На правах рукописи
ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ В ИССЛЕДОВАНИИ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ
БАЛОК, ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК
Специальность: 05.13.18 – Математическое моделирование, численные
методы и комплексы программ
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени
кандидата физико-математических наук
Саратов 2009
Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».
Научный руководитель: | доктор технических наук, профессор |
Официальные оппоненты: | доктор физико-математических наук, профессор |
доктор физико-математических наук, профессор | |
Ведущая организация: | Институт проблем точной механики и управления РАН, г. Саратов |
Защита состоится « 3 » февраля 2010 г. в 13-00 на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» Саратов, , Саратовский государственный технический университет, корп.1, ауд. 319.
С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».
Автореферат разослан « 30 » декабря 2009 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы.
Вейвлет-анализ был предложен Гроссманом и Морле в начале 1980-х и развит в работах Ньюлэнда, Чуи, Добеши. В настоящее время это направление науки активно развивается и находит все новые приложения: обработка и синтез сигналов; анализ изображений различной природы; изучение свойств турбулентных полей; свертка (упаковка) больших объемов информации, решение интегральных и дифференциальных уравнений (в работах У. Лепика).
В качестве модельных для исследования хаотических колебаний часто исследуются системы Дуффинга, Лоренца и Ван-дер-Поля, чему посвящены работы Ghanem, Romeo, Ribeiro, Xiaoping Yuan. В работе Moslehy показано, как изменение параметров уравнения Дуффинга может приводить к хаотическим режимам колебаний, а у Konishi в качестве управляющего параметра выступает величина внешней силы. В работах Ü. Lepik вейвлеты Морле, Хаара, мексиканской шляпы применяются для исследования колебаний механических систем, однако исследуются системы с числом степеней свободы не более двух (в том числе осциллятор Дуффинга), что позволяет применять к исследованию последних аналитические преобразования; применяются также дискретное вейвлет-преобразование и вейвлет-пакеты.
Вейвлет-анализ в механике твердого тела применялся Ghanem, Romeo, Jeong. Permann и Hamilton исследуют осциллятор Дуффинга с использованием вейвлетов Добеши, а Zheng Jibing, Gao Hangshan, and Guo Yinchao для исследования вибраций роторной системы используют вейвлеты Ньюлэнда. Используя вейвлет Морле, Wong and Chen рассмотрели случай, когда частота гармонических колебаний системы изменяется во времени. Поэтому особый интерес представляет использование непрерывного вейвлет-преобразования, которое позволяет вести анализ одновременно в частотном и временном пространстве.
Изучение литературы по приложениям вейвлет-анализа позволяет сделать заключение, что в данный момент общая методология использования вейвлет-анализа ещё не выработана. Кроме того, в различных предметных областях имеются свои особенности применения вейвлетов. Именно учет таких особенностей позволяет наиболее эффективно изучать нелинейные явления в различных динамических системах.
Традиционно считается, что возможно возникновение хаотических режимов колебаний в системах, которые описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Однако открытым остается вопрос о влиянии различных типов нелинейности на переход в хаос. Так, в моделях распределенных систем возможен учет геометрической и физической нелинейности. Кроме того, в моделях многослойных систем выделяют и третий тип нелинейности – конструктивную.
Так, для различных механических распределенных систем ‑ балок, пластин и оболочек, являющихся основными составными частями множества инженерных конструкций, при проектировании которых актуальны вопросы нелинейного деформирования, вейвлет как средство анализа нелинейных динамических явлений до настоящего времени практически не применялся. Основные приложения вейвлет-функций в механике были связаны с использованием последних в качестве функций формы в методе конечных элементов. Разработка общей методологии использования вейвлета как средства частотно-временного анализа для распределенных механических систем пока не нашла широкого распространения.
В работах , , Я. Аврейцевича, , при изучении спектров мощности, построенных на основании преобразования Фурье, установлено, что для распределённых систем в виде балок, пластинок и оболочек переход к хаотическим колебаниям может происходить по сценариям Фейгенбаума и модифицированному сценарию Рюэля – Такенса – Ньюхауза. Неисследованным остался вопрос о существовании сценария перехода к хаосу через перемежаемость, так как для изучения последнего недостаточно располагать лишь частотным спектром, получаемым с помощью преобразования Фурье.
Использованию непрерывного вейвлет-преобразования для анализа перехода в хаос по сценарию Помо-Манневиля посвящены работы , , но в них рассматриваются только простейшие системы Лоренца и Ресслера.
Таким образом, актуальной задачей является анализ нестационарных процессов в различных режимах колебаний распределенных механических систем, основанный на расчете их движений как систем со многими степенями свободы с использованием вейвлет-преобразования (а также и традиционных методов нелинейной динамики) с целью уточнения характера протекающих в таких системах нелинейных процессов и уточнения существующих сценариев перехода колебаний из хаотических в гармонические.
Целью диссертационной работы являются построение математических моделей сложных колебаний распределенных систем (в виде одно - и многослойных балок (спаянных и неспаянных), пластинок, сферических пологих и цилиндрических оболочек); разработка программного обеспечения, позволяющего осуществлять вейвлет-анализ сценариев перехода в хаос для таких систем.
Для достижения этой цели были решены следующие задачи:
1. Создание методологии анализа регулярных и хаотических вынужденных колебаний распределенных механических систем на основании непрерывного вейвлет-преобразования и выбор эффективных вычислительных схем её реализации;
2. Разработка программного обеспечения на основе предложенных моделей и вычислительных схем;
3. Применение разработанной методологии и программного обеспечения для исследования переходных процессов и сценариев перехода в хаос для балок, пластинок и оболочек в различных режимах динамического нагружения.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются корректной физической и математической постановкой задачи, применением различных численных методов с взаимным контролем результатов, методов качественной теории дифференциальных уравнений и нелинейной динамики.
Научная новизна работы
1. Установлено преимущество вейвлета Морле над другими широко используемыми вейвлетами в анализе сложных колебаний нелинейных распределенных механических систем;
2. Предложенная методология анализа сложных колебаний распределенных систем, вычислительные схемы и разработанное на их основе программное обеспечение позволяют исследовать локальные особенности сложных колебаний для следующих нелинейных распределенных механических систем:
a. гибких балок, модели которых построены на основании кинематических гипотез Бернулли-Эйлера, , Шереметьева-Пелеха;
b. многослойных неспаянных балок на основе гипотезы Бернулли-Эйлера для каждой из балок;
c. пологих сферических и замкнутых цилиндрических оболочек, а также для панелей;
3. С помощью вейвлет-анализа впервые обнаружен и исследован переход в хаос через перемежаемость для балок, математические модели которых построены на основании кинематических гипотез Бернулли-Эйлера, , Шереметьева-Пелеха; исследована структура окон квазипериодичности для колебаний в режиме перемежаемости;
4. С помощью вейвлет-анализа для балок моделей и Шереметьева-Пелеха впервые установлена модификация сценария Рюэля, Такенса и Ньюхауза, когда при неизменности управляющих параметров может происходить рождение трех линейно независимых частот с последующим переходом в хаос;
5. Для системы из двух неспаянных балок с учетом геометрической, физической и конструктивной нелинейностей при действии нагрузки только на одну из балок впервые выявлен ряд эффектов:
a. явление фазовой хаотической синхронизации как для случая упругого, так и физически нелинейного материала балок;
b. в случае упругих балок синхронизация наблюдается на частоте возбуждения системы, которая совпадает с частотой собственных колебаний;
c. в случае балок из физически нелинейного материала обнаружена синхронизация не только на одной частоте возбуждения, но и на двух частотах (частоте возбуждения и независимой частоте), а также синхронизация только на независимой частоте;
d. величина зазора (от 0.025 до 0.1 толщины балки) между балками не изменяет качественной картины указанных выше типов синхронизации;
6. Для замкнутых цилиндрических оболочек при действии неравномерного знакопеременного внешнего давления вейвлет-анализ позволил впервые обнаружить явление потери устойчивости с дальнейшим переходом в хаос.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту:
1. Вычислительные схемы и разработанное на их основе программное обеспечение для расчета и вейвлет-анализа колебаний распределенных механических систем: балок на основе различных кинематических гипотез, неспаянных многослойных балок с учетом конструктивной, геометрической и физической нелинейностей, пластинок и оболочек;
2. Обнаруженные с помощью вейвлет-анализа следующие новые явления:
a. сценарий перехода в хаос через перемежаемость и уточненный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза для балок Бернулли-Эйлера, , Шереметьева-Пелеха;
b. фазовая хаотическая синхронизация колебаний в системе из двух неспаянных балок;
c. динамическая потеря устойчивости с последующим переходом в хаос для замкнутой цилиндрической оболочки.
Практическая ценность и реализация результатов
1. Работа выполнена в рамках комплексной внутривузовской научно-технической программы СГТУ 01В «Математическое моделирование в естественных науках» Саратовского государственного технического университета и бюджетной темы № 000 Саратовского государственного технического университета;
2. Программный комплекс на основе вейвлет-анализа, позволяющий выявлять локальные особенности колебаний, используется:
a. для анализа исторической динамики различных социально-экономических показателей развития отдельных государственных образований при реализации гранта «Математическое моделирование в развитии цивилизаций» по госконтракту П-321 Министерства образования и науки РФ;
b. в учебном процессе по кафедре «Математика и моделирование» в пособии «Математические модели и методы исследования сложных колебаний неклассических распределенных механических систем» (, . Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 20с.) (в главе 3, п. 6 и главе 10, п. 11).
Апробация работы:
Основные положения и результаты диссертации представлялись на:
· Международном семинаре, посвященном памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. (Казань, 15-17 сентября 2008);
· шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2009);
· 2nd Chaotic Modeling and Simulation International ConferenceJune 2009 Chania, Crete, Greece), honorary chairman Leon. O. Chua.;
· 2009 SSTA Conference, Shell Structures, Theory and Applications Oct 14, 2009 - Oct 16, 2009, Jurata, Poland;
· The Second International Symposium on Computational Mechanics (ISCM II) in conjunction with The Twelfth International Conference on the Enhancement and Promotion of Computational Methods in Engineering and Science (EPMESC XII). Hong Kong and Macau during 30 November – 3 December 2009;
· 10th Conference on Dynamical Systems - Theory and Applications, 7-10 December, Łódź, Poland.
В законченном виде диссертация докладывалась на научных семинарах кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета под руководством заслуженного деятеля науки и техники РФ, д. т.н., профессора (Саратов, 2009); на межкафедральном семинаре «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» Саратовского государственного технического университета под руководством заслуженного деятеля науки РФ, д. ф.-м. н., профессора (Саратов, 2009).
Публикации
Основное содержание и результаты диссертации опубликованы в 8 печатных работах, в том числе 3 работы в журналах из перечня ВАК РФ.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованной литературы. Работа содержит 164 страницы, 73 рисунка, 11 таблиц. Список использованной литературы включает 142 наименования.
Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, приведен исторический обзор результатов по применению вейвлетов как в различных областях механики в целом, так и в механике деформируемого твердого тела для балок, пластинок и оболочек в частности, сформулирована цель работы, приводится краткое содержание диссертации.
В первой главе рассматриваются общая концепция непрерывного вейвлет-преобразования, основные базисные (вейвлетообразующие) функции, необходимые свойства вейвлет-функций. Вводится понятие частотно-временных вейвлет-спектров. Отмечаются основные различия преобразования Фурье и вейвлет-преобразования. Рассматриваются вопросы разрешающей способности различных вейвлетов по частоте и выбора вейвлета для конкретной области исследования.
Во второй главе особенности нелинейных колебаний и перехода в хаос распределенных механических систем рассматриваются на примере спаянных многослойных балок, когда для всего пакета справедлива одна из следующих кинематических гипотез: Бернулли-Эйлера; ; Шереметьева-Пелеха. Рассматривается применение вейвлет-анализа к исследованию колебаний балок различных моделей.
Рассмотрим гибкую упругую балку, подчиняющуюся кинематической гипотезе Бернулли-Эйлера, инерцией вращения элемента балки при изгибе пренебрегается, на балку действует знакопеременная нагрузка 
. В этом случае система дифференциальных уравнений в перемещениях в безразмерном виде с учетом диссипации энергии имеет вид
| (1) |
где 
‑ поперечные перемещения точки балки (прогиб); 
‑ продольные перемещения; 
, 
, 
‑ нелинейные операторы, 
,
‑ коэффициенты диссипации. Для сведения уравнений (1) к безразмерному виду использовались следующие безразмерные параметры: 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
. (
‑ модуль Юнга, 
‑ ускорение свободного падения, 
‑ удельный вес), 
- высота, 
- длина балки. Здесь и далее чертой сверху обозначены безразмерные переменные (в самих уравнениях черта опускается).
Из всего многообразия возможных краевых условий было рассмотрено шарнирное закрепление по обоим концам
| (2) |
В начальный момент времени балка покоится:
| (3) |
С целью обеспечения достоверности получаемых результатов бесконечномерная задача (1) – (3) с помощью метода конечных разностей с аппроксимацией 
, а также метода конечных элементов в представлении Бубнова-Галеркина сводится к конечномерной – системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени, которая решается методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Как для метода конечных разностей, так и для метода конечных элементов исследовалась сходимость в зависимости от разбиения по пространственной координате, что позволило сделать вывод о том, что оптимальным является деление длины балки на 
частей. Согласно принципу Рунге, исходя из условия устойчивости получаемых решений, шаг по времени был выбран равным 
. При сравнении результатов, полученных по МКР и МКЭ, установлено, что при одних и тех же параметрах нагрузки и вида краевых условий значения прогиба практически совпадают, что говорит о достоверности получаемых результатов. Более того, наблюдается сходимость и по спектрам мощности. Кроме того, использование метода конечных элементов при той же точности результатов приводит к возрастанию времени расчета в 1,5-1,7 раза, поэтому предпочтение следует отдать МКР.
Исследования поведения балок под действием знакопеременной поперечной нагрузки проведены посредством разработанного пакета программ, который позволяет определять характер колебаний балки в зависимости от управляющих параметров 
с помощью анализа сигнала, спектра мощности, построенного на основе преобразования Фурье, фазового портрета, отображения Пуанкаре, а также непрерывного вейвлет-преобразования для различных типов вейвлетов: вейвлетов Гаусса с 1-го по 8-й, вейвлета Морле.
Сравнение результатов анализа колебаний с помощью классических методов – визуализации сигнала, построения спектра мощности, фазового портрета, отображения Пуанкаре и частотно-временных вейвлет-спектров позволяют сделать вывод о том, что предпочтение следует отдать вейвлет-функции Морле как обеспечивающей наибольшее разрешение по частоте. В качестве примера рассмотрим переход (для балки с геометрическим параметром 
) от гармонических колебаний к хаотическим на частоте внешнего воздействия 
при значениях нагрузки 
; 
; 
, представленный на рис. 1 и 2. Видно, что как при гармонических одночастотных (рис. 1), так и при многочастотных (рис. 2) колебаниях можно ясно проследить, что в ряду вейвлетов Гаусс-1 – Гаусс-8 растет разрешающая способность по частоте, что позволяет более точно определять значения частот в спектре; наилучшее разрешение по частоте наблюдается у вейвлета Морле.
|
|
|
Гаусс-1 | Гаусс-8 | Морле |
Рис. 1. Вейвлет-спектр для | ||
a) | b) | c) |
d) | e) | f) |
Гаусс-1 | Гаусс-8 | Морле |
Рис. 2. Вейвлет-спектр для | ||
Возможность анализа колебаний с помощью вейвлет-преобразования в частотно-временном пространстве открывает новые возможности по анализу сценариев перехода балок из гармонических колебаний в хаотические. В работах и был обнаружен и исследован сценарий перехода к хаосу через последовательное появление трех линейно независимых частот – модифицированный сценарий Рюэля, Такенса и Ньюхауза. Частотно-временные вейвлет-спектры позволяют уточнить этот сценарий. При (рис. 2) на вейвлет-спектре Морле видно, что дополнительные (кроме частоты возбуждения ) частоты в спектре присутствуют не постоянно, т. е. наблюдается перемежаемость. Перемежаемость частот особенно хорошо заметна на контрастных двумерных изображениях вейвлет-поверхности (рис. 2, a-c). При 
как традиционные средства анализа (Фурье-спектр, фазовый портрет, отображение Пуанкаре), так и вейвлет-спектр позволяют зафиксировать наличие хаоса.
Далее рассмотрим однослойные упругие гибкие балки, математическая модель которых построена на основе гипотезы (данная модель является более точным одномерным приближением для системы уравнений движения балки как трехмерного тела). Уравнения в перемещениях балки Тимошенко в безразмерном виде
| (4) |
здесь черточки над безразмерными параметрами, как и ранее, опущены, операторы 
, 
, 
имеют вид, аналогичный уравнениям Бернулли-Эйлера (1), 
, дополнительные безразмерные параметры 
, граничные условия – также шарнирно - неподвижное закрепление
| (5) |
начальные условия
| (6) | ||
|
|
|
|
a) | b) | c) |
|
Рис. 3. Модифицированный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза на вейвлет-спектре |
| ||
|
Рис. 4. Вейвлет-спектр с окном периодичности для |
Достоверность результатов, как и при исследовании балки Бернулли-Эйлера, обеспечивалась решением системы (4) – (6) с помощью двух методов – МКР и МКЭ с такими же дополнительными исследованиями.
Для балок Тимошенко также обнаружен уточненный сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза, когда сначала в спектре появляются три линейно независимые частоты (рис. 3, b), а затем происходит переход к хаосу (рис. 3, c для 
). В отличие от модели Эйлера-Бернулли в модели Тимошенко при 
(рис. 4) наблюдается переход к хаосу через перемежаемость.
Кинематическая модель Шереметьева-Пелеха является дальнейшим развитием модели Тимошенко. Уравнения в перемещениях модели Шереметьева‑Пелеха в безразмерном виде
| (7) |
Введение безразмерных переменных аналогично модели Бернулли – Эйлера и Тимошенко. Как и выше, в качестве краевых условий рассмотрен случай шарнирного закрепления по обоим концам для покоящейся в начальный момент времени балки:
| (8) |
Начальные условия:
| (9) |
.Достоверность получаемых результатов, как и выше, обеспечивалась проведением расчетов с использованием двух методов – конечных разностей и конечных элементов. Для данной модели также обнаружен переход к хаосу по уточненному сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза.
Таким образом, в результате исследования применимости различных вейвлетов к анализу колебаний балок на основе различных кинематических гипотез установлено преимущество вейвлета Морле. Установлено, что переход к хаосу для трех рассмотренных моделей балок может происходить либо по уточненному сценарию Рюэля-Такенса-Ньюхауза, либо по сценарию Помо-Манневиля (через перемежаемость).
В третьей главе изучается явление синхронизации распределенных систем на примере многослойных неспаянных балок (т. е. когда между слоями имеется зазор, рис. 5) с учетом трех видов нелинейностей: конструктивной (в процессе расчета меняется область контакта балок), геометрической и физической. Для многослойных балок исследуется режим фазовой синхронизации колебаний балок в пакете при различных способах воздействия на балки. Балки подчиняются гипотезе Эйлера-Бернулли, учет геометрической нелинейности осуществлен в форме Т. фон Кармана, используется винклерова связь между обжатием и контактным давлением между балками, физически нелинейные зависимости между деформациями и перемещениями рассматриваются в рамках теории малых упругопластических деформаций Генки. При построении математической модели использованы результаты, полученные в работах , , , . Количество уравнений, описывающих данную задачу, пропорционально числу слоев. Граничные условия закрепления балки могут быть произвольными, но в данном случае рассмотрен вариант защемления на концах. В начальный момент времени система балок покоится.
|
Рис. 5. Расчетная схема двуслойной балки |
При численных расчетах для учета физической нелинейности материала балок применяются деформационная теория пластичности и метод переменных параметров упругости. Диаграмма деформирования материала балки 
может быть произвольной, но в данной работе рассматривается балка, изготовленная из материала, диаграмма деформирования для которого имеет вид 
(
‑ номер балки). Закон изменения нагрузки во времени и вдоль оси балки может быть произвольным. Интегрирование уравнений движения с начальными и граничными условиями проводится методом конечных разностей.
Рассмотрим колебания системы из двух неспаянных балок с учетом геометрической, физической и конструктивной нелинейностей. Переменная во времени поперечная синусоидальная нагрузка воздействует лишь на одну балку (рис. 6, a, b), вторая балка (рис. 6, d, e) приходит в движение только в результате соприкосновения с первой. Частота воздействия в данном случае равна 
, зазор между балками 
. Так, даже при малых нагрузках 
можно наблюдать процесс перехода колебаний из одночастотных гармонических к хаотическим с возникновением фазовой синхронизации колебаний балок, что сопровождается скачкообразным ростом прогиба. Поскольку непрерывное вейвлет-преобразование с использованием комплексного вейвлета Морле позволяет получать частотно-временное распределение фазы колебаний (фаза в данном случае – аргумент соответствующих комплексных вейвлет-коэффициентов), то с его помощью возможно эффективное выявление фазовой синхронизации. Разность фаз колебаний для рассматриваемого примера показана на рис. 6, c) вместе с сигналами (a, d) и частотно-временными вейвлет-спектрами балок (b, e). Картина разности фаз (рис. 6, c) демонстрирует, что фазовая синхронизация колебаний двух физически нелинейных неспаянных балок возникает не на частоте возбуждения , а на независимой частоте 
.
