Линейные программы

Линейные программы

1.  Написать программу, которая описывает как вещественные переменные и вводит с клавиатуры расстояние и время равномерного движения тела, рассчитывает и выводит на экран значение его скорости, с 3 знаками до и 4 знаками после десятичной запятой. (4 балла)

Решение:

Program Pr11;

var v, t,s:real;

begin

read(s, t);

v:=s/t;

writeln('v=',v:8:4);

end.

2.  Написать программу, которая описывает как целую переменную tC (температура по Цельсию) и вещественные переменные tR, tF (температуры по Реомюру и Фаренгейту). Программа вводит tC с клавиатуры, рассчитывает и выводит tR, tF с одним знаком после запятой по формулам tR=0.8∙tC ; tF=9∙tC/5+32.

Решение

Program Pr12;

var tR, tF:real;

tC:integer;

begin

read(tC);

tR:=0.8*tC;

tF:=9*tC/5+32;

writeln('tR=',tR:5:1,' tR=',tF:5:1);

end.

3.  Написать программу, которая описывает как целые переменные и вводит с клавиатуры длины сторон прямоугольника, рассчитывает и выводит на экран значение периметра (переменная вещественного типа) с двумя знаками после запятой

Решение

Program Pr13;

var p:real;

a, b:integer;

begin

read(a, b);

p:=2*(a+b);

writeln('p',p:5:2);

end.

4.  Написать программу, в которой описываются вещественные переменные x, y,d вводит с клавиатуры координаты точки x, y, рассчитывает расстояние d от нее до точки (1,3) и выводит на экран значение d с двумя знаками до и после запятой.

Решение

Program Pr13;

var x, y,d:real;

begin

read(x, y);

d:=sqrt(sqr(x-1)+sqr(y-3));

writeln('d=',d:5:2);

end.

Условный и составной оператор.

Написать оператор, который при условии x2≤2 , печатает на экране значение х и текст: «x вне диапазона». Если условие не выполняется, то рассчитывает значение переменной и печатает её значение.

Решение

if x*x<=2 then writeln(x,' x вне диапазона')

else

begin

f:=sqrt(1e-5*(x*x-2));

writeln(f);

end;

Написать оператор, который при условии 2<x<10 , рассчитывает значение переменной и печатает её.

Решение

if (2<x) and (x<10) then

begin

f:=1e6*exp(2*x)*sin(x);

writeln(f);

end;

Написать оператор, который при условии x>2 или х=3у+1 , вводит с клавиатуры переменную m и печатает значение выражения 10-17(m+2m2), если условие не выполняется, то выводит на экран значение х.

Решение

if (x>2) or (x=3*y+1) then

begin

read(m);

z:=1e-17*(m+2*m*m);

writeln(z);

end

else writeln(x);

Написать оператор, который при условии x≠0 , вводит с клавиатуры переменную а, рассчитывает и печатает значение выражения f=a∙sin(a/x) если условие не выполняется, то рассчитывает переменную r=(2x-1)(5-x) и печатает ее значение. (2 балла).

Решение

if x< >0 then

begin

read(a);

f:=a*sin(a/x);

writeln(f);

end

else

begin

r:=(2*x-1)*(5-x);

writeln(r);

end;

Суммы рядов.

Написать оператор, который находит сумму чисел 8+…+32

Решение

s:=0;

for i:=4 to 16 do s:=s+2*i;

Написать оператор, который находит сумму чисел 11+3+5+7+…+33

Решение

s:=11;

for i:=1 to 16 do s:=s+2*i+1;

Написать оператор, который находит сумму целых чисел от -15 до 0

Решение

s:=0;

for i:=15 downto 0 do s:=s-i;

или

s:=0;

for i:=-15 to 0 do s:=s+i;

Написать оператор, который находит произведение нечетных чисел от 2 до 20

Решение

p:=1;

for i:=1 to10 do p:=p*2*i;

Графика

Написать фрагмент программы, который рисует в правом верхнем углу экрана синий квадрат внутри красного прямоугольника(цвета №1,4)

setcolor(1);

rectangle(800,50,850,100);

setcolor(4);

rectangle(700,20,950,120);

Написать фрагмент программы, который рисует в центре экрана синюю окружность (цвет №1) и в ее центре –красную точку (цвет №4)

setcolor(1);

circle(500,300,50);

putpixel(500,300,4);

Написать фрагмент программы, который рисует в левом нижнем углу экрана крест.

line(200,100,300,100);

line(250,50,250,150);

Написать операторы, которые устанавливают графический режим.

uses graph;

var gd, gr:integer;

begin

gd:=detect;

initgraph(gd, gr,' ');

Массивы.

Написать оператор, который вводит с клавиатуры одномерный массив В из 30 элементов, начиная с нулевого

Решение

for i:=0 to 29 do

read(B[i]);

Написать оператор, который выводит на экран ненулевые элементы одномерного массива mas из 20 элементов.

