Возможен ли сегодня «платоновский жест» в философии и нужен ли он?
С именем А. Бадью связывают возрождение в современной философии платоновского жеста, т. е. построение онтологии на количественном фундаменте (= «матеме»), каковым в ХХ в. выступает канторовская теория множеств. Проект математической онтологии получил свое дальнейшее развитие в России благодаря усилиям , который предложил рассматривать математику как формальную онтологию природного[1]. При этом в своих письмах Черняков выдвигает идею создания некоей математико-философской дисциплины (или философско-математической), которая будет выступать современной формой философствования, осуществляемой homo mathematicus[2].
Под пифагоро-платоновским жестом следует понимать попытку положить в основание Космоса число, т. е. развить [пифагорейский] тезис «Всё есть число». Собственно же платоновский жест, как говорит об этом Черняков, состоит попытке «затеять разбирательство или тяжбу по поводу сущего как такового, двигаясь отнюдь не в направлении, заданного вопросом «что есть сущее?..» (именно в этом направлении развивается Аристотелева метафизика), а опираясь на вопрос «коликое оно?», каково по количеству?»[3].
[Заметим, что уже здесь возникает вопрос о правомерности приписывания подобного «платоновского жеста» самому Платону, поскольку А. Г. Черняков дает достаточно спорную интерпретацию фр. 242с платоновского «Софиста», заменяя платоновское «какое?» соответствующее аристотелевской категории качества, на выражение «каково по количеству?», где уже фигурирует категория количества, т. е. редуцируя двойной платоновский вопрос о качественном и количественном исследовании сущего к одному «количеству»; и утверждая, при этом, что именно количественный [математический] «окольный» путь может заменить собой [метафизическое] исследование сущего через сущность. Хотя непосредственный перевод Чернякова этого фр. в принципе точен: «Слишком легковесно, как мне кажется, говорил с нами Парменид, да и всякий другой, кто когда-либо затевал разбирательство по поводу сущего, дабы определить коликое оно и какое» (ср. со стандартным русскоязычным переводом: «Мне кажется, что Парменид, да и всякий другой, кто только когда-либо принимал решение определить, каково существующее количественно и качественно, говорили с нами, не придавая значения своим словам» [Платон Софист /Его же. Собр. соч. в 4 т. М.: Мысль, 1993. Т. II. С. 309; выделено курсивом мной. – К. С.] — англ. http://classics. mit. edu/Plato/sophist. html: «I think that Parmenides, and all ever yet undertook to determine the number and nature of existences, talked to us in rather a light and easy strain»; или греч. оригиналом: ««εὐκόλως μοι δοκεῖ Παρμενίδης ἡμῖν διειλέχθαι καὶ πᾶς ὅστις πώποτε ἐπὶ κρίσιν ὥρμησε τοῦ τὰ ὄντα διορίσασθαι πόσα τε καὶ ποῖά ἐστιν» (http://el. wikisource. org/wiki/%CE%A3%CE%BF%CF%86%CE%B9%CF%83%CF%84%CE%AE%CF%82), который буквально переводится как «дабы определить сущее, сколько его есть и какое оно есть» [у Платона используются термины posos (сколькие) «в каком количестве, сколь многочисленный; какой длины, какой продолжительности» и poios (какие) «какой, что за»). А буквально в следующем абзаце [фр. 242d] Платон характеризует эти «окольные» — качественный и количественный — типа исследования бытия как «детскую сказку» или миф (« каждый из них, представляется мне, рассказывает нам какую-то сказку, будто детям» //англ.: «As if we had been children, to whom they repeated each his own mythus or story»)].
Задача данной статьи — решение вопроса о возможности современного возрождения платоновского жеста, т. е. вопроса о том, можно ли рассматривать современную математику в качестве формальной (универсальной) онтологии, замещающей собой «первую философию», роль которой традиционно отводилась метафизике, что предполагает обсуждение вопроса об онтологическом и эпистемологическом статусе математики и ее соотношении с метафизикой. В качестве метода нашего анализа будем использовать кантовский трансцендентальный метод, нацеленный на исследование «нашего [т. е. человеческого] способа познания предметов…» [КЧР, 44(В 25)][4], разновидностями которого и выступают метафизика и математика. При этом мы также будем опираться на результаты современной [философии] математики.
