Календарный план занятий по дисциплине “Математический анализ 1”

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Озерский технологический институт – филиал НИЯУ МИФИ

Кафедра высшей математики

КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН

занятий по дисциплине

“Математический анализ 1”

на осенний семестр 2013/2014 учебного года

для группы 1ПО-13Д

Лекции - 36 час.

Практические занятия - 36 час.

Форма отчетности - зачет

Акопян

Зав. кафедрой

2013 г.

1. Лекции.

Лекция 1.

Элементы математической логики. Элементы теории множеств.

Лекция 2.

Действительные числа. Свойства действительных чисел. Рациональные и иррациональные числа. Счетность множества рациональных чисел и несчетность множества иррациональных чисел.

Лекция 3.

Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра.

Лекция 4.

Последовательность и ее предел. Единственность предела сходящейся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Монотонные последовательности. Существование предела у монотонной ограниченней последовательности. Число е.

Лекция 5.

Лемма о последовательности стягивающихся отрезков. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Понятие верхнего и нижнего предела последовательности. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши существования предела. Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности. Арифметические операции над последовательностями комплексных чисел. Свойства сходящихся последовательностей.

Лекция 6.

Функция, ее области определения и значения. Способы задания функций (в частности: неявное и параметрическое задание функций). Арифметические действия над функциями, сложная и обратная функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Ограниченные функции, точные верхняя и нижняя грани функции на множестве.

Лекция 7.

Предел функции в точке. Эквивалентность 2-х определений предела функции в точке. Понятия об односторонних пределах. Критерий Коши существования предела функции. Свойства пределов функции (единственность предела, предел модуля функции, арифметические свойства пределов, локальная ограниченность функции, сохранение знака, предельный переход в неравенствах, теорема о пределе 3-х функций, предел сложной функции).

Лекция 8.

Бесконечно большая и бесконечно малая функции. Сравнение бесконечно большой и бесконечно малой функций. О-символика. Специальные пределы.

Лекция 9.

Непрерывность функции в точке и на множестве. Различные определения непрерывности. Свойства непрерывных функций (арифметические, сохранение знака). Непрерывность сложной функции. Точки разрыва функции и их классификация.

Лекция 10.

Теорема Вейерштрасса об ограниченности и достижении точных граней на отрезке. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.

Лекция 11.

Понятие производной. Односторонние производные. Дифференцируемость функции,

ее дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Уравнение касательной и нормали к графику функции, геометрический смысл производной и дифференциала.

Лекция 12.

Непрерывность функции, имеющей производную. Производная и дифференциал сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций. Производные функций, заданных параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

Лекция 13.

Локальный экстремум. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа о конечных приращениях. Теорема Коши о конечных приращениях.

Лекция 14.

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Лекция 15.

Формула Тейлора. Единственность коэффициентов разложения в формуле Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа и Коши. Формулы Тейлора (Маклорена) для основных элементарных функций ехр х, sin x, cos х, lп(1+х), (1+х)α, sh х, ch x. Вычисление некоторых пределов с помощью формулы Тейлора. Выделение главной

части.

Лекция 16-17.

Условия постоянства и монотонности функций на отрезке. Эктремумы функции. Стационарные точки. Необходимое условия экстремума функции, имеющей производную. Достаточные условия экстремума функции (исследование по первой и высшим производным). Выпуклые функции, условия выпуклости функций. Точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема построения графика функции.

Лекции 18.

Векторная функция скалярного аргумента. Операция над вектор-функцией, непрерывность, дифференцируемость. Правила дифференцирования (произведение скалярной функции на векторную, векторное и скалярное произведения).

Параметрические уравнения кривой на плоскости и в пространстве. Винтовая линия. Функции, заданные параметрически, их дифференцирование.

Понятие гладкой кривой. Длина дуги, дифференциал дуги. Понятие кривизны. Центр кривизны, радиус кривизны плоской кривой. Эволюта и эвольвента.

2. Практические занятия.

1.  Элементы теории действительного числа.

2-3. Комплексные числа. Действия над ними. Контрольная работа.

4-5. Вычисление пределов последовательностей. Контрольная работа.

6-7. Элементарные функции и их графики.

8-9. Вычисление пределов функции. Ο-символика. Контрольная работа.

10. Непрерывность функции в точке.

11-12. Вычисление производных. Контрольная работа.

13. Правило Лопиталя.

14-15. Формула Тейлора и её использование.

16-17. Полное исследование функций и построение графиков.

18. Элементы теории кривых.

3. Список литературы.

3.1. Основная литература.

1.  Шипачев математика. М., Высшая школа, 2001

2.  , Поздняк мат. анализа (т.1,2). М., Наука, 2005, 1980.

3.  Демидович задач и упражнений по математическому анализу. М., Наука, 2002, 1968.

4.  Исследование функций и построение графиков. Озерск, ОТИ МИФИ, 1998, 2010.

5.  Формула Тейлора и ее приложения. Озерск, ОТИ МИФИ, 2007.

6.  : “Краткий курс теории аналитических функций”, М., Наука, 1969.

7.  «Сборник задач по высшей математике». М., Высшая школа, 2005, 1983.

8.  Дифференциальное исчисление функции многих переменных. Озёрск, ОТИ МИФИ, 2004.

3.2. Дополнительная литература.

1.  Демидович задач и упражнений по математическому анализу, М., Наука, 1990.

2.  Никольский математического анализа, М., Наука, 1983.

3.  Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления Т.1. М., Наука, 1966.

4.  : “Теории аналитических функций”, М., Наука, 1967.

5.  , В., И.: “Лекции по ТФКП”, М., Наука, 1978.

6.  , , : “Сборник задач по ТФКП”, М., Наука, 1975.

7.  Сборник заданий по специальным курсам высшей математики. М., Высшая школа, 1984

8.  , , Головач пособие по высшей математике, М., 1995.

4. Индивидуальные домашние задания.

№	Название задания	Номера заданий	Срок выдачи	Срок сдачи
1.	Предел последовательности.	«Сборник заданий по математическому анализу» (предел последовательности) Задачи 1-14	1-я неделя	5-я неделя
2.	Предел функции одной независимой переменной в точке	Кузнецов заданий по высшей математике (типовые расчеты). Раздел I “Пределы”. Задачи 7-20.	1-я неделя	8-я неделя
3.	Дифференцируемость функции одной независимой переменной в точке.	Кузнецов заданий по высшей математике (типовые расчеты). Раздел II “Дифференцирование”. Задачи 1-20. «Сборник заданий по математическому анализу» (формула Тейлора и ее использование) Задачи 1-5	1-я неделя	15-я неделя
4.	Исследование функций и построение графиков.	«Исследование функций и построение графиков» Расчетное задание №1 Расчетное задание №2	1-я неделя	17-я неделя

5. Контрольные работы.

1.  Комплексные числа.

2.  Предел последовательности.

3.  Предел функции одной независимой переменной в точке.

4.  Дифференцируемость функции одной независимой переменной в точке.

6. Вопросы к зачету.

1.  Понятие предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей

2.  Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Теорема.

3.  Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Непера.

4.  Подпоследовательности. Терема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности. Частичные пределы последовательности.

5.  Лемма о вложенных отрезках.

6.  Теорема Больцано-Вейерштрасса.

7.  Критерий Коши сходимости последовательности к конечному вещественному числу.

8.  Элементарные функции, их свойства, графики.

9.  Определение предела функции в точке по Коши и по Гейне. Теорема об эквивалентности этих определений.

10. Критерий Коши существования предела функции в точке.

11. Ограниченность функции, имеющей предел в точке.

12. Неравенство между пределами двух функций.

13. Принцип можарирующих функций.

14.  Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке (сумма, разность, произведение, частное).

15. Сравнение функций. Символы о, О.

16. Эквивалентные функции. Необходимое и достаточное условие эквивалентности функции.

17. Свойства функций, непрерывных в точке.

18. Классификация точек разрыва.

19. Первая теорема Вейерштрасса.

20. Вторая теорема Вейерштрасса.

21. Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях.

22. Производная функции в точке. Дифференцируемость функции в точке.

23. Лемма о необходимых и достаточных условиях существования производной функции.

24. Теорема о связи дифференцирования с непрерывностью в точке.

25. Теорема об основных правилах дифференцирования.

26. Дифференцируемость сложной функции.

27. Производная обратной функции.

28. Дифференциал функции в точке. Геометрический смысл.

29. Инвариантность формы 1-го дифференциала относительно замены переменной.

30. Производные порядка выше первого. Общие правила вычисления производных.

31. Формула Лейбница.

32. Дифференциалы высших порядков.

33. Теорема Ферма.

34. Терема Ролля.

35. Теорема Коши.

36. Теорема Лагранжа. Следствия.

37. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

38. Формула Тейлора для многочлена.

39. Формула Тейлора для функции. Теорема Пеано. Остаточный член в форме Пеано.

40. Остаточный член в форме Лагранжа и Коши.

41. Разложение в окрестности нуля.

42.  Монотонность функции одной независимой переменной. Достаточное условие монотонности. Критерий монотонности.

43.  Экстремум функции одной независимой переменной. Достаточное условие экстремума в терминах 1-ой производной.

44.  Экстремум функции одной независимой переменной. Достаточное условие экстремума в терминах 2-ой производной.

45.  Экстремум функции одной независимой переменной. Достаточное условие экстремума в терминах старших производных.

46.  Наименьшее и наибольшее значения функции непрерывной на отрезке.

47.  Выпуклость. Достаточное условие выпуклости.

48.  Точка перегиба. Необходимое условие перегиба.

49.  Точка перегиба. Достаточное условие перегиба.

50.  Точка перегиба. Достаточное условие перегиба в терминах старших производных.

51.  Вертикальная асимптота. Наклонная асимптота. Необходимое и достаточное условия существования наклонной асимптоты.