Решение

for i:=1 to 20 do

if mas[i]<>0 then writeln(mas[i]);

Написать оператор, который выводит на экран в столбик номера и значения элементов одномерного массива mas из 30 элементов.

Решение

for i:=1 to 30 do

writeln(i, mas[i]);

Написать оператор, который описывает массив num из 100 элементов, индекс первого элемента равен 10.

Решение

var num: array[10..109] of real;

Подпрограммы

Написать программу с подпрограммой. В основной программе вводятся координаты вершин пятиугольника и находится его периметр. Длины сторон находятся с помощью подпрограммы.

Решение

Program Prim61;

function dlina(xa, ya, xb, yb:real):real;

begin

dlina:=sqrt(sqr(xa-xb)+sqr(ya-yb));

end;

var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,s1,s2,s3,s4,s5,p:real;

begin

read(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5);

s1:=dlina(x1,y1,x2,y2);

s2:=dlina(x2,y2,x3,y3);

s3:=dlina(x3,y3,x4,y4);

s4:=dlina(x4,y4,x5,y5);

s5:=dlina(x1,y1,x5,y5);

p:= s1+s2+s3+s4+s5;

writeln('p=',p);

end.

Написать программу с подпрограммой. Основная программа вводит с клавиатуры ускорения и время движения двух тел и выводит значение расстояний, на которые они переместились за это время (начальные скорости равны нулю). Значение расстояния вычисляется в подпрограмме.

Решение

Program Prim62;

function Ras(a, t:real):real;

begin

Ras:=a*t*t/2;

end;

var a1,t1,s1,a2,t2,s2:real;

begin

read(a1,t1);

read(a2,t2);

v1:= Ras (a1,t1);

v2:= Ras (a2,t2);

writeln('s1=',s1,' s2=',s2);

end.

Написать программу с подпрограммой. Основная программа вводит с клавиатуры координаты двух точек, вычисляет и выводит на экран расстояние между точками и от каждой до начала координат. Расстояния между точками находятся с помощью подпрограммы.

Решение

Program Prim61;

function dlina(xa, ya, xb, yb:real):real;

begin

dlina:=sqrt(sqr(xa-xb)+sqr(ya-yb));

end;

var x1,y1,x2,y2,a, b,c:real;

begin

read(x1,y1,x2,y2);

a:=dlina(x1,y1,0,0);

b:=dlina(x2,y2,0,0);

c:=dlina(x1,y1,x2,y2);

writeln('до начала координат r1=',a,' r2=',b);

writeln('между точками r=',c);

end.

Написать программу с подпрограммой. В основной программе ввести с клавиатуры значения переменных а и b. С помощью обращения к подпрограмме найти значения выражений a+b, 2a-b и вывести на экран. Подпрограмма рассчитывает сумму чисел.

Решение

Program Prim61;

function sum(c, d:real):real;

begin

sum:=c+d;

end;

var a, b,s1,s2:real;

begin

read(a, b);

s1:=sum(a, b);

s1:=sum(2*a,-b);

writeln('a+b=',s1,' 2a-b=',s2);

end.

Численное интегрирование

Записать численную схему нахождения значения определенного интеграла методом прямоугольников слева

Решение:

В данном интеграле пределы интегрирования а=1, b=10. Возьмем число разбиений n=100. Тогда номера точек i=0..100. Шаг численного интегрирования и

Подынтегральная функция:

В методе прямоугольников слева искомый интеграл рассчитывается по формуле

Окончательно записываем численную схему для вычисления данного интеграла методом прямоугольников слева:

Записать формулу метода прямоугольников справа для интеграла

Решение:

В данном интеграле пределы интегрирования а=-1, b=2. Возьмем число разбиений n=100. Тогда номера точек i=0..100. Шаг численного интегрирования и

Подынтегральная функция

Записать формулу метода трапеций для интеграла

Решение:

В данном интеграле пределы интегрирования а=0.5, b=0.7. Возмем число разбиений n=100. Тогда номера точек i=0..100. Шаг численного интегрирования и

Подынтегральная функция

Записать численную схему нахождения значения определенного интеграла методом прямоугольников справа

Решение:

Шаг h=(2с-с)/n=с/n=0,01с (n-число разбиений, например, n=100).

Переменная интегрирования .

Значение хi используется для вычисления значения функции:

Численная схема для вычисления данного интеграла методом прямоугольников справа:

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Написать, что является решением данного дифференциального уравнения. Выбрать начальные условия для задачи Коши. Записать схему Эйлера для данного ОДУ х+yх’=y. Найти значения искомой функции в точках с номерами 0 и 1.

Решение :

Решением является функция x(y). Задача Коши, x(2)=1.

