Исследовательская работа на тему: «Линейные уравнения с параметром»

Научно-практическая конференция

« Первые шаги в науку»

Исследовательская работа

на тему:

«Линейные уравнения с параметром»

МАТЕМАТИКА

Работу выполнил Савченков Денис

ученик 8 б класса

МБОУ «Центр образования» г. Брянска

Научный руководитель

Содержание

1.  Задачи исследовательской работы

2.  Введение

3.  Линейные уравнения

4.  Примеры решения уравнений

5.  Заключение

Задачи

1.  Научиться решать линейные уравнения с параметрами, чтобы отработать навыки решения уравнений.

2.  Исследовать некоторые методы решения уравнений с параметрами.

3.  Познакомиться со специфическими преобразованиями, которые исполь-зуются в уравнениях; уметь строить логическую цепочку рассуждений.

Введение

Из истории возникновения уравнений.

Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений и неравенств. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых действий, произведенных над искомыми и данными величинами. Такие задачи сводятся к решению одного или системы нескольких уравнений, к нахождению искомых с помощью алгебраических действий над данными величинами. В алгебре изучаются общие свойства действий над величинами.

Некоторые алгебраические приемы решения линейных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.

Линейное уравнение с параметром

Если в уравнение или неравенство, кроме неизвестных, входят числа, обозначенные буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство - параметрическим.

Рассмотрим подробнее линейные уравнения с параметрами.

Параметр -это переменная величина, которая в процессе решения уравнения (задачи) считают фиксированной и относительно которой проводится анализ полученного решения.

Решить уравнение с параметром - это значит для каждого значения параметра найти значение неизвестной переменной, удовлетворяющее этому уравнению.

Задачи с параметром можно условно разделить на два типа:

а) в условии сказано: решить уравнение – это значит, для всех значений параметра найти все решения. Если хотя бы один случай остался неисследованным, признать такое решение удовлетворительным нельзя.

б) требуется указать возможные значения параметра, при которых уравнение обладает определенными свойствами. Например, имеет одно решение, не имеет решений, имеет решения, принадлежащие промежутку и т. д. В таких заданиях необходимо четко указать, при каком значении параметра требуемое условие выполняется.

Параметр, являясь неизвестным фиксированным числом, имеет как бы особую двойственность. В первую очередь, необходимо учитывать, что предполагаемая известность говорит о том, что параметр необходимо воспринимать как число. Во вторую очередь, свобода обращения с параметром ограничивается его неизвестностью. Так, например, операции деления на выражение, в котором присутствует параметр или извлечения корня четной степени из подобного выражения требуют предварительных исследований. Поэтому необходима аккуратность в обращении с параметром.

Если параметру, содержащемуся в уравнении, придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:

1)  получится уравнение, содержащее лишь данные числа и неизвестные и не содержащее параметров;

2)  получится условие, лишенное смысла.

В первом случае значение параметра называется допустимым, во втором - недопустимым.

Пусть дано уравнение kx = b. Это уравнение – краткая запись бесконечного множества уравнений с одной переменной.

При решении таких уравнений могут быть случаи:

1. Пусть k – любое действительное число не равное нулю и b – любое число из R, тогда x = b/k.

2. Пусть k = 0 и b ≠ 0, исходное уравнение примет вид 0 · x = b. Очевидно, что у такого уравнения решений нет.

3. Пусть k и b числа, равные нулю, тогда имеем равенство 0 · x = 0. Его решение – любое действительное число.

Любое линейное уравнение с параметрами элементарными преобразованиями может быть приведено к виду Ах=В, где Аи В – некоторые выражения, хотя бы одно из которых содержит параметр и  исследуется по схеме:

Алгоритм решения такого типа уравнений:

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно х при тех значениях параметра, которые были определены в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно х при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

4. Записать ответ можно в следующем виде:

Ответ:

1) при … (значения параметра), уравнение имеет корни …;

2) при … (значения параметра), в уравнении корней нет.

Примеры решения уравнений

Рассмотрим следующие примеры.

Пример 1.

Решить уравнение:

(а2 – 1)х = а + 1.

Решение. Рассмотрим случаи:

1) а = 1, тогда уравнение принимает вид 0х = 2 и не имеет решений;

2) а = -1,получаем 0х = 0, очевидно х – любое;

3) а ≠ ± 1; имеем х = .

Ответ: Если а = - 1, то х – любое; если а = 1, то нет решений; если а ≠ ± 1, то х = .

Пример 2

Решить уравнение:

 

Решение.

После преобразования получаем равносильное данному уравнение

.

1.  Если , т. е  и , то

2.  Если , т. е  или , то: 1) при , получается уравнение  , которое корней не имеет; 2) при  , получается уравнение , корнем которого является любое число.

Ответ: 1)  и , ;

2) , нет корней;

3) ,  - любое число.

Пример 3

Решить уравнение:

Решение.

После преобразования получаем равносильное данному уравнение:

.

1.  Если , то 

2.  Если , т. е. , то нет корней

Ответ: Если , то ;

Если , т. е , то нет корней

Пример 4

Решить уравнение:

  (1)

Решение.

После преобразования получаем равносильное данному уравнение:

, ,

1.  Если  и , то получаем ;

2.  Если , то , следовательно, уравнение (1) не имеет решения;

3.  Если , то получаем , т. е. , значит  - любое;

Ответ: 1)  и , ;

2) , нет корней;

3) ,  - любое.

Пример 5.

Решить уравнение

2а•(а-2)•х = а

Решение.

Рассмотрим случаи:

1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0•х=2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0•х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 уравнение соответствует третьему типу откуда х ==.

0твет: 1) если а=0, то корней нет;

2) если а=2, то х — любое действительное число;

3) если а≠0, а≠2 , то х = .