Европейская философская традиция выделяет три основных типа «стремления человека к знанию» [Аристотель, Метафизика кн.6, 1026а (т.1, с.181)/ О душе, кн.1.1, гл.1, 403b (т. 1, с.374)]: физику, математику и метафизику. Каждый из этих типов познания характеризуется своим предметом и методом. При этом они образуют некое упорядоченное единство, эмпирическим базисом которого выступает физика, а «первой философией» — метафизика. Математика в этой триаде занимает срединное место, отличаясь от физики тем, что изучает не конкретные, а абстрактные объекты, но все же она является «второй философией» (или разновидностью предметного мышления), отличаясь от метафизики своей направленностью к миру физических объектов. Об этом говорит, например, Платон в своем четырехчастном отрезке из кн. 6 «Государства»[5], или Аристотель в кн. 6.1 «Метафизики» и кн. 1 трактата «О душе».
Вместе с тем математическое [знание] в определенном отношении является более фундаментальным, чем физическое, поскольку математика выступает для физики как (формальная) мета-физика, ибо «книга природы написана на языке математики, ее буквами служат треугольники, окружности и другие математические фигуры, без помощи которых… невозможно понять ее речь…» (Г. Галилей), а «в любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле [т. е. теоретической системы знаний, а не сырого эмпирического материала] лишь столько, сколько имеется в ней математики» (Кант)[6]. Поэтому физика, особенно современная не может обойтись без математики, и в этом смысле прав Э. Гуссерль, утверждающий, что математика является формальной онтологией в том числе природных (т. е. физических ) процессов. Заметим, что с математизации физики начинается классическая европейская наука. Так, например, основополагающий для становления европейской науки труд Ньютона называется «Математические (перво)начала натуральной философии». Мета-физический же характер математики связан с тем, что она не привязана жестко к действительному миру эмпирического (как одному из возможных миров), а выявляемые ею законы абстрактных объектов имеют универсальный характер, т. е. справедливы для любого (любого ли?) из возможных миров.
Важной особенностью математики является то, что используемые в ней абстрактные объекты имеют особый онтологический статус. Если физические объекты являются реальными и удостоверяются нами в опыте как существующие путем их вос–приятия с помощью наших органов чувств (или физических приборов), то подобное удостоверение в существовании абстрактных объектов невозможно (ср. с известным «числа на дороге не валяются»), и поэтому для них должен быть предложен другой онтологический критерий [существования], другой тип опыта. Согласно Канту, важнейшей конституирующей особенностью математики является то, что математические объекты не даются (как физические), а задаются при помощи дефиниций[7], например посредством принципа абстракции Юма-Фреге[8]. Для предотвращения опасности порождения подобным путем «математических монстров» математика вводит ряд самоограничений. Во-первых, математические объекты должны задаваться конструктивно: существовать для них – значит быть не вос–принимаемым, а конструируемым, т. е. быть построенным по некоторому правилу (алгоритму). Как говорит в этой связи Канта, «мы мыслим треугольник как предмет, когда сознаем сочетание трех прямых линий согласно правилу, соответственно которому такое созерцание всегда может быть показано» [КЧР, 504] [9]. Во-вторых, Кант определяет математику как «познание посредством конструирования понятий» [КЧР, 423], в рамках которого можно выделить два его типа: остенсивное и символическое конструирование, — комбинирование и переплетение которых задает, в конечном итоге, любую математическую деятельность[10]. Развивая этот тезис, можно сказать, что спецификой математического языка является его не декларативный, а процедурный характер, а задача математики состоит не столько в [онтологическом] описании мира сущностей, как это делается в метафизике, сколько в выделении, экспликации и использовании (!) в особом [математическом] языке наиболее универсальных типов операций с [абстрактными] объектами[11]. Например, посредством формальной записи «a + b = c» выражается не столько равенство левой и правой частей, сколько само математическое действие сложения [объектов/чисел], а символом «+» представлен алгоритм или правило (resp. кантовская схема) сложения.