Для записи схемы Эйлера, выразим производную

Схема Эйлера

y0=2, x0=1 (из задачи Коши).

Из схемы Эйлера для i=0: y1=2+h; x1=1+h(2-1)/2=1+0.5h

Написать, что является решением данного дифференциального уравнения. Выбрать начальные условия для задачи Коши. Записать схему Эйлера для данного ОДУ z'=-(z+y)y Найти значения искомой функции в точках с номерами 0 и 1.

Решение :

z'=-(z+y)y

Решением является функция z(y). Задача Коши, z(1)=4.

Схема Эйлера

y0=1, z0=4 (из задачи Коши).

Из схемы Эйлера для i=0: y1=1+h; z1=4-h(4+1)*1=4-5h

Написать, что является решением данного дифференциального уравнения. Выбрать начальные условия для задачи Коши. Записать схему Эйлера для данного ОДУ xy”=y’- cos(y). Найти значения искомой функции в точках с номерами 0 и 1.

Решение 3:

Решением является функция y(x).

Задача Коши: у(1)=3; y’(1)=2;

Выразим старшую производную у”=(y’-cos(y))/x.

Делаем замену y’=z, получаем систему

Схема Эйлера

x0=1, y0=3, z0=2 (из задачи Коши).

Из схемы Эйлера для i=0:

x1=1+h; y1=3+2h; z1=2+h(2-cos(3))/1;

Написать, что является решением данного дифференциального уравнения. Выбрать начальные условия для задачи Коши. Записать схему Эйлера для данного ОДУ z”+yz’=y-z Найти значения искомой функции в точках с номерами 0 и 1.

Решение:

Решением является функция z(y).

Задача Коши: z(0)=1; z’(0)=2;

Выразим старшую производную z”=y-z-yz’.

Делаем замену z’=t, получаем систему

Схема Эйлера

y0=0, z0=1, t0=2 (из задачи Коши).

Из схемы Эйлера для i=0:

y1=h; z1=1+2h; t1=2+h(0-1-0*2)=2-h;

Интерполяция полиномом Лагранжа

Даны узлы интерполяции (-1,2),(2,3),(3,6),(4,7),(5,9). Записать формулу интерполяционного полинома Лагранжа, проходящий через 5 точек. Чему равно значение полинома при х=4?

Решение:

0

0

при x=х3=4:

 

0

Даны узлы интерполяции (-2,4),(3,6),(4,7),(6,9). Записать интерполяционную формулу полнома Лагранжа, являющегося параболой. Указать, через какие точки проходит этот полином.

Решение:

Параболой (полиномом 2го порядка, у=ах2+bx+c) является полином, проходящий через 3 точки, например:

Он проходит через точки (3,6),(4,7),(6,9). Например, для x=x1=3:

Даны узлы интерполяции (-1,2),(2,3),(3,6). Записать формулы интерполяционных полиномов Лагранжа, проходящих через 2 первые и через 3 точки. Какова степень этих полиномов?

Решение:

Полином, проходящий через 2 точки, является полиномом 1-й степени (прямой):

Полином, проходящий через 3 точки, является полиномом 2-й степени (параболой):

Даны узлы интерполяции (-1,2),(0,1),(2,3),(4,4),(5,7). Записать интерполяционную формулу полиномов Лагранжа, проходящих через 3 и 4 первые точки. Будут ли оба полинома проходить через точку (4,4)?

Решение:

Полином, проходящий через 3 точки:

Полином, проходящий через 4 точки:

при x=х3=4:

Значит, этот полином не проходит через точку (4,4).

Значит, этот полином проходит через точку (4,4).

Решение СЛАУ методом Гаусса

1.  Записать решение СЛАУ методом Гаусса:

Решение:

Прямой ход метода Гаусса

Преобразуем 2 и 3 уравнения так, чтобы коэффициенты при х1 стали равны 0. Для этого будем использовать 1 уравнение.

1 уравнение разделим на а11, умножим на а21 и вычтем из второго уравнения. Т. е. (2)-(1)* а21/ а11 :

1 уравнение разделим на а11, умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения. Т. е. (3)-(1)* а31/ а11 :

Перепишем систему в преобразованном виде:

Преобразуем 3 уравнение так, чтобы коэффициент при х2 стал равен 0. Для этого будем использовать 2 уравнение.

2 уравнение разделим на а22, умножим на а32 и вычтем из третьего уравнения. Т. е. (3)-(2)* а32/ а22 :

Перепишем систему в преобразованном виде:

Матрица коэффициентов приведена к треугольному виду. Прямой ход метода Гаусса закончен.

Обратный ход метода Гаусса.

Найдем значения неизвестных:

2.  Записать решение СЛАУ методом Гаусса:

3.  Записать решение СЛАУ методом Гаусса:

4.  Записать решение СЛАУ методом Гаусса: