Операции над матрицами

ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ №3

ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ

Пример 1. Найти произведение матриц А∙В и В∙А, если

А=, В=.

Решение.

Найдём произведение матриц А∙В. Оно существует, т. к количество столбцов матрицы А (оно равно 4) совпадает с количеством строк матрицы В (оно равно 4). Матрица С=А∙В будет состоять из двух строк и двух столбцов.

Найдём произведение матриц В∙А. Оно существует, т. к количество столбцов матрицы В (оно равно 2) совпадает с количеством строк матрицы А (оно равно 2). Матрица D=В∙А будет состоять из четырёх строк и четырёх столбцов.

Пример 2. Найти матрицу, обратную матрице А=.

Решение.

1 способ: Находим определитель матрицы А, ∆=detA=–3. Так как ∆≠0, то обратная матрица существует.

Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A в определителе ∆. Напоминаем, что алгебраическое дополнение элемента aij находится по формуле Aij=(‑1)i+jMij.

Для элементов матрицы A получаем:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Составим обратную матрицу

.

Проверка: .

2 способ: Найдём А-1 с помощью элементарных преобразований над строками матрицы.

Переход от первой матрицы ко второй получен перестановкой первой и третьей строк. Переход от второй матрицы к третьей получен умножением второй строки на (‑1) и сложением с первой строкой. Переход от третьей матрицы к четвёртой получен умножением третьей строки на 3 и сложением с первой строкой и умножением третьей строки на (–2) и сложением со второй строкой. Пятая матрица получена делением обеих частей второй строки на 3. Таким образом, полученная справа матрица является обратной к данной.

Выражения AXB=C, AX=B, XA=B, где A, B, C – матрицы и X – неизвестная матрица, называются матричными уравнениями.

Если матрица A невырожденная, то уравнения AX=B, XA=B имеют единственное решение, соответственно X=A-1B и X=BA-1. Если матрица A – вырожденная, то принимаем элементы матрица X за неизвестные, вычисляем произведение и приравниваем соответствующие элементы матриц левой и правой части уравнения.

Пример 3. Решить матричное уравнение

.

Решение. Так как , то матричное уравнение имеет единственное решение . Находим обратную матрицу для матрицы .

A11=2, A12=-3, A21=-1, A22=2,

поэтому ,.

Проверка: , .

Получаем ответ: .

Пример 4. Найти все решения уравнения

.

Решение. Для матрицы обратная матрица не существует. Запишем искомую матрицу в виде . Тогда данное уравнение примет вид:

или .

Откуда получаем систему уравнений

Для нахождения ее решения достаточно найти решение системы

Эта система имеет бесчисленное множество решений:

, где x3, x4 – любые числа.

Ответ: Данному уравнению удовлетворяет бесчисленное множество матриц вида , где x3, x4 – любые числа.

ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

Вариант 1

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все матрицы второго порядка, произведение которых на транспонированную матрицу равно единичной матрице.

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 2

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все решения матричного уравнения

.

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 3

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 4

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все решения матричного уравнения

.

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 5

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все решения матричного уравнения

.

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 6

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все решения матричного уравнения

.

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 7

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 8

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все решения матричного уравнения

.

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 9

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны единичной матрице.

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 10

1.  Решить матричное уравнение.

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 11

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 12

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все матрицы второго порядка, квадраты которых равны нулевой матрице.

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 13

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 14

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все решения матричного уравнения

.

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса:

Вариант 15

1.  Решить матричное уравнение .

2.  Найти обратную матрицу для матрицы .

3.  Найти все решения матричного уравнения

.

4.  Решить систему по правилу Крамера, матричным методом и методом Гаусса: