федеральное агентство по образованию
Северо-Кавказский горно-металлургический институт
(государственный технологический университет)
Кафедра высшей математики
Методические указания
и
типовой расчет
по теме:
«Ряды Фурье»
(для студентов факультета электронной техники)
Владикавказ 2012
Данное методическое пособие состоит из двух частей:
1. варианты индивидуальных заданий,
2. решение типового варианта с необходимыми указаниями и пояснениями.
Типовой расчет составлен в соответствии с программой по высшей математике для студентов факультета электронной техники. При изучении материала по теме: «Ряды Фурье» студентам необходимо выполнить 6 заданий, каждое из которых в данном пособии представлено в 25 вариантах.
С о с т а в и т е л ь:
Заказ № . Тираж 100 экз. Объем 1,57 усл. п. л.
Издательство «Терек». Подразделение оперативной полиграфии СКГТУ.
4.
 |
I. Варианты индивидуальных заданий
Задание 1.
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π) функцию f(х), заданную на отрезке [-π ; π].
1.1. 
1.2. 
1.3. 
1.4. 
1.5. 
1.6. 
1.7. 
1.8. 
1.9. 
1.10. 
1.11. 
1.12. 
1.13. 
1.14. 
1.15. 
1.16. 
1.17. 
1.18. 
1.19. 
1.20. 
1.21. 
1.22. 
1.23. 
1.24. 
1.25. 
Задание 2
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 
) функцию f(х), заданную на отрезке [-
; ].
2.1. 
, [-3; 3]; T = 6.
2.2. 
, [-2; 2]; T = 4.
2.3. 
, [-1; 1]; T = 2.
2.4. 
, [-3; 3]; T = 6.
2.5. 
, [-1/2; 1/2]; T = 1.
2.6. 
, [-1; 1]; T = 2.
2.7. 
, [-2; 2]; T = 4.
2.8. 
, [-4; 4]; T = 8.
2.9. 
, [-3; 3]; T = 6.
2.10. 
, [-2; 2]; T = 4.
2.11. 
, [-1; 1]; T = 2.
2.12. 
, [-2; 2]; T = 4.
2.13. 
, [-2; 2]; T = 4.
2.14. 
, [-3; 3]; T = 6.
2.15. 
, [-1; 1]; T = 2.
2.16. 
, [-4; 4]; T = 8.
2.17. 
, [-4; 4]; T = 8.
2.18. 
, [-1; 1]; T = 2.
2.19. 
, [-3/4; 3/4]; T = 1.5.
2.20. 
, [-4; 4]; T = 8.
2.21. 
, [-3; 3]; T = 6.
2.22. 
, [-2; 2]; T = 4.
2.23. 
, [-3; 3]; T = 6.
2.24. 
, [-3; 3]; T = 6.
2.25. 
, [-2; 2]; T = 4.
Задание 3.
На заданном отрезке разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(х).
3.1. 
, [-π; π ]; T = 2π.
3.2. 
, [-π; π ]; T = 2π.
3.3. 
, [-2; 2]; T = 4.
3.4. 
, [-3; 3]; T = 6.
3.5. 
, T = 2π.
3.6. 
, [-2; 2]; T = 4.
3.7. 
, [-4; 4]; T = 8.
3.8. 
, [-1; 1]; T = 2.
3.9. 
, [-1/2; 1/2]; T = 1.
3.10. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.11. 
, [-2; 2]; T = 4.
3.12. 
, [-3; 3]; T = 6.
3.13. 
, [-1; 1]; T = 2.
3.14. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.15. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.16. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.17. 
, [-1; 1]; T = 2.
3.18. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.19. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.20. 
, [-3; 3]; T = 6.
3.21. 
, [-1; 1]; T = 2.
3.22. 
, [-π; π]; T = 2π.
3.23. 
, [-2; 2]; T = 4.
3.24. 
, [-2; 2]; T = 4.
3.25. 
, [-π; π]; T = 2π.
Задание 4.
Разложить в ряд Фурье функцию f(х), заданную на полупериоде [0; ], продолжив (доопределив) ее четным и нечетным образом.
Построить графики функций.
4.1. 
4.2. 
, [0; π].
4.3. 
4.4. 
, [0; 3].
4.5. 
4.6. 
, [0; π].
4.7. 
4.8. 
4.9. 
, [0; 5].
4.10. 
, [0; π].
4.11. 
4.12. 
4.13. 
, [0; 2].
4.14. 
, [0; π].
4.15. 
4.16. 
4.17. 
4.18. 
, [0; π].
4.19. 
4.20. 
, [0; 2].
4.21. 
4.22. , [0; π].
4.23. 
, [0; π].
4.24. 
4.25. 
Задание 5.
Разложить в ряд Фурье функцию, заданную графиками
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10.
5.11.
5.12.
5.13.
5.14.
5.15.
5.16.
5.17.
5.18.
5.19.
5.20.
5.21.
5.22.
5.23.
5.24.
5.25.
Задание 6.
Представить комплексной формой ряда Фурье функцию f(х) периода , заданную на указанном интервале.
6.1. 
, (-3; 3), T = 2.
6.2. 
, T = π.
6.3. 
, (-π/4; π/4), T = π/2.
6.4. 
, [-π; π], T =2π .
6.5. 
, (-π/2; π/2), T = π.
6.6. 
, T = 2π.
6.7. 
, (-π; π), T =2π .
6.8. 
, [-2; 2], T =4 .
6.9. 
, (-π; π), T =2π .
6.10. 
, (-π/2; π/2), T = π.
6.11. 
, T = 4π.
6.12. 
, [-π; π], T =2π .
6.13. 
, (-π/2; π/2), T = π/2.
6.14. 
, (-1/2; 1/2), T = 1.
6.15. 
, (-2π;2π), T =4π .
6.16. 
, (-π; π), T =2π .
6.17. 
, (-π; π), T =2π .
6.18. 
T = 1.
6.19. 
, (-1/2; 1/2), T = 1.
6.20. 
T =π.
6.21. 
T =π.
6.22. 
, (-2π;2π), T =4π .
6.23. 
T =2.
6.24. 
T =π.
6.25. 
T =2.
II. Выполнение расчетного задания
Выполнение первого задания
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2π) функцию f(х), заданную на отрезке [-π ; π].
Решение.
Функция удовлетворяет условиям Дирихле, а поэтому разлагается в ряд Фурье. Найдём коэффициенты искомого ряда
.
Ответ: искомое разложение функции в ряд Фурье имеет вид
.
Выполнение второго задания
Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом Т = 2) функцию f(х), заданную на отрезке [-1; 1].
Решение.
Функция удовлетворяет условиям Дирихле, а поэтому разлагается в ряд Фурье, коэффициенты которого вычислим по известным формулам.
,
,
Ответ: 
.
Выполнение третьего задания
Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(х) =│x│, на отрезке [-2; 2].
Решение.
f(х) =│x│, непрерывная функция, удовлетворяющая условиям теоремы о разложимости, и, следовательно, разлагается в свой ряд Фурье. Она четная, поэтому разлагается в ряд Фурье только по косинусам, т. е. bn = 0.
Находим коэффициенты а0 и ап искомого ряда
,
Ответ: искомый ряд Фурье данной функции
.
Выполнение четвертого задания
Разложить в ряд Фурье функцию 
, заданную на полупериоде [0; 2], продолжив (доопределив) её четным и нечетным образом. Построить графики функций.
Решение.
1. Доопределим функцию f(x) на отрезке [-2; 0] четным образом
Для четной функции коэффициенты bn = 0, а коэффициенты an вычисляются по формулам
.
,
Тогда
.
2. Доопределим функцию f(x) на отрезке [-2; 0] нечетным образом
Для нечетной функции коэффициенты a0 = an = 0, находим коэффициенты bn.
.
Тогда
.
Ответ: 1. .
2. .
Выполнение пятого задания
Разложить в ряд Фурье функцию f(x), с периодом 4; график функции в интервале (-2; 2) изображён на чертеже
Решение.
Заданная функция нечетная с периодом 
, поэтому a0 = an = 0.
Ответ: 
.
Выполнение шестого задания
Представить рядом Фурье в комплексной форме функцию f(x) периода 2π, определённую условием
Решение.
Найдем коэффициенты Фурье в комплексной форме:
.
Так как функция f(x) удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье во всех точках непрерывности f(x), получим
.
Ответ: 
.
Литература
1. Конспект лекций по высшей математике. М. Айрис Пресс, 2004.
2. , , А. Сборник задач по высшей математике. М. Айрис Пресс, 2004.
3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. ч. 3 (под редакцией ). Минск, «Высшая школа», 1991.