Абстрактная природа математических объектов приводит к целому спектру возможных онтологий. Неявно полагаемая Бадью и Черняковым платоническая трактовка математики не является единственно возможной интерпретацией. Наряду с математическим платонизмом, который трактует абстрактные объекты математики как полноценные онтологические сущности, можно выделить, по крайней мере, еще три их возможные трактовки. Во-первых, это понимание абстрактных объектов математики как не(до)определенных конкретных объектов, т. е. их трактовка в модусе возможности, а не действительности (Дж. Хеллман[12] и др.). Данная трактовка тяготеет к номинализму, а в своих радикальных версиях — к фикционализму (Х. Филд)[13]. Во-вторых, это развиваемое в работах неологицистов (Э. Залта, Б. Линский[14] и др.) понимание математических абстракций как овеществленных свойств. Причем эта трактовка оставляет открытым онтологический вопрос о том, свойствами чего являются математические абстракции, т. е предполагает наличие некоторой не-математической онтологии. В-третьих, это понимание математических «объектов» в рамках современного структурализма (П. Бенацерраф, С. Шапиро[15] и др.), который выдвигает весьма радикальный тезис о без-объектном, т. е. не-онтологическом, характере математического знания: математика занимается не объектами, а структурами, которые и определяют относительное место/позицию математических (квази)объектов в составе структур. Так, тройка – это не самостоятельный (полноценный) объект (resp. число), а лишь то, что занимает «место» между двойкой и четверкой[16]. Причем такое слабое в онтологическом смысле понимание математики вполне достаточно для решения главной задачи математической деятельности, а именно: выполнения математических операций и ответа на вопросы типа «тройка больше двойки?», «тройка меньше четверки?». В своих радикальных версиях структурализм выдвигает тезис о том, что математика может обойтись даже без структур (Х. Филд, Дж. Хеллман, Дж. Берджес[17] и др.), что сближает его с инструментализмом. Можно сказать, что в структурализме представлена третья из возможных трактовок математических абстрактов не как объектов или свойств, а как отношений[18]. Причем во всех своих вариациях структурализм тяготеет к антиреализму, в рамках которого возможно либо номиналистское понимание математических структур как наших языковых конструкций, либо концептуалистское понимание математической деятельности в качестве наших ментальных конструкций (Кант, Гуссерль, интуиционизм). Это означает, что математика не является полноценной онтологией, а предполагает то или иное онтологическое решение, т. е. основана на некотором наборе онтологических допущений (У. Куайн).
В завершении этой части нашей (контр)аргументации еще раз обратимся к Канту. Одна из целей его «Критики чистого разума» — построение научной онтологии[19]. Для этого необходимо найти «ключ ко всей тайне метафизики, до сих пор остававшейся еще скрытой для себя самой» (письмо к Г. Герцу от 21., т. е. принцип построения системы метафизических категорий. В качестве такового он выбирает логический принцип (по)строения суждений, в соответствии с которой выделяет четыре группы категорий по три в каждой. Собственно математической является лишь первая группа категорий «Количество», которой для построения полноценной онтологии явно недостаточно[20]. Двумя другими компонентами кантовской трансцендентальной онтологии выступают (физическая) группа категорий «Качество» и (собственно метафизическая) группа «Отношение», которые, очевидно, невозможно промоделировать «математическими» категориями. Поясним это на примере метафизических категорий, которые Кант определяет также как онтологические предикаты. Какие типы метафизических отношений выделяет Кант? Это отношение 1) «субстанция – акциденция» (что соответствует структуре простого категорического суждения «S есть P»), 2) «причина – следствие» и 3) «взаимодействие» (или «общение»). Так, в суждении «Мел – белый» содержится метафизическая (resp. онтологическая) «информация» о том, что в этом суждении мел выступает как субстанция, а белый – как акциденция, а в суждении «Солнце нагревает камень» Солнце как онтологический предикат (категория) выступает в качестве причины нагревания [камня], а событие «нагревание камня», соответственно, выступает как следствие. А теперь спросим сторонников математической онтологии: возможно ли математическое моделирование подобных метафизических (онтологических) характеристик и можно ли это метафизическое (онтологическое) содержание о мире передать посредством логико-математических формализмов? Кант отвечает на этот вопрос отрицательно и предлагает в этой связи идею, отличной от формальной, особой трансцендентальной логики, задача которой исследовать трансцендентальное содержания суждения [КЧР, 72, 84, 86], не ухватываемое техническими средствами формальной логики или математики. Об этом, в частности, говорит тот факт, что несмотря на предпринятые математиками в ХХ в. усилия (в рамках так называемых релевантных логик), так и не удалось адекватно формализовать причинную связь.
* * *
Перейдем теперь к вопросу об эпистемологической специфике математического знания. Когда Кант говорит о конструктивном характере математической деятельности, он определяет конструирование как соотнесение той или иной понятийной абстракции с «a priori соответствующим ему созерцанием» [КЧР, 423]. Это означает, что в отличие от метафизики, которая определяется Кантом как «познание разумом [или одним лишь чистым рассудком] посредством понятий» [КЧР, 423] в математическом познании задействованы оба «основных ствола человеческого познания… – чувственность и рассудок» [КЧР, 46]. Это замечание Канта можно рассматривать как трансцендентальное уточнение аристотелевского различения между второй и первой философией. Математика, как и физика, является двухкомпонентным типом (по)знания и предполагает определенное сочетание двух типов представлений: понятий рассудка и созерцаний чувственности. Или, другими словами, физика и математика относятся к предметному мышлению, что предполагает соотнесение рассудочных понятий с некоторым предметом, роль которого выполняет эмпирическое (для физики) или общезначимое (для математики) созерцание. Различие между ними состоит в том, что если физика начинается с созерцания (или опыта), которое потом осмысляется как понятие (созерцаемый феномен мы определяем посредством понятий как такой-то и такой-то), то математика, напротив, начинает с вводимых по определению понятий, которые посредством конструирования соотносятся с соответствующим ему созерцанием: например, понятие треугольника соотносится с образом (схемой) треугольника. Причем именно этот «выход» за пределы области рассудочных понятий и позволяет получать «приращение» математического знания: например, доказать теорему о сумме его углов [КЧР, 424–425]. В этом смысле математические ментальные действия, каковым выступают алгебраические вычисления, геометрические построения и (логические) доказательства, выполняют роль физических действий — экспериментов. Их сходство состоит в том, что оба они, хотя и в разных направлениях: эмпирическом (от объекта к субъекту, индукция) и/или рационалистическим (от субъекта к объекту, дедукция) — позволяют соединить между собой разнородные типы представлений: понятия и созерцания.
При этом кантовская концепция согласуется с пониманием математики у Платона, который в своем четырехчастном отрезке хотя и помещает ее в область умопостигаемого, но приписывает математике направленность не наверх, к «беспредпосылочному началу» (Единому), а вниз, в область чувственного. Тем самым математика () мыслится греками как абстрактная наука о чувственных вещах, правда стоящая выше «физики». Соответственно, в ходе конструирования математические понятия, в отличие от метафизики, осмысляются не в своей понятийной чистоте, а как формальные – пространственные или временные – созерцания: любая математическая конструкция с необходимостью осуществляется в пространственной (геометрия) или временной (алгебра) среде. Это означает, что математика основана на большем числе предпосылок и не может рассматриваться в качестве беспредметной первой философии.
Это подтверждает и история западноевропейской философии, которая показывает, что хотя платоновский жест и необходим для становления метафизики (resp. онтологии), являясь одним из ее конституирующих моментов, он явно недостаточен для конституирования метафизики как метафизики. Если положить в качестве основного вопроса античной философии вопрос «из чего состоят вещи?», то нельзя ограничиться чисто математическим ответом типа вещи «состоят из чисел (Пифагор) или атомов (Демокрит)», поскольку полноценный ответ на поставленный вопрос предполагает и ответ на вопрос: «а из чего состоят атомы?», для чего необходим уже физический жест, т. е. ответ типа «вещи (атомы) состоят из воды», восходящий к милетской школе. Именно с Фалеса и начинается европейская философия (онтология). В этой связи можно сказать, что метафизика как тяжба о бытии (фр. 242с из «Софиста») предполагает ответы на два дополняющих и не сводимых друг к другу – физический (качество) и математический (количество) – вопроса о том, (1) колико и (2) каково сущее. Более того, согласно историко-философской концепции Гегеля, оба этих жеста: физический (фалесовско-аристотелевский) и математический (пифагоро-платоновский) необходимы, но недостаточны для конституирования метафизики и представляют собой предфилософию, поскольку метафизика, появление которой связано с парменидовским жестом, начинается с вопроса о сущности (что есть сущее?), а не с вопросов о его качестве (какое оно?) и количестве (коликое оно?).
