетной функции в симметричных пределах. Второй интеграл равен единице как интеграл от плотности стандартного нормального распределения (см. свойство 2° плотности распределения в теме 1.3).

Таким образом, Мξ = а, т. е параметр а нормального распределения равен математическому ожиданию с. в. ξ.

Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой (2.3), учитывая, что Мξ = а. Имеем

Введем новую переменную интегрирования t = (х–а)/σ, в результате чего получим

Для вычисления полученного интеграла, применим метод интегрирования по частям. Положим u = t, = dv, откуда du= dt, v = . Тогда

Первое слагаемое здесь равно нулю, так как по правилу Лопиталя

Интеграл в правой части полученного равенства равен единице как интеграл от плотности стандартного нормального распределения. Следовательно, Dξ = σ2 и , т. е. параметр s нормального распределения равен стандартному отклонению с. в. x. Таким образом, если с. в. ξ ~ N(а, σ), то а = Мξ, σ = .

Контрольные вопросы

1.  Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение с. в. x, распределенной по закону Бернулли с параметром р?

2.  Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение с. в. x, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и р?

3.  Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение с. в. x, распределенной по геометрическому закону с параметром р?

4.  Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение с. в. x, распределенной по закону Пуассона с параметром l?

5.  Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение с. в. x, распределенной по равномерному закону на отрезке [a, b]?

6.  Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение с. в. x, распределенной по показательному (экспоненциальному) закону с параметром l?

7.  Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение с. в. x, распределенной по нормальному закону с параметрами a и s?

8.  Чему равны математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение с. в. x, распределенной по стандартному нормальному закону?

Контрольные задания

1.  Монета подбрасывается 10 раз. Найдите математическое ожидание и дисперсию числа выпавших при этом гербов.

2.  В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 5 пар обуви. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение числа купленных пар обуви, изготовленных первой фабрикой.

3.  Проводится проверка большой партии деталей до обнаружения бракованной (без ограничения числа проверенных деталей). Найти математическое ожидание и дисперсию числа проверенных деталей, если известно, что вероятность брака для каждой детали равна 0,1.

4.  Случайная величина x может принимать целые положительные значения с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии. Выбрать первый член и знаменатель прогрессии q так, чтобы математическое ожидание величины x было равно 10.

5.  Известно, что количество изюминок в сдобных булочках подчиняется закону Пуассона. Сколько изюминок в среднем должны содержать булочки, чтобы вероятность обнаружения по крайней мере одной изюминки в наудачу выбранной булочке была бы не менее 0,95?

6.  Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом 5 минут. Пассажир приходит на платформу в случайный момент времени. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение с. в. x – времени ожидания поезда.

7.  Время ремонта телевизоров в мастерской (в днях) есть с. в. x, распределенная по показательному закону с параметром 0,1. Найти математическое ожидание и дисперсию времени ремонта наудачу выбранного телевизора в данной мастерской.

8.  Вероятность обнаружения затонувшего судна за время поиска t (t ³ 0) задается формулой

Определить среднее время поиска, необходимое для обнаружения судна.

9.  Ошибка показаний весов при измерении веса складывается из систематической ошибки весов, равной 75 гр., и случайной ошибки измерения, имеющей нормальное распределение со средним значением 50 гр. и дисперсией 900 гр2. Определить среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение ошибки показаний весов.

10.  Изделие считается высшего качества, если отклонение его размера от номинала не превосходит по абсолютной величине 3,5 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 3 мм, а систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего сорта, если изготовлено четыре изделия.

Литература

1.  А., , , Теория вероятностей и математическая статистика. – Новосибирск: Изд-во НГАЭиУ, 1997. – Гл. 3, п. п. 4–6.

2.  Е. Теория вероятностей и математическая ста­тистика. – М.: Высшая школа, 2002. – Гл. 7–8.

3.  Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2002. – Гл. 3, п. п. 3–4; гл. 6, п. п. 3–6.