Цепи синусоидального тока

ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Переменные токи

Переменным током называют ток, изменяющийся во времени.

Значение тока в любой данный момент времени называют мгновенным и обозначают строчной (малой) буквой i. Для одного из двух возможных направлений тока через поперечное сечение проводника мгновенное значение тока i считают положительным, а для противоположного направления — отрицательным. Направление тока, для которого его мгновенные значения положительны, называют положительным направлением тока. Ток определен, если известна его зависимость от времени i=F(t) и указано положительное направление тока.

Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени в той же самой последовательности, называют периодическими, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются, — периодом Т. Для периодического тока

i=F(t)=F(t+Т).

Величина, обратная периоду, называется частотой f=1/Т. Частота измеряется в герцах. Частота равна 1 Гц, если период равен 1 с, т. е. 1 Гц=1 с-1.

Постоянный ток можно рассматривать как частный случай периодического тока, период изменения которого бесконечно велик, т. е. частота равна нулю.

СИНУСОИДАЛЬНЫЙ ТОК

Мгновенное значение синусоидального тока определяется выражением

, (6.1)

где Im — максимальное значение или амплитуда тока. Аргумент синуса называется фазой. Угол y равен фазе в начальный момент времени (t=0) и поэтому называется начальной фазой. Фаза с течением времени непрерывно растет. После ее увеличения на 2p весь цикл изменения тока повторяется. Поэтому, когда говорят о фазе для какого-либо момента времени, обычно отбрасывают целое число 2p так, чтобы значение фазы находилось в пределах ±p или в пределах от 0 до 2p. В течение периода Т фаза увеличивается на 2p. Величина 2p/Т показывает скорость изменения фазы и обозначается буквой w. Принимая во внимание, что f=1/T, можно написать

w=2p/Т=2pf. (6.2)

Это выражение, связывающее w и f, послужило основанием называть w угловой частотой. Измеряется w числом радианов, на которое увеличивается фаза в секунду. Так, например, при f=50 Гц имеем w»314 рад/с. Введя в (6.1) обозначение со для угловой частоты, получим

i=Imsin(wt+y).

На рис. 6.3 построен график синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами:

i1=Im1sin(wt+y1).

i2=Im2sin(wt+y2).

По оси абсцисс отложены время t и пропорциональная времени величина wt.

Начальная фаза отсчитывается всегда от момента, соответствующего началу синусоиды (нулевое значение синусоидальной величины при переходе ее от отрицательных к положительным значениям), до момента начала отсчета времени t=0 (начало координат). При y1>0 начало синусоиды тока i1 сдвинуто влево, а при y2<0 для тока i2 — вправо от начала координат.

Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты относительно друг друга по фазе. Сдвиг фаз измеряется разностью фаз, которая, очевидно, равна разности начальных фаз. На рис. 6.3, например, y1‑y2>0, т. е. ток i1 опережает по фазе ток i2 на угол y1‑y2, или, что то же самое, ток i2 - отстает по фазе от тока i1 на угол y1‑y2.

Если у синусоидальных функций одной и той же частоты одинаковые начальные фазы, то говорят, что они совпадают по фазе, если разность их фаз равна ±p, то говорят, что они противоположны по фазе, и, наконец, если разность их фаз равна ±p/2, то говорят, что они находятся в квадратуре.

ДЕЙСТВУЮЩИЕ ТОК, ЭДС И НАПРЯЖЕНИЕ

Для суждения о периодическом токе вводится понятие о среднем квадратичном значении тока за период, которое называется действующим значением тока, или, короче, действующим током:

(6.3)

За один период переменного тока в проводнике с сопротивлением r выделяется тепловая энергия:

Отсюда следует, что действующий ток численно равен такому постоянному току, при котором за один период в проводнике с тем же сопротивлением выделяется такое же количество тепла, как и при переменном.

Установим связь между действующим значением и амплитудой Im синусоидального тока:

Следовательно,

. (6.4)

Среднеквадратичные значения любых других периодических величин за период тоже называются действующими. Так, например, действующие ЭДС и напряжение

В частности, для синусоидальных ЭДС и напряжения

; .

Если речь идет о периодических напряжениях и токах, обычно подразумевают действующие напряжения и токи и ради краткости просто говорят: напряжение столько-то вольт, ток столько-то ампер.

ИЗОБРАЖЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ ВЕКТОРАМИ И КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ

Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, ЭДС и т. д. векторами или комплексными числами.

Предположим, что некоторая величина (ток, напряжение, магнитный поток и т. п.) изменяется по синусоидальному закону:

v=Vmsin(wt+y).

Возьмем прямоугольную систему осей МОN (рис. 6.4). Расположим под углом y относительно горизонтальной оси ОМ вектор Vm, длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде Vm (положительные углы y откладываются против, а отрицательные — по часовой стрелке). Представим себе, что вектор Vm с момента t=0 начинает вращаться вокруг начала координат О против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью, равной угловой частоте w. В момент времени t вектор составит с осью ОМ угол wt+y. Его проекция на ось N¢N равна в выбранном масштабе мгновенному значению рассматриваемой величины v.

Мгновенные значения v как проекции вектора на ось N¢N можно получить и другим путем, оставляя вектор Vm неподвижным и вращая, начиная с момента t=0, ось N¢N по часовой стрелке с угловой скоростью w. В этом случае вращающуюся ось N¢N называют линией времени.

Таким образом, между мгновенным значением v и вектором Vm можно установить однозначную связь. На этом основании вектор Vm называют вектором, изображающим синусоидальную функцию времени, или, кратко, вектором величины v. Так, например, говорят о векторах напряжения, ЭДС, тока, магнитного потока и т. д. Конечно, эти векторы имеют смысл, отличный от смысла векторов, определяющих физические величины в пространстве, к которым относятся векторы скорости, силы, ускорения, напряженности электрического поля и т. п.

Векторы, изображающие синусоидальные функции времени, будем обозначать подчеркнутыми прописными (большими) буквами. Совокупность векторов, изображающих рассматриваемые синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой.

Если считать оси ММ' и NN¢ осями действительных и мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор Vm соответствует комплексному числу, модуль которого равен Vm и аргумент — углу y. Это комплексное число Vm называется комплексной амплитудой рассматриваемой величины.

Комплексную амплитуду можно записать в полярной, показательной, тригонометрической и алгебраической формах:

, (6.5)

где .

Если вектор Vm, начиная с момента времени t=0, вращается против часовой стрелки с угловой скоростью w, то ему соответствует комплексная функция времени, которая называется комплексной мгновенной величиной:

.

Значение ее мнимой части равно рассматриваемой синусоидально изменяющейся величине v.

Таким образом, величина v и ее изображение — комплексная амплитуда — однозначно связаны следующим равенством:

, (6.6)

где символ Im обозначает, мнимую часть комплексной функции времени, записанной в квадратных скобках.

Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин, методом комплексных амплитуд или комплексным методом расчета.

Комплексный метод был введен в электротехнику американским ученым и инженером .

Пример. Написать комплексную амплитуду тока i=10sin(wt‑p/6) А.

Решение. Комплексная амплитуда Im=10Ð-p/6 А.

Заданный ток равен мнимой части комплексной функции времени

Imejwt=Imej(wt-p/6)=10Ð(wt-p/6) А.

Пример. Комплексная амплитуда напряжения Um=‑100+j100 В, частота f=1 кГц. Написать выражение для мгновенного напряжения.

Решение. Угловая частота w=2pf=2p×103=6280 рад/с, амплитуда ; так как действительная часть комплексной амплитуды отрицательная, а мнимая часть положительная, то вектор Um находится во второй четверти и, следовательно, y=Зp/4.

Таким образом, мгновенное значение напряжения

.

СЛОЖЕНИЕ СИНУСОИДАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ ВРЕМЕНИ

При исследовании цепей синусоидального тока приходится алгебраически суммировать гармонические функции времени одинаковой частоты, но с различными амплитудами и с различными начальными фазами. Непосредственное суммирование гармонических функций времени связано с трудоемкими и громоздкими тригонометрическими преобразованиями. Значительно проще эта задача решается графически при помощи векторной диаграммы или аналитически путем суммирования комплексных амплитуд.

Пусть требуется найти сумму двух гармонических функций времени v1=V1тsin(wt+y1) и v2=V2тsin(wt+y2).

Сначала рассмотрим решение, выполняемое при помощи векторной диаграммы. Отложим векторы V1т=V1тÐy1 и V2т=V2тÐy2 и графически определим вектор Vт=VтÐy, равный геометрической сумме векторов V1т и V2т (рис. 6.5). Эта векторная диаграмма построена для случая, когда y1>0 и y2<0.