Одним из наших союзников здесь выступает Лейбниц, выдвинувший идею построения «всеобщей науки» (scientia generalis), «универсального исчисления» (calculus universalis), которые являются концептуальным продолжением декартовской mathesis universalis. По мнению Чернякова, это выступает предтечей математической онтологии. Более того, концептуальной основой лейбницевских монад выступают его математические бесконечно малые (точнее: неделимые геометрические точки). Но можно ли на этом основании утверждать, что онтология Лейбница, каковой является монадология, а не calculus universalis, является математической? На наш взгляд — нет. В одном из своих текстов Лейбниц приводит следующий понятийный ряд: физическая (материальная) точка – математическая точка – метафизическая точка, и поясняет, что если математическое является абстракцией от физического/материального (в духе Аристотеля), то монада как метафизическая точка (= формальный атом) выступает следующим уровнем абстрагирования, является преодолением математического метафизическим: монада выступает такой не-математической «точкой», которая мыслится в своем отвлечении от пространственного[21].
В поддержку нашего тезиса о невозможности полноценной замены метафизического математическим можно было бы привести еще целый ряд имен крупных философов. Но вместо этого зададим встречный вопрос сторонникам математической онтологии: готовы ли они переписать самые значимые онтологические концепции на языке математики и сделать это для всех онтологических метафизических концепций? Ведь только в этом случае можно утверждать о том, что математика — это онтология вообще, а не ее частный случай, соотнесенный с теми или иными философскими концепциями. Если же речь идет о выборе «правильной» онтологии, то критерий такого выбора является нематематическим.
* * *
Помимо собственно философских возражений против математической онтологии, сформулированных выше, можно привести и ряд сугубо (внутри)математических аргументов. Они связаны с тем, что развитие математики, особенно в ХХ веке, показало ограниченность формально-математического подхода. Сущностная абстрактность математического знания не позволяет дать полноценные ответы на все онтологические вопросы. Речь идет о так называемых (мета)теоремах об ограниченных возможностях формализмов. Самая известная из них – вторая теорема Гёделя о неполноте, согласно которой для достаточно богатых математических систем (содержащих формальную арифметику) невозможно доказать некоторую формулу, выразимую на языке данной теории, что в свете нашего обсуждения свидетельствует о принципиальной неполноте математических онтологий, их невозможности выступать в роли универсальной онтологии. Собственно это подтверждает кантовский тезис о том, что метафизика целиком, в частности, категории субстанции и причины, не могут быть формализованы посредством платоновского жеста, и что поэтому метафизику нельзя заменить полноценной математической онтологией.
Однако имеется и более серьезное возражение против возможности построения универсальной математической онтологии, связанное с теоремой Лёвенгейма-Сколема, которая указывает на то, что математические формализмы не могут полностью предопределить содержательные моменты онтологической модели: математическая онтология в силу своей абстрактности в принципе недоопределена и порождает не одну-единственную модель (resp. онтологию), а целое семейство моделей (resp. онтологий), причем разной мощности, неизоморфных. В этой связи Х. Патнем при философском осмыслении теоремы Лёвенгейма–Сколема обращает внимание на то, что, в частности, фраза «Вишня висит на дереве» может не только интерпретироваться стандартным образом как вишня, висящая на вишневое дереве, но и указывать, например, на кошку, сидящую на коврике (нестандартная интерпретация) При этом у нас нет однозначного критерия, какая из этих интерпретаций (resp. описаний мира): стандартная или нестандартная(-ые) — является истинной, т. е. соответствует фактическому положению дел в нашем мире[22].
Это означает, что [абстрактные] математические онтологии не только неполны (теорема Гёделя), но и недоопределены (теорема Лёвенгейма–Сколема), т. е. представляют собой, скорее, семейство (квази)онтологий, которые должны быть уточнены/конкретизированы посредством уже не математического («количество»), а физического («качество») и/или метафизического («сущность») жестов. Одной математики явно недостаточно для того, чтобы отличить, например, вишню от кошки, или утверждать, что в нашем мире не существует кентавров, а термин «висеть» обозначает действие предмета, а не сам предмет.
* * *
Подведем некоторый итог наших размышлений. Возможен ли платоновский жест в современной философии? Если его понимать как развитие математических онтологий, т. е. в духе тезиса, что «математика – это онтология», то выше мы привели ряд доводов, показывающих, что полноценная математическая онтология без физики и метафизики невозможна. Проведенный нами трансцендентальный анализ математического знания показывает, что математика выступает лишь в качестве мета-физики по отношению к естествознанию и поэтому вполне оправдан пафос А. Бадью и А. Чернякова, которые предлагают строить современную философию не на процедурах искусства (поэзии), политики или любви, а на науке, т. е. возродить платоновский жест в философии. Но из этого вовсе не следует, что философия должна превратиться в математику, или что математика будет заменять собой философскую онтологию. Математика как вторая философия не может стать первой философией, исследующей первые причины бытия, т. е. сущее как сущее.