Пример 6

Решить уравнение:

 

Решение.

Преобразуем данное уравнение: ;

;

;

1.  Если , т. е. , то ;

2.  Если , то ;

;

, нет корней.

Ответ: 1) , ;

2) , нет корней.

Пример 7

Решить уравнение: (a2-1)x = a2-3a+2.

Решение. Это уравнение является линейным относительно переменной x, значит, здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при x обращается в 0. То есть рассмотрим случаи a2-1=0 и a2-10 (удобнее разложить обе части уравнения на множители, привести к виду

(a-1)(a+1)x = (a-1)(a-2)

При a = 1 заданное уравнение принимает вид 0*x=0, значит x-любое действительное число.

При а = -1 заданное уравнение принимает вид 0*х=6, значит корней нет.

При а 1 можно разделить обе части уравнения на а2-10:

х =

х =

Ответ: при а = 1, х – любое действительное число; при а = -1 нет корней; при а 1, х =

Рассмотрим некоторые уравнения, приводимые к линейным уравнениям. Увидеть при первом взгляде на уравнение, что его можно привести к линейному уравнению, нельзя. После преобразований появляется уравнение, которое не имеет переменных в степенях выше первой.

Пример 8

Решите уравнение:

Решение. Так как знаменатель дроби не может равняться нулю, имеем (b-1)(x+3)0, то есть b1, x-3.

Умножив обе части уравнения на (b-1)(x+3)0, получаем уравнение:

3bx-5+(3b-11)(x+3) = (2x+7)(b-1),

(4b – 9)x = 31-2b.

Это уравнение является линейным относительно переменной х.

При 4b-9=0, то есть b=2,25 уравнение принимает вид:0*х = 26,5.

При 4b-90, то есть b2,25 корень уравнения х =

Теперь надо проверить, нет ли таких значений b, при которых найденное значение x равно -3.

Таким образом, при b1, b2,25, b-0,4 уравнение имеет единственный корень x =

Ответ: при b1, b2,25, b-0,4 х =; при b = 2,25, b = -0,4 решений нет; при b = 1 уравнение не имеет смысла.

Пример 9

При каких значениях а уравнение (а2-1)х=а+1
а) не имеет решений; б) имеет бесконечное множество решений; в) имеет единственный корень.
Решение:
а) данное уравнение не имеет решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю, а выражение, стоящее в правой части уравнения не обращается в нуль, то есть 
При а=1 уравнение не имеет решений.
б) данное уравнение имеет бесконечное множество решений в том случае, если коэффициент при х равен нулю и выражение, стоящее в правой части уравнения, обращается в нуль, то есть 
При а=-1 уравнение имеет бесконечное множество решений.
в) уравнение имеет единственное решение, при а2-1≠0, то есть (а-1)(а+1)≠0, т. е. а≠±1.
Ответ:

1.  Уравнение не имеет решений, при а=1.

2.  Уравнение имеет бесконечное множество решений, при а=-1.

3.  Уравнение имеет единственный корень, при а≠±1.

Пример 10.

 Решить уравнение относительно х

(а-1)х+2=а+1.

Решение. Запишем уравнение в стандартном виде (а-1)х=а-1.

1.  Если а-1=0, т. е. а=1, то уравнение примет вид 0х=0, т. е. х – любое число.

2.  Если а-1≠0, т. е. а≠1, то х=1.

Ответ:
при а=1, х – любое число; при а≠1, х=1.

Пример 11. 

 При всех значениях параметра а решить уравнение: 

 |х + 3| - a|x – 1| = 4.

Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:

1)  , если . 

Найденный будет решением, если .

 2)  , если .

Найденный  удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при . Если же 

 , то решением является любой  .

 3)  , если .

Найденный  не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при . Если же 

 , то решением является любой  .

Ответ:   при ;  при ; 

при ;   является также решением при всех .

Пример 12.

 Решить уравнение

  a2x - 1 = x + a

Решение:  После элементарных преобразований получим:

a2x - 1 = x + a ; a2x - x = a + 1  ; x(a2 - 1) = a + 1.

Отсюда:

1.  если a2-1 ≠ 0, то есть a ≠ ±1, то  или 

2.  если a = 1, то уравнение примет вид 0·x = 2 и, следовательно, не имеет решений;

3.  если a = -1, то уравнение примет вид 0·x = 0, и, следовательно, любое действительное число является решением этого уравнения.

Ответ:  если  a ≠ ±1, то  или 

если a = 1, то уравнение не имеет решений;

если a = -1, то любое действительное число является решением этого уравнения.

Заключение

Огромную роль играют задачи с параметрами в формировании логического мышления, математической культуры, развития исследовательских навыков. Поэтому, владея методами решения задач с параметрами, можно успешно справиться и с другими задачами. Повышается интерес к предмету, ориентация на подготовку продолжения образования по избранному предмету. А в повседневной жизни каждый из нас ежедневно и постоянно решает задачи с несколькими параметрами, и от умения быстро и логически верно просчитывать ходы, решать жизненные задачи, суметь увидеть и не упустить важный шанс в жизни зависит наша судьба.

Литература

1.  , ,  Методы решения задач с параметрами. Математика для старшеклассников. Минск: «Аверсэв», 2003.

2.  ,  Уравнения и неравенства с параметрами. Чебоксары: Изд-во Чувашского университета,  2004.

3.  Никонов . Самара – 1998.

4.  Родионов задач с параметрами. М.: МП «Русь-90»,1995

5.  , Духон  уравнения и неравенства с параметром. Пособие для учащихся старших классов. М., 2005.

6.   Задачи с параметром: Линейные уравнения и их системы. /Серия «Математика. Проверь себя». М.: слово – учебная книга», 2003.