Точные константы в неравенствах для промежуточных производных

Антон Луньов

Донецький національний університет

(науковий напрям: Математика і механіка)

Точные константы в неравенствах для промежуточных производных

Ключевые слова: Соболевское пространство, линейный функционал, теорема Рисса, дифференциальное уравнение, матрица Вандермонда.

1. Вступительная часть

В данной работе рассматривается частный случай одного общего класса экстремальных задач, которым в последние годы уделяется большое внимание. Речь пойдет о неравенствах для производных на прямой или полупрямой. Общая постановка задачи такова. Пусть либо полупрямая , либо вся прямая , целые числа, вещественные числа. Рассмотрим общую экстремальную задачу

(1)

Естественно предполагать, что

Здесь, как обычно, , а – соболевское пространство, состоящее из всех (комплекснозначных) функций , определенных на , имеющих абсолютно непрерывную производную порядка на любом отрезке и обладающих конечной нормой

(2)

Задачу (1) называют общей задачей о неравенствах для производных. Основной интерес представляет случай так что (1) приобретает вид

(3)

При некотором соотношении между возможны неравенства вида

(4)

Задачу о нахождении наилучшей константы в неравенстве (4) называют задачей о неравенстве типа Колмогорова. Неравенство (4) с наилучшей константой называют точным.

Неравенство типа Колмогорова естественно возникает при исследовании разнообразных задач теории приближений. В особенности это относится к задаче Стечкина о приближении неограниченных операторов.

Точные константы в неравенствах Колмогорова известны в небольшом числе случаев. В пяти случаях (для специальных , и ) они найдены для любых и (см. [10]).

В случае , задача (3) равносильна задаче выпуклого программирования

Которая, в свою очередь, равносильна задаче поиска наилучших, т. е. наименьших возможных, констант в неравенстве

(5)

В случае эти константы найдены для всех и и для прямой, и для полупрямой.

Случай был рассмотрен [9] (см. также [10]). Он получил простую явную формулу для чисел . А именно

Случай полуоси оказался значительно труднее для исследования. В частности, [1] (см. также [10]) нашел функции (в виде линейных комбинаций убывающих экспонент), экстремальные для неравенств (5). Однако неявно определяемые этим результатом числа не были вычислены эффективно.

исследовал эту задачу в работах [2], [3]. В недавней работе [4] он нашел явные формулы для констант . Именно, он доказал следующий результат.

Теорема 1 [4]. Для каждого наименьшая константа в неравенствах выражается формулой

(6)

Формулы (6) позволяют исследовать многие свойства констант . Например, из них очевидно следует симметричность: и общие свойства констант при фиксированном : они ведут себя так же регулярно, как биномиальные коэффициенты , которые монотонно возрастают по при (см. [4]). Отметим также некоторые асимптотические формулы для этих констант, полученные в [4]:

где и Из них, в частности следует, что

В настоящей работе мы предлагаем элементарное доказательство теоремы 1, базирующееся на другой идее. Именно, наше доказательство существенно опирается на теорему Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве. Мы вычисляем норму функционала , реализуя его в виде и вычисляя норму элемента . Более того, теорема Рисса позволяет заменить квадрат нормы этого элемента значением функционала на нём, то есть вместо интеграла в (2) вычислять -тую производную в нуле . Отметим также, что в результате вычисления этой производной была найдена явная формула для матрицы, обратной к матрице типа Вандермонда (лемма 4).

Автор выражает глубокую благодарность за постановку задачи, а также идею доказательства (использовать теорему Рисса). Автор также признателен и за ряд ценных замечаний и внимание к работе.

2. Основная часть – доказательство теоремы

Рассмотрим в линейный функционал . Тогда искомая константа является, очевидно, нормой этого функционала. Как известно, – гильбертово пространство со скалярным произведением

(7)

По теореме Рисса об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве существует единственная функция такая, что

(8)

при этом, . Используя равенство (8), получим

(9)

Реализация функционала

Найдем функцию , реализующую функционал по формуле (8). Согласно (8), учитывая определение и равенство (7), получим:

(10)

Предположим вначале, что . Интегрируя по частям раз второе слагаемое в правой части (10) и учитывая, что для функции из исчезают на бесконечности вместе со своими производными до порядка , получим:

(11)

Равенство (11) выполняется для всех функций тогда и только тогда, когда функция – решение задачи

(12)

(13)

где – символ Кронекера.

Общее решение уравнения (12), исчезающее на бесконечности имеет вид

(14)

где – корни уравнения , лежащие в левой полуплоскости :

(15)

Используя (13) и (14), приходим к системе линейных уравнений для :

(16)

Обозначим . Ясно, что – невырожденная матрица Вандермонда. Пусть . Решая систему (16), получим

(17)

Таким образом, задача (12)-(13) имеет решение. Поэтому найденная функция реализует функционал по формуле (8).

Некоторые вспомогательные утверждения.

Введем еще некоторые обозначения:

– элементарный симметрический многочлен степени от переменных .

Обобщенный биномиальный коэффициент:

где , при , , , а при и считаем по определению .

Нам понадобятся некоторые алгебраические утверждения.

Лемма 1 [6, стр. 72]. Пусть и при . Тогда справедливо равенство

Лемма 2. Пусть и при . Тогда для всех справедливо равенство

Лемма 3. Пусть – различные комплексные числа. Тогда матрица обратима и если , то

где , а

Лемма 4. Пусть и при . Тогда матрица обратима и если обозначить , то

где

Лемма 5. Пусть и . Тогда для любого допустимого выполняется равенство

Вывод формулы для .

Используя (9), (17) и (15), получим

(18)

Так как , то и при . Значит, по лемме 4 получим

Откуда по формуле (18) после очевидных преобразований, получим:

Во внутренней сумме воспользуемся леммой 1 при и , а во внешней сумме сделаем замену . Тогда

Из леммы 2 при получим, что . Поэтому

Так как то

Из леммы 5 при следует, что

Но . Поэтому формула (6) доказана.

3. Выводы

Точные константы в неравенствах типа Колгоморова для промежуточных производных имеют применение в различных вопросах математического анализа и теории функций: теоремы вложения, спектральный анализ дифференциальных операторов и т. д.

Представленный метод получения точных констант базируется на теореме Рисса и позволяет существенно упростить технику вычисления: заменить "неподъемный" интеграл (см. [10, стр. 123]) на вполне вычислимую производную .

Получена явная формула для обратной матрицы к матрице типа Вандермонда (лемма 4), которая может быть полезна при решении задачи Коши для линейного дифференциального уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами.

Список литературы

1.  О наилучшем приближении оператора дифференцирования на полуоси. Математические заметки, 6, №5, 573-

2.  Калябин операторы продолжения для соболевских пространств на полупрямой. Функциональный анализ и его приложения, 36, вып. 2, 28

3.  О точных константах в неравенствах Колмогорова для пространств Соболева . Доклады РАН, 388, №2, 159-

4.  Калябин константы в неравенствах для промежуточных производных. Функциональный анализ и его приложения, 38, вып. 3, 29

5.  и Акилов анализ в нормированных пространствах. Физматгиз. 1961.

6.  Кречмар по алгебре. Издание шестое. Наука, М., 1968.

7.  Проскуряков задач по линейной алгебре. Издание шестое. Наука, М., 1978.

8.  Соболев применения функционального анализа в математической физике. ЛГУ. 1950.

9.  Тайков колмогоровского типа и наилучшие формулы численного дифференцирования. Математические заметки, 4, №2, 233-

10.  Тихомиров вопросы теории приближений. Издательство МГУ, М., 1976.