Метод решения функциональных уравнений

Метод решения функциональных уравнений.

Теоретический материал.

Методы решения функциональных уравнений основаны на следующих теоремах:

Теорема 1. Корни уравнения, являются корнями уравнения .

Теорема 2. Если - возрастающая функция на отрезке , то на данном отрезке уравнения и равносильны.

Следствие 1. Если функция возрастает для любого , уравнения и равносильны.

Следствие 2. Если функция возрастает на своей области определения, уравнения и равносильны.

Теорема 3. Если - убывающая функция на отрезке , то на данном отрезке уравнения и равносильны.

Следствие 3. Если функция убывает для любого нечетное, уравнения и равносильны.

Следствие 4. Если функция убывает на своей области определения и нечетное, уравнения и равносильны.

Теорема 4. Если - возрастающая(или убывающая) функция на области допустимых значений уравнения , то уравнения и равносильны.

Следствие 5. Если - возрастающая(или убывающая) функция на области допустимых значений функций , то уравнения и равносильны.

Теорема 5. Если четная функция определена на отрезке и возрастает (или убывает) при , то на данном отрезке уравнение равносильно совокупности уравнений и при условии, что и .

Задачи и решения.

Алгебраические уравнения и системы.

1.  Решите систему уравнений:

Решение: Перепишем уравнение в виде. Из первого уравнения системы следует, что . Введем в рассмотрение функцию , определенную при . В это случае систему уравнений можно представить в виде функционального уравнения: . Так как при функция является возрастающей и при этом , то уравнения и равносильны. Получим, что . Поучаем квадратное уравнение . Однако , поэтому . Тогда .

Ответ:

2.  На самостоятельное решение. Решите систему уравнений: . Ответ: решения нет.

3.  На самостоятельное решение. Решите систему уравнений: . Ответ: (0; 0; 0), .

4.  Решите уравнение

Решение: Пусть , тогда уравнение можно переписать в виде . Рассмотрим уравнение , корни которого являются корнями уравнения . Уравнение , принимает вид , . Корнями уравнения являются . Полученные корни являются корнями. Для поиска других корней уравнения представим его в виде: . Так как уравнение имеет корни , разделим данное уравнение на Получим , которое корней не имеет. Ответ:

5.  (2x+1)(2+ )+3x(2+ )=0

Введем f(x) = x(2+ ), тогда исходное уравнение примет вид:

f(2x +1)+ f(3x)=0

f(x) – нечетная функция, f(2x +1)= –f(3x) <=> f(2x+1)= f(–3x)

Далее, при x 0, функция f(x) равна произведению двух возрастающих функций => f(x)возрастающая при x 0.

В силу нечетности функция f(x) возрастает при x < 0 => f(x) – возрастает для всех х.

f(2x+1)= f(–3x)

2x+1= –3x

5x= –1

x= – Ответ: x= – .

6. 

Решение:

Замечаем, что х = 1 — корень уравнения.

Функция у = и функция у = возрастают в области определения уравнения, то есть на луче

. Преобразовать уравнение к такому виду, чтобы одна часть представляла собой убывающую, а другая — возрастающую функцию, не удается.

Поступим по-другому. Найдем производные функций:

у1 = и у2 =

и вычислим их в точке х = 1 (в точке пересечения графиков этих функций). Имеем:

, . Далее, , .

Так как =, то графики функций ух(х), у2{х) имеют общую касательную в точке (1;1). Но поскольку функция у2(х) выпукла вниз, а функция у1(х) выпукла вверх, то их графики расположе­ны по разные стороны от общей касательной, а потому уравнение у1(х) = y2(x) имеет только один корень.

Итак, х = 1 - единственный корень уравнения.

Показательные, логарифмические и тригонометрические уравнения и неравенства.

7.  Решите систему уравнений:

Решение: Из первого уравнения системы получим уравнение . Пусть , тогда получим функциональное уравнение . Так как , то функция возрастает на всей числовой прямой, поэтому уравнение равносильно уравнению . Из второго уравнения данной системы получим . Так как , то .

Ответ: (2, 2), (-2, -2).

8.  Решите уравнение: .

Решение: Обозначим . Тогда уравнение можно переписать в виде функционального уравнения . Поскольку - функция нечетная, то . Для . Так как и , то функция - возрастает на области значений и поэтому . Получим . отсюда получаем кубическое уравнение , которое имеет единственный корень.

Ответ:.

9.  На самостоятельное решение. Решите уравнение:.

Ответ:.

10.  На самостоятельное решение. Решите уравнение: .

Ответ: , n – целое число.

11.  Решите уравнение: .

Решение: Обозначим . Тогда уравнение можно переписать в виде функционального уравнения. Функция возрастает на всей числовой прямой, поэтому уравнение равносильно , т. е. , квадратное уравнение имеет два корня .

Ответ: .

Задачи с параметрами на применение функционального метода.

1.  Найдите все a, при которых уравнение

(*) Имеет единственное решение.

Решение:

1)  Если x0 – корень уравнения, то и - корень.

Он один, когда x0 = => => (*) :

х = 1: (D < 0 => a )

x = –1 подозрительны.

• Проверим:

Пусть x = tg , t (– π; 0) (0; π) ОДЗ: sin≠0

(**)

f1 (t) будем рассматривать как суперпозицию функций

g(u)=cosu при изменении

(t)=ctgt,

- для t (– π; 0), то (t) монотонно убывает от + до – =>

f(t) совершает колебания от (–1) до (1), при этом

- для t (0; π) в силу четности f1(t) ситуация аналогична

u(t)= sint

График функции поэтому при t (– π; π)

f2 (t) сначала возрастает от f2 (– π) = 0 до , затем убывает от до

, потом опять возрастает от до f2 (π ) = 0.

Значит уравнение (**) имеет более одного корня при t (– π; 0) (0; π), т. о. не годно.

• Проверим:

(***)

При t (– π; 0) (0; π) функция y = cos(2ctgt) принимает значение y [-1;1],

a функция принимает значения y [1;2]\ , c учётом ОДЗ

(***) <=> => t= , t (– π; 0) (0; π) этот корень годен и для первого уравнения системы.

Ответ:

2.  Решить систему уравнений

Решение:

Вычтем из первого уравнения второе. Получим .

Рассмотрим функцию f(t)= . Она возраста­ющая. Имеем f(x) = f(y). Следовательно, x = y. Отсюда . Это уравнение равносильно системе:

Очевидно, что

Ответ: Если , то x=y=;

Если а < b + 1, то решений нет.

3. При каких а уравнение имеет ровно три корня?

Решение:

Возможно, присутствие в данном уравнении повто­ряющихся выражений (имеется в виду

|х - а|, х2 - 2х ) послужит подсказкой для следующих преобразований:

Это уравнение следует «прочесть» так: левая и правая части — значения возрастающей функции y=2tlog3t соответственно при и . (Функцию у = 2tlog3t мы рассматриваем на области определения т. е. на промежутке возрастания). Отсюда х2 - 2х + 3 = 2|х - а| + 2,

(x -1)2=2|x - a|.

Последнее уравнение должно иметь три корня. Искомое значение параметра можно получить, проведя дальнейшее исследование аналитически. Однако графический подход приведет к результату много быстрее. Поэтому мы прервем решение этой задачи и вернемся к нему в § 3.