Задача 4.1

Задача 4.1.

Расчет на растяжение (сжатие) ступенчатого стержня.

Для заданного стержня построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений.

Схема стержня приведена на рис. 4.1, численные данные – в табл. 4.1.

 

Рис. 4.1

Таблица 4.1

Цифры шифра	1-я цифра шифра	2-я цифра шифра	3-я цифра шифра
Е·105, МПа	l1 : l2 : l3	A1 : A2 : A3	F1, кН	F2, кН	F3, кН
1	1,9	1 : 1 : 1	1 : 2 : 1	10	– 14	25
2	2,0	1 : 2 : 1	1 : 1 : 2	– 6	24	14
3	2,1	1 : 1 : 2	2 : 1 : 1	– 15	9	– 7
4	2,2	2 : 1 : 1	1 : 2 : 2	20	7	9
5	1,9	1 : 1 :3	2 : 2 :1	15	– 12	– 22
6	2,0	1 : 3 :1	2 : 3 : 1	– 10	12	22
7	2,1	1 : 2 : 3	2 : 1 : 3	– 20	– 6	– 24
8	2,2	1 : 3 : 2	3 :1 : 2	16	– 18	8
9	2,1	2 : 2 : 1	1 : 2 : 3	13	18	13
0	2,0	2 : 1 :2	1 : 3 :2	– 16	25	– 8

Общие данные: l1 = 1 м; A1 = 6 см2; [σ] = 160 МПа.

Указание. Если в таблице величины внешних сил Fs заданы со знаком минус (–), то на схеме направление этих сил следует изменить на противоположное.

Содержание и порядок выполнения работы

1. Вычертить в масштабе схему стержня с указанием численных значений размеров и нагрузок.

2. Составить уравнения продольных сил по участкам и построить их эпюру.

3. Определить нормальные напряжения, действующие в поперечных сечениях на всех участках стержня, и построить их эпюру.

4. Проверить прочность стержня. При необходимости усилить (увеличить) сечение на опасном участке.

5. Определить изменения длин участков стержня и построить эпюру перемещений поперечных сечений стержня.

6*. Решить задачу с учетом собственного веса стержня, приняв величину удельного веса материала стержня γ = 67,4 кН/м3

Пример выполнения задачи 4.1.

Решение задачи рассмотрим по варианту, соответствующему условному шифру 000.

По таблице 4.1 принимаем:

·  модуль нормальной упругости материала стержня Е = 2,0·105 МПа;

·  длины участков стержня соответственно: l1 = 1 м, l2 = 0,5 м, l3 = 1 м;

·  площади поперечных сечений участков стержня соответственно:

А1 = 6 см2, А2 = 18 см2, А3 = 12 см2;

·  силы на границах участков: F1 = – 16 кН, F2 = 25 кН, F3 = – 8 кН;

·  общие данные [σ] = 160 МПа.

1. Чертим в масштабе расчетную схему стержня с указанием размеров и нагрузок (рис. 4.1,а).

Рис. 4.1.

2. Определяем методом сечений (алгоритм Р. О.З. У) продольные силы, действующие в поперечных сечениях стержня по участкам:

Участок I.

Рассекаем стержень в произвольном сечении на I участке.

Отбрасываем верхнюю часть стержня (на которую действуют активные силы F2, F3 и неизвестная реакция в плоскости заделки).

Заменяем действие отброшенной части на оставшуюся продольной силой NI, направленной от сечения (рис. 4.2,а).

Уравновешиваем оставшуюся часть. Для чего составляем уравнение равновесия из условия – ∑Fsх = 0 (ось координат х направим вверх).

Получим уравнение F1 + NI = 0, из которого NI = - F1 = -16 кН.

а) б) в)

Рис. 4.2.

Участок II.

Повторяем процедуру метода сечений (см. рис. 4.2,б) и составляем уравнение равновесия для II участка: F1 – F2 + NII = 0.

Откуда получаем: NII = F2 – F1 = 25 – 16 = 9 кН.

Участок III.

Еще раз повторяем процедуру метода сечений (см. рис. 4.2,в) и составляем уравнение равновесия для III участка: F1 – F2 + F3 + NIII = 0.

Откуда получаем: NIII = F2 – F1 – F3 = 25 – 16 – 8 = 1 кН.

По полученным значениям NI, NII, NIII с учетом их знаков строим эпюру продольных сил (рис. 4.1.б).

2. Определяем нормальные напряжения, действующие в поперечных сечениях стержня по соответствующим участкам по формуле:

σs = Ns / As , где s – номер участка.

Получим:

σI = NI / A1 = -16·103 [Н] / 6·102 [мм2] = -26,7 МПа;

σII = NII / A2 = 9·103 [Н] / 18·102 [мм2] = 5,0 МПа;

σIII = NIII / A3 = 1·103 [Н] / 12·102 [мм2] = 0,83 МПа.

По полученным значениям σI, σII, σIII с учетом их знаков строим эпюру нормальных напряжений (рис. 4.1.в).

Наибольшее напряжение действует на I участке σmax = σI = 26,7 МПа.

4 Проверка прочности стержня

Так как σmax < [σ] (26,7 МПа < 160 МПа) – делаем вывод о том, что условие прочности выполняется.

5. Определим абсолютные удлинения стержня на его границах, начиная с III участка, по формуле.

Δls = ∑(Ns·ls/ As·E) = ∑(σs·ls/ E),

где ls – длина соответствующего участка.

Получим:

ΔlIII = σIII·l 3/ E = 0,83 [МПа] ·103 [мм] / 2·105 [МПа] = 0,415·10-2 мм;

ΔlII = ΔlIII + σII·l 2/ E = 0,415·10-2 [мм] + 5 [МПа] 500 [мм] / 2·105 [МПа] =

= 0,415·10-2 [мм] +1,25·10-2 [мм] = 1,665·10-2 мм;

ΔlI = ΔlII + σI·l1 / E = 1,665·10-2 [мм] – 26,7 [МПа] 103 [мм] / 2·105 [МПа] =

= 1,665·10-2 [мм] – 13,35·10-2 [мм] = – 11,685·10-2 мм;

По полученным значениям ΔlI, ΔlII, ΔlIII с учетом их знаков строим эпюру перемещений поперечных сечений стержня, начиная с сечения в плоскости заделки, где Δl0 = 0. (рис. 4.1,г).

6*. Данный пункт выполняется по желанию курсантов в порядке учебно-исследовательской работы.