Развитие формальных онтологий, т. е. реализация платоновского жеста, безусловное благо для философии (метафизики), ибо служит превращению последней «из [спекулятивной] алхимии в [научную] химию» (Кант), служит делу развития «философии как строгой науки» (Гуссерль), что является актуальным в эпоху софистического постмодерна с его тезисом о «смерти метафизики» и размыванием строгих критериев во всех областях человеческой культуры, в том числе и в деле отличения мысли от псевдомысли. Подобное привнесение математического в философию делает ее более точной и конструктивной.
Но это не отменяет необходимости [метафизической] онтологии и не позволяет говорить о полной замене метафизического математическим. Точнее, математическая (resp. формальная) онтология возможна как один из видов онтологии, как ее частный случай, наряду с другими, однако говорить о замене всех метафизических онтологий математическими является, по крайней мере, преждевременным. Для этого должен быть существенно изменен статус математики, она должна стать не физической, т. е. наукой, направленной на мир физических сущностей, – а метафизической, превратиться из второй философии в первую. Хотя надо признать, что подобная тенденция в развитии современной математики, начиная с конца ХIХ – начала ХХ вв., налицо; и связано это, как правильно подметил А. Бадью, с теорией множеств Кантора[23], которая выступает для «физической» математики в качестве метаматематики, некоторого базового метаязыка математический теорий.
В этой связи представляется чрезвычайно интересным приведенный программный тезис А. Чернякова о том, что мы, возможно, стоим на пороге конституирования новой первой философии, на пороге создания некоей математической философии или философской математики (заметим, что этот тезис следует отличать от более радикального тезиса «математика – это онтология»). Возможен ли подобный черняковский жест? На этот вопрос можно дать осторожный положительный ответ. Возможность платоно-черняковского жеста можно связать с конструкцией четырехчастного отрезка из кн. 6 платоновского «Государства»[24]. В этой конструкции Платон помещает математику в область умопостигаемого, между чувственной физикой (область веры/мнения) и идеальной метафизикой (областью «беспредпосылочного начала»/диалектики), хотя и приписывает ей направленность в область чувственно-постигаемой физики. Если трактовать платоновскую конструкцию как геометрический отрезок, то можно помыслить интенцию современной математики вверх-к-метафизике как переход к абстракциям более высокого типа, каковым является, например, теория множеств или теория категорий, а метафизики вниз-к-математике как переход от неоплатонической метафизики Единого («беспредпосылочного начала») к метафизике Множественного (что, собственно, и осуществляет Бадью в своей концепции из «Бытия и события»). В этом двойном движении математика становится более мета-физичной, а метафизика – с необходимостью математичной (вследствие того, что Многое, в отличие от Единого, имеет некоторую онтологическую структуру и [математические] отношения между разными элементами Многого, т. е. предполагает некую математику). Тем самым математика может рассматривать как необходимый компонент любой плюралистичной онтологии: онтология Многого существенно математична.
[1] Математика как формальная онтология //Философия математики: актуальные проблемы. Материалы международной научной конференции 15–16 июня 2007. М.: 2007. С. 87–89.
[2] Вот «программное» заявление А. Чернякова о его «интенции создать новый предмет исследования, который не будет ни философией, ни математикой, но, в каком-то смысле, и тем и другим. Он будет посвящен все тем же вопросам: что значит сущее, «реальность», сознание и т. д.? Но для постановки этих вопросов, и, возможно, поиска ответов математика будет (по замыслу) использоваться не как аналогия или метафора, а как собственный язык (logos oikeios, по Аристотелю)» [форум ВРФШ, пост http://*****/f/topic. php? id=22#post-72].
[3] Онтология как математика: Гуссерль, Бадью, Плотин //Сущность и слово. Сборник научных статей к юбилею проф. . М.: Феноменология-герменевтика, 2009. С. 414.
[4] Критика чистого разума. М.: Мысль, 1994. Далее ссылки на текст будут обозначаться: [КЧР, стр.].