Представим себе, что векторы V1т, V2т и Vт с момента t=0 начинают вращаться вокруг начала координат О против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью w. Проекция вращающегося вектора VтÐ(wt+y) на вертикальную ось N'N в любой момент времени равна сумме проекций на эту же ось вращающихся векторов V1тÐ(wt+y1) и V2тÐ(wt+y2), т. е. мгновенных величин v1 и v2. Следовательно, проекция вектора VтÐ(wt+y) на вертикальную ось равна искомой сумме v1+v2, а вектор Vт=VтÐy изображает искомую синусоидальную функцию времени v=v1+v2.

Таким образом, определив из диаграммы длину вектора Vт и угол y, можем написать выражение искомой величины v=Vтsin(wt+y).

Теперь перейдем к аналитическому методу. Рассматривая векторы как комплексные амплитуды, на основании выполненного построения (рис. 6.5) можно написать

V1т+V2т=Vт.

Чтобы суммировать комплексные числа, представим их в алгебраической форме:

V1т=V'1т+jV''1т; V2т=V'2т+jV''2т.

Выполнив суммирование, получим.

V'1т+jV''1т+V'2т+jV''2т=V'т+jV''т=Vт,

где

V'т=V'1т+V'2т; V''т=V''1т+V''2т.

Отсюда находим

.

Так как tgy=tg(y±p), то для определения y нужно еще знать, в какой четверти располагается вектор Vт. Это легко устанавливается по знакам действительной и мнимой частей Vт. В расчетах начальную фазу y выражают или в радианах, или в градусах.

Рассмотренные способы можно применить для сложения любого числа синусоидальных функций времени одинаковой частоты.

Обычно при расчетах цепей синусоидального тока необходимо знать только действующие величины для синусоидальных функций времени и их сдвиг по фазе относительно друг друга. В этих случаях при построении векторных диаграмм нужно точно соблюдать углы сдвига фаз между векторами, а положение осей координат можно выбрать произвольно или оси совсем не изображать. Кроме того, длины векторов часто берут равными не амплитудным, а действующим величинам.

Соответственно при аналитическом расчете начальные фазы можно изменить на один и тот же угол, например так, чтобы начальная фаза одной из рассматриваемых функций стала равной нулю. Вместо комплексных амплитуд часто берут значения, в раз меньшие, так называемые комплексные действующие величины:

Пример. Даны токи i1=6sin(wt+120°) А и i2=1,5sin(wt+30°) А.

Определить ток i3, равный разности токов i1—i2.

Решение. I1m=6Ð120°=‑3+j5,2 А; I2m=1,5Ð30°=1,3+j0,75 А; I3m=I1m‑I2m=‑4.3+j4.45=6.19Ð134° А.

Следовательно, i3=6,19sin(wt+134°) А.

ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ И ЕЕ СХЕМА

Электрический ток неразрывно связан с магнитным и электрическим полями. При переменном токе эти поля изменяются во времени. Изменяющееся магнитное поле наводит ЭДС, изменение электрического поля сопровождается изменением зарядов на проводниках. В проводниках, в резисторах, а часто и в окружающей их среде электромагнитная энергия преобразуется в тепло. В различных устройствах электромагнитная энергия преобразуется и в другие виды энергии (в механическую, химическую и т. д.); часть электромагнитной энергии излучается. В электрической цепи нельзя выделить какой-либо участок, с которым не были бы связаны эти явления.

Для того чтобы упростить исследование процессов в реальной электрической цепи переменного тока, ее, как и цепь постоянного тока, заменяют схемой замещения, или, короче, просто схемой (математической моделью), составленной из элементов, каждый из которых учитывает одно из этих явлений.

К пассивным элементам схемы при переменных токах относятся резистивный элемент с сопротивлением г, или, короче, сопротивление r, индуктивный элемент с индуктивностью L, или, короче, индуктивность L, и емкостный элемент с емкостью С, или, короче, емкость С. Их условные обозначения на схемах показаны на рис. 6.6, а — в.

Взаимная индуктивность между отдельными частями электрических устройств учитывается как взаимная индуктивность М между индуктивными элементами (рис. 6.6, г). Т. о., взаимная индуктивность не является самостоятельным элементом схемы.

Здесь рассматриваются линейные цепи, т. е. такие цепи, сопротивления, индуктивности, емкости и взаимные индуктивности которых не зависят от токов и напряжений.

В резистивном элементе с сопротивлением r электромагнитная энергия преобразуется в тепло при мощности преобразования ri2. Резистивные элементы вводят в схему также и для учета необратимого преобразования электромагнитной энергии в другие формы энергии (например, в механическую) и для учета излучаемой энергии. Напряжение между выводами резистивного элемента и ток в элементе (рис. 6.6, а) связаны законом Ома:

ur=ri. (6.8)

Индуктивный элемент схемы с индуктивностью L (рис. 6.6, б) учитывает энергию Li2/2 магнитного поля и явление самоиндукции. При изменении тока в индуктивности возникает ЭДС самоиндукции eL. По закону Ленца она препятствует изменению тока:

uL=‑eL=Ldi/dt, (6.9)

Емкостный элемент схемы с емкостью С (рис. 6.6, в) учитывает энергию СuC2/2 электрического поля. Ток в ветви с емкостью равен скорости изменения заряда на электродах:

i=dq/dt=CduC/dt, (6.10а)

или

. (6.10б)

Схема зависит от частоты переменного тока. Так, при достаточно низкой частоте резистор может быть представлен сопротивлением, индуктивная катушка — последовательным соединением индуктивности и сопротивления, а конденсатор при хорошей изоляции между электродами — емкостью. С ростом частоты, как будет показано в следующих параграфах, увеличиваются ЭДС, обусловленные индуктивностями, и токи, обусловленные емкостями. Поэтому при высоких частотах приходится учитывать индуктивность проволочных резисторов и межвитковую емкость катушек. Кроме того, с увеличением частоты растут потери в изоляции конденсаторов. Для учета всех этих явлений приходится резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы заменять более сложными схемами. При высоких частотах приходится также учитывать емкости между проводами, соединяющими различные элементы реальной электрической цепи, и вводить их в схему.

Если схема получается с ограниченным (конечным) числом элементов, то говорят, что реальная цепь рассматривается как цепь с сосредоточенными параметрами. Если же приходится пользоваться схемой, содержащей неограниченно большое (бесконечное) число элементов, говорят, что цепь рассматривается как цепь с распределенными параметрами.

Теперь рассмотрим вопрос о применимости к схемам цепей переменного тока законов Кирхгофа. На проводах и в узлах схемы не могут накапливаться заряды (единственными накопителями зарядов являются емкостные элементы). Поэтому для любого узла схемы справедлив первый закон Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных значений токов в проводах, соединенных в узел, равна нулю:

. (6.11а)

Напряжение между двумя точками цепи переменного тока в общем случае зависит от пути, вдоль которого оно определяется. Выясним, например, каково различие в напряжениях между точками А и В двух проводов цепи переменного тока (рис. 6.7), определяемых по двум различным путям. Между точками А и В включены два вольтметра для измерения напряжения. Соединительные провода от первого вольтметра идут по пути АтВ, от второго вольтметра — по пути АпВ.

Согласно закону электромагнитной индукции напряжение вдоль замкнутого контура АпВтА равно ЭДС, индуктированной в этом контуре магнитным потоком Ф, пронизывающим поверхность, ограниченную контуром:

uAnBmA=e=‑dF/dt.

Заметим, что знак минус перед dF/dt ставится в том случае, если положительное направление магнитного потока и положительное направление ЭДС (направление обхода контура) согласованы по правилу правого винта. В рассматриваемом случае положительное направление Ф выбрано от читателя за плоскость чертежа. Напряжение

uAnBmA=uAn+uBmA=uAnB‑uAmB.

Подставив это равенство в предыдущее выражение, получим

uAnB‑uAmB=e=‑dF/dt.

Следовательно, напряжения между двумя точками, определенные вдоль двух различных путей, отличаются друг от друга на ЭДС, индуктированную в замкнутом контуре, образованном этими двумя путями. При согласовании положительного направления ЭДС (направления обхода контура) и положительного направления магнитного потока по правилу левого винта перед производной dF/dt следует поставить не знак минус, а знак плюс.

Напряжения, определяемые вдоль различных путей, будут одинаковы только в том случае, если замкнутые контуры, образованные этими путями, не пронизываются переменным магнитным потоком.

В схеме замещения напряжения между различными ее точками от пути не зависят. Так, напряжения на выводах элементов схемы r, L и С связаны с током приведенными выше соотношениями (6.8) —(6.10) вне зависимости от путей (взятых вне элементов), по которым эти напряжения определяются. Поэтому точки схемы переменного тока можно, так же как и точки цепи постоянного тока, характеризовать потенциалами, а напряжения рассматривать как разности потенциалов. Имея это в виду, говорят, что схемы или идеализированные цепи потенциальны. Изменение потенциала по любому замкнутому контуру такой цепи равно нулю. Поэтому справедлива следующая формулировка второго закона Кирхгофа:

алгебраическая сумма мгновенных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю:

, (6.11б)

или, иначе, алгебраическая сумма мгновенных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме мгновенных напряжений на всех остальных элементах того же контура.

