Календарный план занятий по дисциплине “Математика”

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» Озерский технологический институт – филиал НИЯУ МИФИ

Кафедра высшей математики

КАЛЕНДАРНЫЙ ПЛАН

занятий по дисциплине

“Математика”

(I семестр)

на осенний семестр 2013/2014учебного года

для группы 1ТМ-13Д

Лекции - 36 час.

Практические занятия - 36 час.

Форма отчетности - экзамен

Коневских

Зав. кафедрой

2013 г.

1. Лекции.

Элементы математической логики. Элементы теории множеств. Действительные числа. Свойства действительных чисел. Рациональные и иррациональные числа. Счетность множества рациональных чисел и несчетность множества иррациональных чисел. Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными числами. Формула Муавра. Последовательность и ее предел. Единственность предела сходящейся последовательности. Свойства сходящихся последовательностей (сходимость модуля, ограниченность, сохранение знака, предельный переход в неравенствах, теорема о трех последовательностях). Арифметические свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Монотонные последовательности. Существование предела у монотонной ограниченней последовательности. Число е. Лемма о последовательности стягивающихся отрезков. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Понятие верхнего и нижнего предела последовательности. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши существования предела. Последовательности комплексных чисел. Предел последовательности. Арифметические операции над последовательностями комплексных чисел. Свойства сходящихся последовательностей. Функция, ее области определения и значения. Способы задания функций (в частности: неявное и параметрическое задание функций). Арифметические действия над функциями, сложная и обратная функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Ограниченные функции, точные верхняя и нижняя грани функции на множестве. Предел функции в точке. Эквивалентность 2-х определений предела функции в точке. Понятия об односторонних пределах. Критерий Коши существования предела функции. Свойства пределов функции (единственность предела, предел модуля функции, арифметические свойства пределов, локальная ограниченность функции, сохранение знака, предельный переход в неравенствах, теорема о пределе 3-х функций, предел сложной функции).

Бесконечно большая и бесконечно малая функции. Сравнение бесконечно большой и бесконечно малой функций. О-символика. Специальные пределы.

Непрерывность функции в точке и на множестве. Различные определения непрерывности. Свойства непрерывных функций (арифметические, сохранение знака). Непрерывность сложной функции. Точки разрыва функции и их классификация.

Теорема Вейерштрасса об ограниченности и достижении точных граней на отрезке. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции. Монотонные функции.

Существование односторонних пределов у монотонной функции. Множество точек разрыва монотонной функции. Критерий непрерывности монотонной функции. Достаточные условия существования и непрерывности обратной функции. Понятие производной. Односторонние производные. Дифференцируемость функции,

ее дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости. Уравнение касательной и нормали к графику функции, геометрический смысл производной и дифференциала. Непрерывность функции, имеющей производную. Производная и дифференциал сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций. Производные функций, заданных параметрически. Производные и дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

Локальный экстремум. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа о конечных приращениях. Теорема Коши о конечных приращениях. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей. – 15. Формула Тейлора. Единственность коэффициентов разложения в формуле Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа и Коши. Формулы Тейлора (Маклорена) для основных элементарных функций ехр х, sin x, cos х, lп(1+х), (1+х)α, sh х, ch x. Вычисление некоторых пределов с помощью формулы Тейлора. Выделение главной части. Условия постоянства и монотонности функций на отрезке. Экстремумы функции. Стационарные точки. Необходимое условие экстремума функции, имеющей производную. Достаточные условия экстремума функции (исследование по первой и высшим производным). – 18. Выпуклые функции, условия выпуклости функций. Точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции. Общая схема построения графика функции.

2. Практические занятия.

1. Элементы математической логики. Метод математической индукции. Бином Ньютона.

2. Комплексные числа. Действия над ними.

3. Контрольная работа по теме «комплексные числа». Вычисление пределов последовательностей.

4-5. Вычисление пределов последовательностей.

6. Контрольная работа по теме «предел последовательности». Элементарные функции и их графики.

7-8. Вычисление пределов функции. Ο- символика. Контрольная работа по теме «предел функции в точке».

9. Непрерывность функции в точке.

10-11. Вычисление производных.

12 -14.Формула Тейлора.

15. Правило Лопиталя. Контрольная работа по теме «дифференцируемость функции».

16-18. Исследование функций. Построение графиков.

3. Список литературы.

3.1. Основная литература.

1.  Шипачев математика. Учеб. Для вузов. М., Высшая школа, 2001.

2.  Демидович задач и упражнений по математическому анализу. М., Наука, 2002

3.  Сборник задач под ред. и (Линейная алгебра и мат. анализ). М., Наука,1986.

4.  Кузнецов заданий по высшей математике (типовые расчеты), СПб, «Лань», 2005

5.  Ананьина Тейлора и её приложения. Озёрск, ОТИ МИФИ, 2007.

6.  Ананьина функций и построение графиков. Озёрск, ОТИ МИФИ, 2010.

3.2. Дополнительная литература.

1.  , , : “Высшая математика в упражнениях и задачах”, т.1,2, Москва, Высшая школа, 1986.

2.  Пискунов и интегральное исчисление для ВУЗов, Т.1,2, М., Наука, 1985.

3.  Никольский математического анализа”, т.1,2. М., Наука, 1988.

4.  Кудрявцев математического анализа. М., Высшая школа, 1973.

5.  Берман задач по курсу математического анализа, Москва: Наука, 1978

4. Индивидуальные домашние задания.

№	Название задания	Номера заданий	Срок выдачи	Срок сдачи
1.	Вычисление пределов последовательностей.	«Сборник заданий по математическому анализу» (предел последовательности) Задачи 1-14	Все задания выдаются на первом занятии	5 неделя
Вычисление пределов функций.	Кузнецов заданий по высшей математике (типовые расчеты). Раздел I “Пределы”. Задачи 7-20.	8 неделя
2.	Вычисление производных. Формула Тейлора.	Кузнецов заданий по высшей математике (типовые расчеты). Раздел II “Дифференцирование.”. Задачи 1-20. Ананьина Тейлора и её приложения. Озёрск, ОТИ МИФИ, 2007.	14 неделя
3.	Полное исследование функций.	Ананьина функций и построение графиков. Озёрск, ОТИ МИФИ, 2010.	18 неделя

5. Коллоквиум.

Коллоквиум проводится по теоретическому материалу лекций 1-8 на 9 неделе.

6. Вопросы к экзамену.

1.  Понятие предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей

2.  Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Теорема.

3.  Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Непера.

4.  Подпоследовательности. Терема о пределе подпоследовательности сходящейся последовательности. Частичные пределы последовательности.

5.  Лемма о вложенных отрезках.

6.  Теорема Больцано-Вейерштрасса.

7.  Критерий Коши сходимости последовательности к конечному вещественному числу.

8.  Элементарные функции, их свойства, графики.

9.  Определение предела функции в точке по Коши и по Гейне. Теорема об эквивалентности этих определений.

10. Критерий Коши существования предела функции в точке.

11. Ограниченность функции, имеющей предел в точке.

12. Неравенство между пределами двух функций.

13. Принцип можарирующих функций.

14.  Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке (сумма, разность, произведение, частное).

15. Сравнение функций. Символы о, О.

16. Эквивалентные функции. Необходимое и достаточное условие эквивалентности функции.

17. Свойства функций, непрерывных в точке.

18. Классификация точек разрыва.

19. Первая теорема Вейерштрасса.

20. Вторая теорема Вейерштрасса.

21. Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях.

22. Производная функции в точке. Дифференцируемость функции в точке.

23. Лемма о необходимых и достаточных условиях существования производной функции.

24. Теорема о связи дифференцирования с непрерывностью в точке.

25. Теорема об основных правилах дифференцирования.

26. Дифференцируемость сложной функции.

27. Производная обратной функции.

28. Дифференциал функции в точке. Геометрический смысл.

29. Инвариантность формы 1-го дифференциала относительно замены переменной.

30. Производные порядка выше первого. Общие правила вычисления производных.

31. Формула Лейбница.

32. Дифференциалы высших порядков.

33. Теорема Ферма.

34. Терема Ролля.

35. Теорема Коши.

36. Теорема Лагранжа. Следствия.

37. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

38. Формула Тейлора для многочлена.

39. Формула Тейлора для функции. Теорема Пеано. Остаточный член в форме Пеано.

40. Остаточный член в форме Лагранжа и Коши.

41. Разложение в окрестности нуля.

42.  Монотонность. Достаточное условие монотонности.

43.  Исследование функции на экстремум. Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

44.  Выпуклость. Достаточное условие выпуклости. Точки перегиба. Необходимое условие перегиба. Достаточное условие перегиба.

45.  Вертикальная асимптота. Горизонтальная асимптота. Наклонная асимптота. Теорема о наклонной асимптоте.