[5] Заметим, что платоновский миф о пещере (кн. 7 «Государства») является иллюстрацией к этой концепции.
[6] Метафизические начала естествознания // Сочинения в 8 т. Т. 4. М.: Чоро, 1994. С. 58.
[7] «Математические дефиниции создают само [математическое] понятие [, содержащее в себе произвольный синтез, который может быть сконструирован a priori (в созерцании)]» [КЧР, 432].
[8] Формально принцип абстракции может быть записан так: (α) (β) [(∑(α) = ∑(β)) ↔ (α ≈ β)], где ∑(α)/∑(β) обозначают вновь вводимые абстрактные объекты в метаязыке (∑). Например, ∑(α) может означать новую абстракцию D(α) — «направление (прямой)», которая «получена» на основе понятийной конструкции более низкого уровня: «прямая α параллельна прямой β»: D(α) = D(β) ↔ прямая α параллельна прямой β (Г. Фреге Основоположения арифметики, § 64).
[9] См. другие подобные примеры: [КЧР, 423–430; 124–125; 103, 112 и др.].
[10] Кантовской концепции математики посвящены наши статьи: Л. Моделирование рассуждений в математике: трансцендентальный подход //Модели рассуждений – 1: Логика и аргументация. Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2007. С. 63–90; Трансцендентальная философия математики //Вестник Московского университета. Серия 7 «Философия», № 2, 2008. М: Изд-во МГУ им. , 2008. С. 88–106.); О (концепте) числе(а): его онтологии и генезисе //Число (ред. ). М.: МАКС Пресс, 2009. С. 116–133. Там мы определяем кантовскую концепцию как трансцендентальный конструктивизм (ср. с математическим интуиционизмом.
[11] Заметим, что примером подобного действия является одно из ключевых понятий концепции А. Бадью – «счет-за-одно».
[12] Hellman G. Mathematics Without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation, 1989.
[13] Field H. Realism, Mathematics and Modality. 1989.
[14] Linsky В., Zalta E. Naturalized Platonism versus Platonized Naturalism //Journal of Philosophy, 1995, V. — XCII, № 10, pp. 525 – 555.
[15] Shapiro S. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. 1997.
[16] Идеологом данного подхода в 70-е годы ХХ в. выступил П. Бенацерраф, автор известной статьи «Чем числа не могут быть» (Benacerraf P. What Numbers Could not Be, 1965).
[17] Field H. Science without Numbers: a Defense of Nominalism. 1980; Hellman G. Structuralism without Structures. 1996; Burgess J., Rosen G. A Subject with No Object., 1999.
[18] Katrechko Serguei. Ding-Ontology of Aristotle vs. Sachverhalt-Ontology of Wittgenstein //Papers of the 31st International Wittgenstein Symposium (Band XVI). — Kirchberg am Wessel (Austria), 2008, pp. 169 – 172.
[19] Трансцендентальный метод и проблема онтологии //Современная онтология — IV. Проблема метода. — СПб.: СПбГУ, ИТМО, 2010. — Т. 2. — C. 43 – 63.
[20] Одним из лейтмотивов последнего труда Канта «Opus postumum» выступает критика названия труда Ньютона «Математические начала натуральной философии», поскольку у физики могут быть только метафизические первоначала (ср. с названием работы Канта «Метафизические начала естествознания»).
[21] Новая система природы и общения между субстанциями, а также о связи, существующей между душой и телом // Соч. в 4 тт. Т. 1. М.: Мысль, 1982. С. 272 (и сноска № 2 на с. 591).
[22] Мы излагаем a la кантианскую концепцию «внутреннего реализма» Х. Патнема по книге: Хакинг Ян. Представление и вмешательство. М.: Логос, 1998. С. 105–124. Ср. с отмеченной выше абстрактностью (недоопределенностью) математических объектов, получившей в литературе название проблемы Юлия Цезаря и состоящей в том, что референтом некоторого числа в принципе может быть и Юлий Цезарь (Г. Фреге Основоположения арифметики, § 56).
[23] В настоящее время можно говорить о продолжении этой интенции в сверхабстрактной теории категорий.
[24] Этим платоновский жест А. Чернякова будет отличаться от платоновского жеста А. Бадью, который строит свою математическую онтологию на базе гипотез платоновского «Парменида».