Выберем произвольный узел т из общего числа У. Ток в k-й ветви, соединяющей узел т с другими узлами, обозначим ik. По первому закону Кирхгофа (6.11а) для каждого т-го узла

.

Составим такие же равенства для всех У узлов и найдем их сумму:

.

В это тождество ток ветви ik входит 2 раза и с разными знаками (ток ветви направлен от одного из узлов к другому). Поэтому тождество, которое называется теоремой Телледжена, можно записать и так:

, (6.12)

где un — напряжение или разность потенциалов между узлами той из В ветвей, ток в которой in.

Произведение unin=pn — это мгновенная мощность n-й ветви, и из тождества (6.12) следует баланс мощностей: суммарная мгновенная мощность всех ветвей равна нулю (закон сохранения энергии).

Так как теорема Телледжена получена из законов Кирхгофа, то она справедлива для каждого момента любого режима (установившегося и неустановившегося) и любых цепей [линейных, параметрических, нелинейных].

Здесь рассматриваются линейные цепи, содержащие источники энергии с синусоидальными ЭДС. Если в цепи действуют несколько источников энергии, то рассматриваются только те случаи, когда частоты ЭДС всех источников одинаковы. Заметим, что именно этот случай имеет место при нормальном режиме в электрических цепях энергетических систем.

Наконец, здесь рассматриваются так называемые установившиеся режимы цепей, которые наступают после некоторого промежутка времени (обычно от долей секунды до нескольких секунд) после окончания всех коммутаций (переключений) в цепи. При установившемся режиме токи и напряжения во всех ветвях и участках линейных цепей также синусоидальные и изменяются с той же частотой, что и ЭДС источников энергии.

Таким образом, в уравнения, выражающие законы Кирхгофа, входят алгебраические суммы синусоидальных функций времени, суммирование которых, как указывалось, целесообразно заменить суммированием изображающих их комплексных величин.

После такой замены получаются законы Кирхгофа для комплексных амплитуд или для комплексных действующих токов, напряжений и ЭДС:

алгебраическая сумма комплексных токов в проводниках, соединенных в узел, равна нулю. Алгебраическая сумма комплексных напряжении на всех элементах любого замкнутого контура схемы равна нулю, или, иначе, алгебраическая сумма комплексных ЭДС всех источников напряжения в любом замкнутом контуре схемы равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех остальных элементах того же контура.

ТОК И НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ РЕЗИСТИВНОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО ЭЛЕМЕНТОВ

Пусть в ветви (рис. 6.8), состоящей из последовательно соединенных элементов r, L и С, т. е. в последовательном контуре или rLC-цепи, известен ток

i=Imsin(wt+yi).

Выясним, каковы напряжения на отдельных элементах и на входе.

На основании второго закона Кирхгофа

ur+uL+uC=u, (6.13)

где

ur=ri=rImsin(wt+yi); (6.14)

uL=Ldi/dt=wLImcos(wt+yi)=wLImsin(wt+yi+p/2); (6.15)

. (6.16)

Постоянная интегрирования в выражении для uC принята равной нулю, так как в установившемся режиме, как уже указывалось, напряжение на любом участке цепи синусоидальное.

Из полученных выражений для ur, uL, и uC видно, что напряжение на сопротивлении совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол p/2, а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол p/2.

На рис. 6.9 показаны кривые мгновенных значений тока и напряжений в случае, если амплитуда напряжения на индуктивности wLIm больше амплитуды напряжения на емкости Im/wС и yi>0. Синусоида ur совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды uL, и uC сдвинуты относительно синусоиды тока на угол p/2 соответственно влево (опережение) и вправо (отставание). Таким образом, напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты относительно друг друга по фазе на угол p (находятся в противофазе).

Ординаты кривой напряжения

u=Umsin(wt+yu)

согласно (6.13) равны алгебраической сумме ординат кривых ur, uL, и uC.

Определение напряжения u сводится к вычислению амплитуды Um и начальной фазы yu, которые могут быть найдены непосредственным суммированием трех синусоидальных функций времени ur, uL, и uC с последующими тригонометрическими преобразованиями. Однако, как указывалось, проще всего задача решается комплексным методом.

Запишем комплексный ток и комплексные напряжения на основании выражений для их мгновенных значений:

; (6.17)

; (6.18)

; (6.19)

; (6.20)

. (6.21)

В выражениях для UL. и UC учтено, что

ejp/2=cos(p/2)+jsin(p/2)=j, e‑jp/2=cos(‑p/2)+jsin(‑p/2)=‑j=1/j.

Сопоставив выражения для мгновенных напряжений uL, и uC (6.15), (6.16) с комплексными напряжениями UL и UC (6.19), (6.20), можно установить простое правило перехода от производной и интеграла синусоидальной функции времени к изображающим их комплексным величинам: синусоидальная функция заменяется изображающей ее комплексной величиной, дифференцирование заменяется умножением на jw а интегрирование — делением на jw.

Сумме синусоидальных напряжений (6.13) соответствует сумма изображающих их векторов или комплексных действующих напряжений:

Ur+UL+UC=U. (6.22)

Это соотношение представляет собой уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное в комплексной или векторной форме; оно представлено на векторной диаграмме (рис. 6.10). Напряжение ur совпадает по фазе с током i, поэтому вектор Ur направлен одинаково с вектором I. Напряжение uL опережает по фазе i на p/2, поэтому вектор UL сдвинут относительно вектора I на угол p/2 вперед (против часовой стрелки). Напряжение uC отстает по фазе от i на p/2, поэтому вектор UC сдвинут относительно вектора I на угол p/2 назад (по часовой стрелке).

Соображения о взаимном расположении векторов напряжения и тока непосредственно следует и из записи выражений комплексных напряжений Ur, UL, UC. Вектор Ur (6.18) получается умножением I на действительную величину r. Аргумент комплексной величины rI такой же, как и комплексного тока I, поэтому направление вектора Ur совпадает с направлением вектора I. Вектор UL (6.19) получается умножением I на jwL. Умножение тока I на действительную величину wL не изменяет аргумента, а умножение на j=еjp/2 увеличивает аргумент на p/2. Следовательно, вектор UL повернут относительно вектора I на угол p/2 «вперед». Вектор UC (6.20) получается делением I на jwС. Деление комплексной величины на wС не изменяет аргумента, а деление на j, что равносильно умножению на ‑j=е-jp/2, уменьшает аргумент на p/2. Следовательно, вектор UC повернут относительно вектора I на угол p/2 «назад».

Так как умножение и деление вектора на j приводят к повороту вектора на p/2 соответственно «вперед» и «назад», то множитель j называют оператором поворота на p/2.

Сложив векторы Ur, UL и UC, получим вектор U. Его длина определяет действующее напряжение , а положение относительно координатных осей — начальную фазу yu.

Решим ту же задачу аналитически. Теперь уравнение (6.22) будем рассматривать как соотношение между комплексными числами. Подставив в него значения комплексных напряжений, получим

rI+jwLI+I/(jwС)=U

или

U={r+j[wL‑1/(wС)]}I. (6.23а)

Это соотношение между комплексным напряжением и током называют законом Ома в комплексной форме. Записав комплексные величины в показательной форме, получим

, (6.236)

где

. (6.23в)

Так как и , то .

Таким образом, амплитуда Um и начальная фаза yu напряжения на выводах контура определены и можно записать выражение для мгновенного напряжения:

u=Umsin(wt+yi+j). (6.24)

В заключение отметим, что уравнение для комплексных токов и напряжений и векторные диаграммы взаимно связаны. Уравнения можно рассматривать как запись геометрических суммирований векторов, выполняемых на векторной диаграмме, и, наоборот, векторную диаграмму можно рассматривать как графическое представление соотношений между комплексными величинами в уравнении.

СОПРОТИВЛЕНИЯ

Отношение комплексного напряжения к комплексному току называется комплексным сопротивлением:

Z=U/I=Um/Im=zejj=zÐj, (6.25а)

где z=U/I=Um/Im — отношение действующего или амплитудного напряжения соответственно к действующему или амплитудному току называется полным сопротивлением. Полное сопротивление равно модулю комплексного сопротивления. Аргумент комплексного сопротивления равен разности фаз напряжения и тока, т. е. j=yu—yi. Комплексное сопротивление можно представить в виде

Z=zejj=zcosj+jzsinj=r+jx, (6.256)

где r=zcosj — действительная часть комплексного сопротивления, называется активным сопротивлением; x=zsinj — значение мнимой части комплексного сопротивления, называется реактивным сопротивлением.

Очевидно, что

. (6.26)

Из (6.23а) следует, что для последовательного контура (см. рис. 6.8) комплексное сопротивление

Z=r+jx=r+j[wL‑1/(wС)],

причем реактивное сопротивление

x=wL‑1/(wС)=xL-xC, (6.27)

где

xL=wL; xC=1/(wС)

называются соответственно индуктивным и емкостным сопротивлениями.

Из (6.15) и (6.19) видно, что индуктивное сопротивление связывает между собой амплитуды или действующие значения напряжения на индуктивности и тока:

ULm=wLIm; xL=wL=UL/I=ULm/Im.

Индуктивное сопротивление прямо пропорционально частоте тока. Это объясняется тем, что напряжение на индуктивном элементе пропорционально скорости изменения тока: uL=Ldi/dt.

Емкостное сопротивление, как следует из (6.16) и (6.20), связывает между собой амплитуды или действующие значения напряжения на емкости и тока:

UCm=Im/(wС); xC=1/(wС)=UC/I=UCm/Im.

Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте тока. Эту зависимость от частоты легко пояснить, если считать заданным напряжение на емкостном элементе, а искомой величиной ток: i=dq/dt=CduC/dt. Ток прямо пропорционален скорости изменения напряжения на емкостном элементе, и, следовательно, емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте напряжения.

Напряжения на последовательно соединенных индуктивности и емкости противоположны по фазе; поэтому в (6.27) для реактивного сопротивления х сопротивления xL и xC входят с различными знаками. Напряжения на индуктивности и на емкости сдвинуты по фазе относительно напряжения на сопротивлении соответственно на p/2 и —p/2. Поэтому эти сопротивления входят в Z как r, jxL и —jxC.

Следует отметить, что индуктивное и емкостное сопротивления являются величинами арифметическими ‑ положительными, а реактивное сопротивление x=xL‑xC ‑ величина алгебраическая и может быть как больше, так и меньше нуля.

Для ветви, содержащей только индуктивность, реактивное сопротивление x равно индуктивному сопротивлению xL, а реактивное сопротивление x ветви, содержащей только емкость, равно емкостному сопротивлению, взятому со знаком минус, т. е. —xC.

Заметим также, что для ветвей, каждая из которых содержит только сопротивление r, только индуктивность L или только емкость С, комплексные сопротивления соответственно равны:

Zr=r; ZL=jwL; ZС =‑j/(wС).

Если ветвь содержит несколько последовательно соединенных резистивных, индуктивных и емкостных элементов, то при вычислении сопротивления и тока их можно заменить тремя элементами .

РАЗНОСТЬ ФАЗ НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА

Условимся под разностью фаз j напряжения и тока всегда понимать разность начальных фаз напряжения yu и тока yi { (а не наоборот):

j=yu‑yi. (6.28)

Поэтому на векторной диаграмме угол j отсчитывается в направлении от вектора I к вектору U (рис. 6.10). Именно при таком определении разности фаз угол j равен аргументу комплексного сопротивления. Угол j положителен при отстающем токе (yu>yi) и отрицателен при опережающем токе (yu<yi).

Разность фаз между напряжением и током зависит от соотношения индуктивного и емкостного сопротивлений. При xL>xC имеем x=xL—xC>0 и ток отстает по фазе от напряжения, j=arctg(x/r)>0. При xL=xC имеем x=0, j=0, z=r, ток совпадает по фазе с напряжением, rLC-цепь в целом проявляет себя как активное сопротивление. Это случай так называемого резонанса в последовательном контуре. Наконец, при xL<xC имеем x<0, j<0, ток опережает по фазе напряжение.

Векторные диаграммы для трех возможных соотношений xL и xC даны на рис. 6.11. При построении этих диаграмм начальная фаза тока yi принята равной нулю. Поэтому j и yu равны друг другу.

Рассматривая при заданной частоте цепь по рис. 6.8 в целом как пассивный двухполюсник, можно ее представить одной из трех эквивалентных схем: при xL>xC как последовательное соединение сопротивления и индуктивности (r и x'L=xL—xC), при xL=xC как сопротивление r и при xL<xC как последовательное соединение сопротивления и емкости (r и x'C=xC—xL). При заданных L и С соотношение между xL, и xC зависит от частоты, а потому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.

Выше было принято, что задан ток, а определялись напряжения на элементах и на входных выводах цепи. Однако часто бывает задано напряжение на выводах, а ищется ток. Решение такой задачи не представляет труда. Записав по заданным величинам комплексное напряжение U и комплексное сопротивление Z, определим комплексный ток

I=U/Z

и тем самым действующий ток и начальную фазу тока.

Часто равной нулю принимается начальная фаза заданного напряжения: yu=0. В этом случае, как следует из (6.28), начальная фаза тока yi равна и противоположна по знаку разности фаз j, т. е. yi=—j.

Установленные выше соотношения между амплитудами и действующими токами и напряжениями, а также выражение для сдвига фаз j позволяют вычислить ток и не прибегая к записи закона Ома в комплексной форме. Подробно этот путь решения показан в примере.

Пример. К цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, приложено напряжение u=100sin5000t В. Емкость конденсатора С=5 мкФ, сопротивление катушки r=15 Ом, индуктивность L=12 мГн. Найти мгновенные значения тока в цепи и напряжений на конденсаторе и на катушке.

Решение. Схема замещения цепи показана на рис. 6.8.

xL=wL=5000×12×10‑3=60 Ом;

xC=1/(wС)=1/(5000×5×10‑6)=40 Ом;

x=xL‑xC=60‑40=20 Ом;

;

Im=Um/z=100/25=4 А;

tgj=20/15; j=53°08';

i=4sin(5000t‑53°08') А;

UCm=xCIm=40×4=160 В.

Напряжение на емкости отстает от тока по фазе на 90°, следовательно,

uC=160sin(5000t‑143°08') В.

Комплексное сопротивление катушки

ZКАТ=r+jxL=15+j60=61,8Ð15°58' Ом.

Комплексная амплитуда напряжения на выводах катушки

UКАТm=ZКАТIm=61,8Ð75°58'´4Ð‑53°08'=247,2Ð22°50' В.

Мгновенное напряжение на катушке

uКАТ=247,2sin(5000t+22°50') В.

Пример. В цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора и катушки, ток I=2 А, его частота f=50 Гц. Напряжение на выводах цепи U=100 В, катушки UКАТ=150 В и конденсатора UС=200 В. Определить сопротивление и индуктивность катушки и емкость конденсатора.

Решение. w=2pf=2p×50=314 рад/с; xC=UС/I=100 Ом и С=1/(wxC)=31,8 мкФ.

Полное сопротивление цепи z=U/I=50 Ом.

Полное сопротивление катушки zКАТ=UКАТ/I=75 Ом;

z2=r2+(xL‑xC)2=r2+(xL)2‑2xLxC+(xC)2;

zКАТ2=r2+(xL)2; z2‑zКАТ2=‑2xLxC+(xC)2; xL=(zКАТ2+(xC)2‑z2)/2xC=65,6 Ом;

L=xL/w=0,209 Гн.

НАПРЯЖЕНИЕ И ТОКИ ПРИ ПАРАЛЛЕЛЬНОМ СОЕДИНЕНИИ РЕЗИСТИВНОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО ЭЛЕМЕНТОВ

Пусть к цепи, схема которой состоит из параллельного соединения элементов r, L и С (рис. 6.12), приложено напряжение u=Umsin(wt+yu).

Определим токи во всех ветвях. По первому закону Кирхгофа

ir+iL+iC=i,

или

Ir+IL+IC=I.

Вводя для заданного синусоидального напряжения изображающее его комплексное напряжение , применим для каждой ветви закон Ома в комплексной форме. В результате получим

Из полученных выражений видно, что ток в сопротивлении совпадает по фазе с напряжением, ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения на угол p/2, а ток в емкости опережает напряжение по фазе на угол p/2. Векторная диаграмма напряжения и токов при yu<0 и IL >IC показана на рис. 6.13.

Подставив выражения комплексных токов в уравнение первого закона Кирхгофа, найдем, что

U/r+U/(jwL)+jwСU=I

или

{1/r‑j[1/(wL)‑wС]}U=I (6.29)

От значения аргумента комплексной величины в квадратных скобках, на которую умножается комплексное напряжение, зависит разность фаз напряжения и тока. Так как под разностью фаз понимается значение j=yu—yi и, следовательно, yi=yu—j, то аргумент комплексной величины в квадратных скобках следует обозначить — j:

(6.30)

где , или .

Из (6.30) следует, что

.

На основании этих данных

i=Imsin(wt+yu-j).

ПРОВОДИМОСТИ

Комплексной проводимостью называется отношение комплексного тока к комплексному напряжению

Y=I/U=1/Z=1/(zejj)=ye‑jj=yÐ‑j, (6.31а)

где y=1/z — величина, обратная полному сопротивлению, называется полной проводимостью.

Комплексная проводимость и комплексное сопротивление взаимно обратны. Комплексную проводимость можно представить в виде

Y= ye‑jj=ycosj‑jysinj=g‑jb, (6.31б)

где g=ycosj — действительная часть комплексной проводимости, называется активной проводимостью; b=ysinj — значение мнимой части комплексной проводимости, называется реактивной проводимостью;

. (6.32)

Из (6.30) и (6.29) следует, что для схемы, представленной на рис. 6.12, комплексная проводимость

Y=1/r‑j[1/(wL)‑wC]=g‑j(bL‑bC),

где

g=1/r; bL=1/(wL)=1/xL; bC=wC=1/xС

и называются соответственно активной, индуктивной и емкостной проводимостями.

Реактивная проводимость

b=bL‑bC. (6.33)

Индуктивная bL, и емкостная bC проводимости — арифметические величины, а реактивная проводимость b — алгебраическая величина и может быть как больше, так и меньше нуля. Реактивная проводимость b ветви, содержащей только индуктивность, равна индуктивной проводимости bL а реактивная проводимость b ветви, содержащей только емкость, равна емкостной проводимости с обратным знаком, т. е. —bC.

Сдвиг по фазе между напряжением и током зависит от соотношения индуктивной и емкостной проводимостей. Для схемы рис. 6.12 на рис. 6.14 представлены векторные диаграммы для трех случаев, а именно bL>bC, bL=bC и bL<bC. При построении этих диаграмм начальная фаза напряжения принята равной нулю, поэтому j и yi, как это следует из (6.28), равны и противоположны по знаку (yi=—j).

Рассматривая схему на рис. 6.12 в целом как пассивный двухполюсник, можно заметить, что при заданной частоте она эквивалентна в первом случае параллельному соединению сопротивления и индуктивности, во втором — сопротивлению и в третьем — параллельному соединению сопротивления и емкости. Второй случай называется резонансом и рассматривается ниже. При заданных L и C соотношение между bL и bC зависит от частоты, а поэтому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.

Обратим внимание на то, что в схеме рис. 6.12 каждая из параллельных ветвей содержит по одному элементу. Поэтому получилось такое простое выражение для Y, в которое проводимости элементов входят как отдельные слагаемые.

Заметим, что обозначения Z, Y, r, x, xL, xС, g, b, bL и bC применяются не только для сопротивлений и проводимостей, но и для элементов схемы, характеризуемых этими величинами. В таких случаях элементам схемы дают те же самые наименования, какие присвоены величинам, которые обозначаются этими буквами. Комплексные сопротивления или проводимости как элементы схемы имеют условное обозначение в виде прямоугольника (см. рис. 6.1). Точно так же обозначают реактивные сопротивления или проводимости, если хотят отметить, что они могут быть как индуктивными, так и емкостными сопротивлениями или проводимостями.

ПАССИВНЫЙ ДВУХПОЛЮСНИК

Ток и напряжение на входе любого пассивного двухполюсника (рис. 6.15) связаны законом Ома

U=ZI и I=YI,

где Z и Y — входные комплексные сопротивление и проводимость двухполюсника.

Входному комплексному сопротивлению Z=r+jx соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из последовательного соединения активного сопротивления r и реактивного сопротивления x. Последнее в зависимости от знака следует рассматривать либо как индуктивное, либо как емкостное сопротивление. Поэтому на эквивалентной схеме (рис. 6.16, а) сопротивление x показано условно прямоугольником.

Комплексная проводимость

, (6.34)

откуда

g=r/z2; b=x/z2; (6.35)

и, наоборот,

r=gz2=g/y2; x=bz2=b/y2. (6.36)

Из полученных соотношений видно, что b и x всегда имеют одинаковый знак.

Например, для схемы на рис. 6.8 (последовательный RLC контур) получаем для g и b довольно сложные выражения, причем не только b, но и g зависят от частоты:

.

Наоборот, для схемы на рис. 6.12, состоящей из параллельного соединения элементов, получаются простые выражения для проводимостей, но относительно сложные выражения для сопротивлений, причем и эквивалентное активное сопротивление зависит от частоты. По (6.36)

.

Переход от сопротивления Z=r+jx к проводимости Y=g—jb и обратно соответствует замене схемы цепи с последовательным соединением элементов r и jx эквивалентной схемой с параллельным соединением элементов g и —jb и обратно (рис. 6.16, а и б).

Напряжение U можно разложить на составляющие:

U=ZI=(r+jx)I=rI+jxI=Ua+Up

где Ua=rI — составляющая, совпадающая по фазе с током, называется активной составляющей напряжения; Up=jxI — составляющая, сдвинутая по фазе относительно тока на угол p/2, называется реактивной составляющей напряжения.

Составляющие Ua и Up можно рассматривать как напряжения на элементах r и x эквивалентной схемы.

На рис. 6.16,в представлена векторная диаграмма двухполюсника при j>0, т. е. если x — индуктивное сопротивление. Треугольник, образованный векторами U, Ua и Up со сторонами, пропорциональными z, r и |x|, называется треугольником напряжений. Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны сопротивлениям z, r и |x|, называется треугольником сопротивлений. Из треугольника напряжений следует, что

.

Входной комплексной проводимости Y=g—jb соответствует эквивалентная схема двухполюсника, состоящая из параллельного соединения проводимостей g и —jb. Последняя в зависимости от знака либо индуктивная, либо емкостная. Поэтому на эквивалентной схеме (рис. 6.16,6) проводимость b, показана условно прямоугольником. Ток на входе двухполюсника можно разложить на составляющие :

I=YU=(g—jb)U=gU—jbU=Ia+Ip

где Ia=gU — составляющая, совпадающая по фазе с напряжением, называется активной составляющей тока Ip=—jbU, — составляющая, сдвинутая по фазе относительно напряжения на угол p/2, называется реактивной составляющей тока.

Составляющие Ia и Ip можно рассматривать как токи в элементах g и —jb эквивалентной схемы.

Треугольник, образованный векторами I, Ia и Ip, со сторонами, пропорциональными y, g, |b|, называется треугольником токов. Подобный ему треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны проводимостям y, g и |b |, называется треугольником проводимостей.

Из треугольника токов имеем

Пример. Цепь состоит из конденсатора емкостью С=10 мкФ и резистора с сопротивлением r=100 Ом, включенных параллельно. Определить, каковы должны быть емкость конденсатора и сопротивление резистора, чтобы при их последовательном соединении получилась цепь, эквивалентная данной при частоте w=103 рад/с.

Решение. Проводимости данной цепи g=1/r=10-2 См; b=‑bC=‑wС=‑103×10×10‑6=‑10‑2 См; y2=g2+b2=2×10‑4 См2.

Сопротивления данной цепи r=g/y2=50 Ом; x=b/y2=‑50 Ом.

Эквивалентная цепь должна иметь такие же сопротивления. Таким образом, искомое сопротивление резистора 50 Ом, а емкость конденсатора С=—1/wx=20 мкФ.

Пример. Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника (см. рис. 6.15) u=100sin(314t‑15°) В, i=10sin(314t+45°) А.

Определить параметры двух эквивалентных схем двухполюсника, активные и реактивные составляющие напряжения и тока.

Решение.

Um=100Ð‑15° В; Im=10Ð45° А; Z=Um/Im=100Ð‑15°/10Ð45°=10Ð‑60°=5‑j5×31/2 Ом;

Y=1/Z=1/(10Ð‑60°)=0,1Ð60°=0,05+j0,05×31/2 См;

r=5 Ом; x=‑5×31/2 Ом;

g=0,05 См; b=0,05×31/2 См;

j=argZ=yu‑yi=‑15°‑45°=‑60°;

Uam=Umcosj=100соsÐ-60°=50 В;

Upm=Um|sinj|=100|sinÐ-60°|=50×31/2 В;

Iam=Imcosj=10соsÐ60°=5 А;

Upm=Um|sinj|=10|sinÐ-60°|=5×31/2 А;

ua=50sin(314t+45°) В;

up=50×31/2sin(314t‑45°) В;

ia=5sin(314t‑15°) А;

ip=5×31/2sin(314t+75°) А.

МОЩНОСТИ

Рассмотрим энергетические соотношения в цепи синусоидального тока.

Положим, что за элементарный промежуток времени dt через поперечное сечение прохода в направлении, принятом за положительное для тока i (см. рис. 6.15), проходит электрический заряд dq. Перемещение заряда в направлении, совпадающем с положительным направлением ЭДС источника, сопровождается элементарной работой dA=edq источника. Такая электромагнитная энергия отдается источником во внешнюю цепь и затрачивается на работу dA=udq по перемещению заряда dq в положительном направлении напряжения и через пассивный двухполюсник.

Мгновенная мощность, производимая и отдаваемая источником ЭДС и получаемая двухполюсником, равна скорости совершения работы в данный момент времени:

p=dA/dt=ui.

Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника в общем случае сдвинуты по фазе на угол j. Примем начальную фазу напряжения yu=0 и найдем из (6.28) начальную фазу тока yi=—j. При таком условии мгновенные значения напряжения и тока

u=Umsinwt; i=Imsin(wt‑j).

Мгновенная мощность

. (6.37)

Мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока (рис. 6.17). Мгновенная мощность, получаемая двухполюсником и отдаваемая источником напряжения (ЭДС), положительна, когда у напряжения и u тока i одинаковые знаки, т. е. когда действительные направления напряжения и тока в двухполюснике одинаковы и одинаковы действительные направления ЭДС и тока источника (см. рис. 6.15); она отрицательна, когда у напряжения и тока разные знаки, т. е. когда действительные направления напряжения и тока в двухполюснике противоположны и противоположны действительные направления ЭДС и тока источника.

Действительные направления и и I в течение отдельных интервалов времени показаны на рис. 6.17.

Когда мгновенная мощность отрицательна, энергия поступает не в двухполюсник, а возвращается из двухполюсника источнику ЭДС. Такой возврат энергии источнику питания возможен, так как энергия периодически запасается в магнитных и электрических полях элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Энергия, отдаваемая источником и поступающая в двухполюсник в течение времени t, равна . На графике она соответствует площади, ограниченной кривой p и осью абсцисс на интервале времени t. Знаками плюс и минус отмечены заштрихованные площади, соответствующие энергии, поступающей в двухполюсник и возвращаемой источнику.

Если двухполюсник состоит только из резистивных элементов, энергия накопляться в нем не может. В этом случае нет сдвига фаз между напряжением и током (j=0). Знаки тока i и напряжения и в любой момент времени одинаковы и p³0 (см. далее рис. 6.18, а), и нет таких моментов времени, когда энергия возвращалась бы из двухполюсника источнику питания.

Рис. 6.18

Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью, или иногда просто мощностью, и, как следует из (6.37),

. (6.38)

Активная мощность, получаемая пассивным двухполюсником, не может быть отрицательной (иначе двухполюсник не потреблял бы энергию, а генерировал ее), поэтому всегда cosj³0, т. е. на входе пассивного двухполюсника —p/2<j<p/2. Случай P=0, j=|p/2| теоретически возможен для двухполюсника, не имеющего резистивных элементов, а содержащего только индуктивные и емкостные.

Электрические машины и аппараты конструируют для работы при определенных значениях напряжения и тока. Поэтому их характеризуют не активной мощностью, зависящей от сдвига фаз j между напряжением и током, а полной мощностью

S=UI, (6.39)

равной произведению действующих напряжения и тока.

Очевидно, что полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжении и токе. Отметим также, что амплитуда гармонической составляющей мгновенной мощности (6.37) численно равна полной мощности. Размерность полной и активной мощностей одинаковая, однако единицу измерения мощности в применении к полной мощности называют вольт-ампер (В×А). Это позволяет при численном выражении полной мощности кратко говорить: мощность столько-то вольт-ампер, так как наименование единицы (вольт-ампер) сразу указывает, что речь идет о полной мощности.

Отношение активной мощности к полной, равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности:

Р/S=UIcosj/(UI)=cosj. (6.40)

Для лучшего использования электрических машин и аппаратов желательно иметь возможно более высокий коэффициент мощности или возможно меньший сдвиг по фазе тока относительно напряжения, т. е. стремиться получить cosj=1. Так, например, для питания приемника мощностью 10000 кВт при cosj=0,7 источник питания должен быть рассчитан на мощностькВ×А, а при cosj=1 — на 10000 кВ×А.

Высокий коэффициент мощности желателен также для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям. При данной активной мощности Р приемника ток в линии тем меньше, чем больше значение cosj:

I=Р/(Ucosj).

При расчетах электрических цепей находит применение так называемая реактивная мощность:

Q=UIsinj. (6.41)

Она положительна при отстающем токе (j>0) и отрицательна при опережающем токе (j<0). Единицу мощности в применении к измерению реактивной мощности называют вар (название происходит от сокращения слов «вольт», «ампер» и «реактивный»). Это отдельное наименование позволяет говорить вместо реактивная мощность просто мощность, равная стольким-то вар.

Активная, реактивная и полная мощности связаны соотношениями

. (6.42)

Для увеличения коэффициента мощности (cosj) приемника нужно, очевидно, уменьшать его реактивную мощность.

В то время как активная мощность определяет (в среднем) совершаемую работу или передаваемую энергию в единицу времени, полная и реактивная мощности не определяют ни совершаемой работы, ни передаваемой энергии за единицу времени. Однако в электроэнергетике по аналогии с понятием активной мощности приписывают реактивной мощности аналогичный смысл, а именно ее рассматривают как мощность отдачи, получения или передачи некоторой величины, которую, хотя она и не является энергией, условно называют реактивной энергией

WP=Qt

Размерность этой величины одинакова с размерностью энергии. Единицу измерения реактивной энергии называют вар-час; напомним, что энергия в электроэнергетике обычно измеряется в ватт-часах. Если наряду с энергией нужно рассматривать и реактивную энергию, то во избежание путаницы для внесения четкого различия этих двух понятий энергию называют активной.

На практике реактивная энергия, как и активная, измеряется счетчиками. При изменяющейся с течением времени нагрузке по показаниям счетчиком можно определить средний коэффициент мощности (cosj)СР, предварительно вычислив

(tgj)СР=WP/WA=QСРt/PСРt=QСР/PСР (6.43)

где WA — активная энергия; PСР и QСР — средние значения активной и реактивной мощностей.

Рассмотрим теперь простой прием, позволяющий найти активную и реактивную мощности при известных комплексных напряжении и токе. Он заключается в том, что нужно взять произведение комплексного напряжения U и комплекса I*, сопряженного с комплексным током I. Это произведение называют комплексной мощностью, которую обозначают S.

Пусть U=UÐyu, I=IÐyi, так что I*=IÐ‑yi; и S=UI*=UÐyu´IÐ‑yi=UIÐyu‑yi=UIÐj= =UIcosj+jUIsinj, т. е.

S=UI*=Р+jQ. (6.44)

Отсюда видно, что действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая часть — реактивной. Модуль комплексной мощности равен полной мощности S.

Из приведенных выше основных выражений для мощностей S, S, Р и Q получается ряд других выражений, в которые входят параметры пассивного двухполюсника или активные и реактивные составляющие тока и напряжения:

S=UI*=ZII*=ZI2; S=UI*=UY*U*=Y*U2; S=UI=zI2=yU2;

P=UIcosj=UaI=UIa=zI2cosj=rI2=yU2cosj=gU2;

Q=UIsinj=zI2sinj=xI2=yU2sinj=bU2.

Для абсолютного значения реактивной мощности справедливы также выражения

|Q|=UpI=UIp.

Из равенств S=UI, Р=UaI=UIa и |Q|=UpI=UIp следует, что стороны треугольников напряжений и токов пропорциональны мощностям S, Р и |Q|. Подобный им треугольник, стороны которого в произвольно выбранном масштабе равны мощностям S, Р и |Q|, называется треугольником мощностей.

МОЩНОСТИ РЕЗИСТИВНОГО, ИНДУКТИВНОГО И ЕМКОСТНОГО ЭЛЕМЕНТОВ

Вся энергия, поступающая в резистивный элемент, преобразуется в тепло. Принимая во внимание, что u=ri, мгновенную мощность можно представить в следующем виде:

p=ui=ri2

Ток совпадает по фазе с напряжением, j=0, cosj=1, и в соответствии с (6.37)

p=UI(1‑cos2wt). (6.45)

Мгновенная мощность колеблется в пределах от 0 до 2UI и не бывает отрицательной (рис. 6.18, а). Активная мощность равна полной мощности, а реактивная мощность равна нулю (sinj=0).

Мгновенные мощности поступления энергии в индуктивный и в емкостный элементы равны скоростям прироста энергии соответственно магнитного и электрического полей.

Действительно, для индуктивности

и для емкости

Так как для индуктивности j=p/2, а для емкости j=—p/2, то для обоих случаев из (6.37) получаем

. (3.46)

Здесь верхние знаки относятся к индуктивности, а нижние — к емкости.

Площади, ограниченные кривыми мгновенных мощностей и осями абсцисс (рис. 6.18,6 и в), пропорциональны энергии, которая поступает в индуктивный или емкостный элементы (отмечены знаком плюс) и возвращается источнику питания (отмечены знаком минус); эти площади равны друг другу. Происходит непрерывный обмен энергией между источником питания и соответственно между магнитным или электрическим полями.

Активные мощности у индуктивного и емкостного элементов равны нулю. Реактивная мощность, получаемая индуктивным элементом, положительна, а получаемая емкостным — отрицательна [sinj=sin(±p/2)=±1]. Отрицательная потребляемая реактивная мощность соответствует положительной отдаваемой. Следовательно, индуктивность можно рассматривать как потребитель реактивной энергии, а емкость — как ее генератор.

Реактивные мощности, получаемые индуктивным и емкостным элементами, можно выразить как произведения угловой частоты ω и максимальных значений энергии, периодически запасаемых соответственно в магнитном и электрическом полях:

WMmax=LIm2/2 и WЭmax=CUm2/2.

Действительно, для индуктивного элемента

QL=UIsin(p/2)=wLII=wLIm2/2=wWMmax (6.47)

и для емкостного

QC=UIsin(‑p/2)=‑wCUU=‑wCUm2/2=wWэmax. (6.48)

Отметим, что источники питания могут либо отдавать, либо получать реактивную мощность. Так, источник, питающий индуктивный элемент, отдает, а источник, питающий емкостный элемент, получает реактивную мощность.

БАЛАНС МОЩНОСТЕЙ

Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи соблюдается баланс как мгновенных, так и активных мощностей. Сумма всех отдаваемых (мгновенных и активных) мощностей равна сумме всех получаемых (соответственно мгновенных или активных) мощностей. Покажем, что соблюдается баланс и для комплексных, и, следовательно, для реактивных мощностей.

Пусть общее число узлов схемы равно n. Здесь будем под узлом понимать и место соединения любых двух элементов схемы (источников и приемников), а под ветвью — каждый участок схемы, содержащий один из ее элементов.

Напишем для каждого из n узлов уравнения по первому закону Кирхгофа для комплексов, сопряженных с комплексными токами:

I12*+I13*+...+I1n*=0;

I21*+I23*+...+I2n*=0;

In1*+In2*+...+In,n-1*=0;

Эти уравнения записаны в общей форме в предположении, что каждый узел связан со всеми остальными n—1 узлами. При отсутствии тех или иных ветвей соответствующие слагаемые в уравнениях выпадают. При наличии между какой-либо парой узлов нескольких ветвей число слагаемых соответственно увеличивается. Так, например, если между узлами 1 и 2 включены две ветви, то вместо I12* и I21* в уравнения войдут суммы I12’*+I12’’* I21’*+I21’’*.

Умножим каждое из уравнений на комплексный потенциал узла, для которого составлено уравнение, и затем все уравнения просуммируем. Учтем, что комплексы, сопряженные с комплексными токами, входят в эти уравнения дважды (для двух различных направлений), Причем I21*=—I12*, I31*=—I13* и т. д. В результате получим

(j1‑j2)I12*+(j1‑j3)I13*+...(jn‑1‑j n)In‑1,n*=0,

т. е. сумма комплексных получаемых мощностей во всех ветвях цепи равна нулю. Здесь все слагаемые представляют комплексные получаемые мощности, потому что они вычисляются для одинаковых положительных направлений напряжений (разностей потенциалов) и токов.

Полученное равенство выражает баланс комплексных мощностей. Из него следует равенство нулю в отдельности суммы получаемых активных мощностей и суммы получаемых реактивных мощностей. Так как отрицательные получаемые мощности представляют собой мощности отдаваемые, то можно утверждать, что суммы всех отдаваемых и всех получаемых реактивных мощностей равны друг другу.

Аналогичную формулировку можно придать и балансу комплексных мощностей. Перенеся часть слагаемых в правую часть уравнения с противоположным знаком, т. е. рассматривая их как мощности отдаваемые, убедимся в равенстве сумм комплексных получаемых и отдаваемых мощностей:

.

При равенстве сумм комплексных величин суммы их модулей в общем случае не равны друг другу. Отсюда следует, что для полных мощностей S баланс не соблюдается.

Получаемая пассивным двухполюсником реактивная мощность должна равняться сумме реактивных мощностей, получаемых индуктивными и емкостными элементами, которые составляют его схему:

.

Пользуясь соотношениями (6.47) и (6.48), получаем

. (6.49)

Часто вместо (6.48) принимают для реактивной мощности емкостного элемента

QC=wCUU=wCUm2/2=wWЭmax

при этом

но формула (3.49) не изменяется.

Заметим, что положения этого параграфа могут быть распространены и на цепи, между элементами которых имеются взаимные индуктивности, так как подобные цепи, как будет показано, можно свести путем преобразования к схемам, не содержащим взаимных индуктивностей.

ЗНАКИ МОЩНОСТЕЙ И НАПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕДАЧИ ЭНЕРГИИ

Пусть два активных двухполюсника А1 и А2 соединены друг с другом (рис. 6.19, а). Предположим, что передача энергии в зависимости от режима работы может происходить в любом направлении — и от А1 к А2, и от А2 к А1.

Выбранные положительные направления напряжения и тока (рис. 6.19, а) совпадают друг с другом в двухполюснике А2 и противоположны друг другу в двухполюснике А1. Поэтому мощности

p=ui и S=UI*=P+jQ

являются мощностями, получаемыми двухполюсником А2 и отдаваемыми двухполюсником А1. Если p>0, то в данный момент времени энергия передается от двухполюсника А1 к двухполюснику А2. Если Р>0, то за каждый период Т двухполюсник А2 получает, а двухполюсник А1 отдает энергию, равную РТ. При Q>0 двухполюсник А1 отдает, а двухполюсник А2 получает реактивную энергию. При p<0 энергия в данный момент передается в обратном направлении, при Р<0 энергия за каждый период поступает из двухполюсника А2 в двухполюсник А1. При Q<0 реактивную энергию отдает двухполюсник А2.

Для рассматриваемой цепи на рис. 6.19, б приведена векторная диаграмма напряжения и тока. При выбранном направлении вектора U в зависимости от режима цепи вектор тока I может находиться в любом квадранте диаграммы. На диаграмме выделены области расположения вектора I, соответствующие положительным и отрицательным значениям активной и реактивной мощностей. Так, для положения вектора I, показанного на диаграмме штриховой линией, Р>0 и Q<0. В этом режиме работы активная мощность передается от А1 к А2, а реактивная — от А2 к А1.

Рис. 6.19.

Рассмотрим теперь, как определяется направление передачи энергии по кривым мгновенных значений напряжения и тока, полученным экспериментально. На рис. 6.20, а показана схема включения осциллографа — прибора, на экране которого наблюдают эти кривые. Ординаты кривых пропорциональны мгновенным значениям напряжений, подводимых к выводам осциллографа с надписями «Напр.» и «Ток». Ток в цепи между двухполюсниками А1 и А2 регистрируется осциллографом косвенно, как напряжение на резисторе с небольшим сопротивлением, который включен в соединительные провода. Напряжение на этом сопротивлении пропорционально току и совпадает с ним по фазе. Знаками + и — отмечена полярность выводов осциллографа, при которой ординаты кривых положительны.

Рис. 6.20

Пусть наблюдаются кривые, или, как их называют, осциллограммы u и ur=ri, показанные на рис. 6.20, б.

Для решения вопроса о направлении передачи энергии укажем на схеме положительные направления напряжения и тока в соответствии с разметкой + и — выводов осциллографа. Положительные направления напряжения и тока, удовлетворяющие этому условию, совпадают для двухполюсника А2 и противоположны для двухполюсника А1. Следовательно, по кривым тока и напряжения, показанным на рис. 6.20, б, определяется мощность, получаемая двухполюсником А2, или мощность, отдаваемая двухполюсником А1. В те промежутки времени, когда ординаты кривых u и ur одного знака, энергия передается от А1 к А2, когда же знаки u и ur различны, энергия передается от А2 к А1. Из осциллограммы видно, что j»2p/3, следовательно, P=UIcosj<0 и Q=UIsinj>0. Таким образом, активная мощность передается от А2 к А1 а реактивная — от А1 к А2. Ясно, что направление передачи энергии может быть установлено по осциллограммам тока и напряжения только в том случае, если известна полярность выводов осциллографа и схема его подключения к цепи.

Активная мощность измеряется ваттметром, который имеет две цепи, или, как принято говорить, две обмотки — напряжения и тока. Два вывода, один — обмотки напряжения и один — обмотки тока, обозначают одинаковыми значками, обычно звездочками (рис. 6.21, а).

Ваттметр устроен так, что измеряет значение

UIcos(ÐU,I),

где U и I — действующие напряжение и ток, подведенные к ваттметру, а ÐU,I — угол сдвига фаз между ними, который соответствует одинаковым положительным направлениям U и I относительно выводов, отмеченных звездочкой (например, на рис. 6.21, а — от выводов, отмеченных звездочкой, к выводам, не отмеченным звездочкой). Стрелка ваттметра отклоняется по шкале, если |ÐU,I|<p/2, т. е. cos(ÐU,I)>0. Если же |ÐU,I|>p/2 и, следовательно, cos(ÐU,I)<0, то стрелка отклоняется не по шкале, а в противоположную сторону.

Рис. 6.21

На рис. 6.21,6 показаны два ваттметра, у которых обмотки тока включены различно. У ваттметра 1 вывод токовой обмотки, отмеченный звездочкой, находится слева, а у ваттметра 2 — справа. Как уже отмечено, ваттметры дают показания (стрелки отклоняются по шкале), если |ÐU,I|<p/2. Для ваттметра 1 это будет при передаче энергии от А1 к А2, а для ваттметра 2 — от А2 к А1. Таким образом, по показаниям ваттметра можно определить не только мощность, но и направление передаваемой энергии, нужно только знать разметку выводов ваттметра и как он включен в цепь.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПАССИВНОГО ДВУХПОЛЮСНИКА ПРИ ПОМОЩИ АМПЕРМЕТРА, ВОЛЬТМЕТРА И ВАТТМЕТРА

Существуют различные экспериментальные методы определения параметров пассивных двухполюсников. Рассмотрим метод, основанный на измерении тока, напряжения и активной мощности на входе двухполюсника.

Определив по приборам U, I и P, найдем

Z=U/I; y=I/U; r=P/I2; g=P/U2.

Затем вычислим абсолютные значения реактивных сопротивления и проводимости [см. (6.26) и (6.32)]:

.

Для определения знака x и b необходимо провести дополнительные измерения в измененных условиях. Можно, например, последовательно с двухполюсником включить конденсатор с емкостным сопротивлением xC и, проведя заново измерения, определить по приведенным выше формулам новое абсолютное значение реактивного сопротивления |x—xC|. Если реактивное сопротивление двухполюсника положительно и емкостное сопротивление конденсатора xC<|2x|, то очевидно, что |x—xC| <|x|; если же реактивное сопротивление x двухполюсника отрицательно, то |x—xC|>|x|. Таким образом, выбирая xC<|2x| и сопоставляя абсолютные значения x и (x—xC), можно определить знак x (знак b совпадает со знаком x).

Можно включить конденсатор параллельно двухполюснику и, проведя измерения, вычислить новое значение |b—bC|. Если выбрать bC<|2b|, то при |b—bC|<|b| проводимость b>0, а при |b—bC|>|b| проводимость b<0.

Во многих случаях последовательное или параллельное включение конденсатора практически не изменяет активного сопротивления или активной проводимости цепи. Поэтому увеличение или уменьшение, абсолютного значения реактивного сопротивления или проводимости приводит соответственно к увеличению или уменьшению полного сопротивления или проводимости и по изменениям их значений можно судить о знаке x и b.

Надо помнить, что параметры реальных цепей зависят от частоты и, будучи определены при одной частоте, не могут применяться для расчетов при других частотах.

УСЛОВИЯ ПЕРЕДАЧИ МАКСИМАЛЬНОЙ МОЩНОСТИ ОТ ИСТОЧНИКА ЭНЕРГИИ К ПРИЕМНИКУ

Представим источник энергии с ЭДС Е и внутренним сопротивлением ZBT=rBT‑jxBT схемой замещения (рис. 6.22). Выясним, каково должно быть сопротивление Z=r‑jx приемника, чтобы передаваемая ему активная мощность была максимальной.

Мощность приемника

P=rI2=rE2/[(r+rBT)2+(x+xBT)2]

Очевидно, что при любом r мощность достигает наибольшего значения при x=‑xBT. В этом случае

P=rE2/(r+rBT)2

Взяв от полученного выражения производную по r и приравняв ее нулю, найдем, что P имеет наибольшее значение при r=rBT.

Таким образом, приемник получает от источника наибольшую активную мощность, если его комплексное сопротивление является сопряженным с комплексным внутренним сопротивлением источника:

Z=ZBT*. (6.50)

При этом условии

РMAX=E2/(4rBT) (6.51)

и коэффициент полезного действия

h=rI2/[(r+rBT)I2]=

В электроэнергетических установках режим передачи максимальной мощности невыгоден вследствие значительных потерь энергии. В различного рода устройствах автоматики, электроники и связи мощности сигналов весьма малы, поэтому часто приходится специально создавать условия передачи приемнику максимально возможной мощности. Снижение КПД часто никакого значения не имеет, так как передаваемая энергия мала.

Согласование сопротивлений приемника и источника питания в соответствии с (6.50) можно получить и добавлением в цепь элементов, обладающих реактивными сопротивлениями.

Иногда сопротивление приемника можно изменять не произвольно, а только с сохранением соотношения между активным и реактивным сопротивлениями, т. е. при j=const. Анализ, который здесь не приводится, показывает, что в этом случае мощность P максимальна, если равны друг другу полные сопротивления приемника и источника (z=zBT), при этом

P’MAX=E2cosj/{2zBT[1+cos(jBT‑j)]}. (6.53)

Согласования полных сопротивлений приемника и источника питания можно добиться, включив приемник через трансформатор. В общем случае приемника — разветвленной пассивной цепи Z — это ее входное сопротивление.

ПАРАМЕТРЫ И ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ КОНДЕНСАТОРОВ

При низких частотах конденсаторы можно рассматривать как емкостные элементы. При высоких частотах играют существенную роль потери энергии в изоляции. Эти потери растут с увеличением частоты тока и зависят от материала изоляции. Например, бумажная изоляция, которая применяется для конденсаторов, устанавливаемых в цепях низких и звуковых частот, оказывается непригодной при высоких частотах, так как потери энергии в ней приводят к недопустимому нагреву.

Энергия, преобразуемая в тепло в изоляции конденсаторов, подводится от источника питания, поэтому ток в конденсаторе опережает по фазе напряжение на его выводах на угол |j|, меньший p/2 (рис. 6.25). Угол, дополняющий |j| до p/2, обозначают буквой d и называют углом потерь.

Для конденсатора, как и для любого двухполюсника, можно составить две схемы замещения (рис. 6.26), в которых g и r учитывают потери энергии в диэлектрике.

Обычно угол потерь d очень мал. Величина tgd для различных частот и диэлектриков лежит в пределах от 10‑4 до 10‑1. При таких условиях g<<wС и r<<1/(wС1). Поэтому практически можно считать

y=wС и z=1/(wС1),

и так как yz=1, то С=С1 т. е. емкости C и С1 обеих схем практически одинаковы.

Связь между r и g найдем из общих соотношений между сопротивлениями и проводимостями (6.36):

r=g/y2»g/w2С2.

На практике конденсатор характеризуют параметрами С и tgd. Для параллельной эквивалентной схемы (рис. 6.26, а)

tgd=Ia/Ip=gU/(wСU)=g/bC. (6.54)

Для последовательной эквивалентной схемы (рис. 6.26,6)

tgd=Ua/Up=rI/[I/(wС1)]»r/[1/(wС)].

Величину, обратную tgd, называют добротностью конденсатора:

Q=1/tgd=wС/g=1/(wСr)=|tgj|. (6.55)

ПАРАМЕТРЫ И ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ КАТУШЕК ИНДУКТИВНОСТИ И РЕЗИСТОРОВ

При низкой частоте, например при 50 Гц, эквивалентная схема катушки индуктивности (рис. 6.27, а) состоит из последовательно соединенных резистивного и индуктивного элементов (эту схему можно, конечно, заменить схемой, состоящей из параллельно соединенных активной и реактивной проводимостей). Из векторной диаграммы (рис. 6.27, б) следует, что

tgd=Ua/Up=rI/(IwL)=r/(wL). (6.56)

Добротность катушки

Q=1/tgd=wL/r=tgj. (6.57)

Сопротивление катушки увеличивается с ростом частоты вследствие поверхностного эффекта и главным образом — эффекта близости. Поэтому в общем случае добротность катушки не пропорциональна частоте. В некотором диапазоне изменения частот можно считать, что значение Q остается почти постоянным.

При высоких частотах нельзя пренебрегать емкостями между витками. Эти так называемые межвитковые емкости условно показаны на рис. 6.28 штриховой линией. Чем выше частота, тем меньше емкостные сопротивления между витками. Токи в витках катушки получаются неодинаковыми. Найти распределение тока в катушке при высокой частоте нелегко. При достаточно высоких частотах из-за межвитковых емкостей эквивалентное реактивное сопротивление катушки может даже стать емкостным.

Применяемые на практике проволочные резисторы обладают всегда некоторой индуктивностью, и, кроме того, между отдельными витками имеется емкость. При достаточно низких частотах индуктивности и емкости практически никакого влияния не имеют и в расчетах не учитываются.