сигнал | вейвлет-спектр Морле | разность фаз | |
1 | a) | b) | c) |
2 | d) | e) | |
Рис. 6. Синхронизация системы двух неспаянных балок |
В рассмотренной системе с конструктивной нелинейностью также исследуется, как тип колебаний (регулярные или хаотические), определяемый по вейвлет-спектрам, отражается на пространственно-временном распределении контактного давления. При последовательности нагрузок 
, 
, 
для упругих балок вейвлет-спектры колебаний обеих балок фиксировали переход колебаний от регулярных одночастотных к хаотическим (рис. 7, a-c).
a) |
b) |
c) |
d) |
e) |
f) |
Рис. 7. Вейвлет-спектры (a-c) и контактное давление (d-f) |
Вейвлет-спектры колебаний первой и второй балок в данном случае практически идентичны, поэтому на рис.7 они даны только для первой балки. В данном ряду нагрузок пространственно-временное распределение контактного давления из регулярного также становится хаотическим (рис. 7, d-f).
Таким образом, вейвлет-анализ позволяет детально во времени исследовать синхронизацию колебаний многослойных неспаянных балок и обнаружить явление фазовой синхронизации. Вейвлет-анализ хаотических колебаний многослойного пакета хорошо согласуется с анализом при помощи контактного давления.
В четвёртой главе разработана методология вейвлет-анализа колебаний сферических осесимметричных пологих оболочек, подчиняющихся гипотезе Кирхгофа-Лява, с использованием вейвлет-анализа, изучаются сценарии перехода в хаос для них. Уравнения движения в смешанной форме имеют вид:
| (10) |
где 
‑прогиб оболочки; 
‑ функция усилий. Для анализа сложных колебаний гибких осесимметричных пологих оболочек применялось вейвлет-преобразование с материнскими вейвлетами Гаусс-1 – Гаусс-8 и вейвлетом Морле. Как и при анализе колебаний балок, было выявлено преимущество вейвлета Морле, имеющего лучшее разрешение по частоте. Вейвлет-преобразование также позволяет обнаружить три последовательных бифуркации с появлением кратных частот, при нагрузках q0 = 0.07, q0 = 0.08, q0 = 0.12 соответственно и переходом в хаос при q0 = 0.14, т. е. наблюдается сценарий Фейгенбаума. Рассчитанная по данным значениям управляющего параметра q0 константа Фейгенбаума 
отличается от теоретического значения на 0,28%.
Таким образом, для гибких осесимметричных пологих оболочек также установлено преимущество вейвлета Морле, с его помощью изучены сценарии перехода в хаос и определена константа Фейгенбаума.
В пятой главе рассмотрен комплексный анализ распределенных систем с помощью вейвлет-анализа и спектра показателей Ляпунова на примере замкнутой цилиндрической оболочки кругового сечения конечной длины с постоянной жесткостью и плотностью при действии неравномерного знакопеременного внешнего давления, с помощью вейвлет-анализа изучается явление динамической потери устойчивости для неё. Также рассматриваются колебания бесконечно длинной пластинки, находящейся под действием продольной знакопеременной нагрузки.
Система уравнений движения цилиндрической оболочки, подчиняющейся гипотезе Кирхгофа-Лява, в безразмерном виде:
| (11) |
Уравнения (11) приведены к безразмерному виду с использованием следующих безразмерных параметров: 
, 
, 
, 
; 
, 
; 
, 
, где 
и 
– длина и радиус оболочки. Здесь 
- время; 
- коэффициент сопротивления среды, в которой происходит движение оболочки; 
- функция усилий; 
- функция прогиба; 
- толщина оболочки; 
- коэффициент Пуассона; 
‑ ускорение свободного падения; 
- модуль упругости; 
-кривизна оболочки по 
; 
, 
- известные нелинейные операторы. В качестве краевых условий рассмотрено шарнирное опирание по торцам с присутствием на торцах гибких ребер 
при 
; начальные условия имеют вид 
.
Краевую задачу по пространственным координатам решаем методом Бубнова-Галеркина в высших приближениях. Исследование сходимости данного метода и достоверности результатов показало, что оптимальным является использование 
членов ряда разложения по аппроксимирующим функциям. Рассматривался характер колебаний оболочки с параметрами 
=112.5 при 
, 
=9, под действием поперечной нагрузки 
, приложенной ко всей поверхности цилиндрической оболочки, 
. Качественные исследования проводились на основании анализа следующих характеристик: сигнала 
, вейвлета на плоскости и в пространстве, фазового портрета, сечения Пуанкаре, спектра мощности на базе преобразования Фурье, ляпуновских показателей, анализа автокорреляционной функции. При исследовании зависимости 
в диапазоне 
обнаружено, что динамическая потеря устойчивости, характеризующаяся резким ростом прогиба при небольшом изменении 
, наблюдается при двух значениях нагрузки 
и 
. Применение вейвлет-анализа позволило установить, что в результате динамической потери устойчивости оболочка переходит в состояние хаотических колебаний.
Уравнение движения бесконечно длинной пластинки (рис. 8), которая по всей длине изгибается по цилиндрической поверхности, записывается в виде
| (12) |
с безразмерными переменными
| (13) |
К уравнению следует присоединить граничное условие шарнирного опирания 
, при 
, 
. Задача решалась численно путем сведения начально-краевой задачи к системе ОДУ методом Бубнова-Галеркина. Для исследования переходных колебаний в данной системе был применён как вейвлет-анализ с использованием функции Морле, так и слежение за знаком ляпуновских показателей.
|
Рис. 8. Расчетная схема бесконечно длинной пластинки |
a) Показатели Ляпунова |
b) Вейвлет-спектр |
Рис. 9. Переход колебаний из хаотических в гармонические при |
В ходе исследований обнаружено такое интересное явление, как изменение характера колебаний во времени при неизменности управляющих параметров (рис. 9, a-b): в определенный момент времени знак старшего ляпуновского показателя меняется с положительного на отрицательный, а на вейвлет-спектре остается единственный частотный максимум, соответствующий частоте возбуждения.
Таким образом, в данной главе обнаружено явление двукратной потери устойчивости с переходом в хаос для замкнутой цилиндрической оболочки. Показано преимущество вейвлета Морле при анализе колебаний бесконечно длинной пластинки. Выявлено четкое соответствие между определением характера колебаний по динамике старшего ляпуновского показателя и вейвлет-спектрам.
В заключении приводятся основные результаты и выводы по диссертации.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО ДИССЕРТАЦИИ
1. Разработана методология вейвлет-анализа сложных колебаний нелинейных распределенных механических систем – балок (модели которых построены с использованием кинематических гипотез Бернулли-Эйлера, , Шереметьева-Пелеха), пластинок, оболочек.
2. Реализован комплекс программ для анализа и визуализации различных характеристик хаотических колебаний балок, пластинок и оболочек.
3. С помощью непрерывного вейвлет-преобразования выявлен сценарий Фейгенбаума перехода колебаний из гармонических в хаотические для гибких сферических оболочек и вычислена константа Фейгенбаума.
4. С помощью вейвлет-анализа для распределенных механических систем исследованы сценарий перехода в хаос через перемежаемость и уточнен сценарий Рюэля-Такенса-Ньюхауза; показано, что определение типа колебаний по cпектру ляпуновских показателей и частотно-временному вейвлет-спектру хорошо согласуются между собой.
5. С помощью непрерывного вейвлет-анализа установлено, что при действии на одну из неспаянных балок поперечной знакопеременной нагрузки возможна фазовая синхронизация их колебаний не только на частоте возбуждения, но и на независимой частоте; кроме того, после интервала синхронизации возможен переход второй балки из хаоса в состояние покоя.
6. Пространственно-временное распределение контактного давления в системе неспаянных балок может успешно использоваться для обнаружения хаоса.
7. С помощью вейвлет-анализа показано, что динамическая потеря устойчивости гибких цилиндрических оболочек при действии поперечных локальных знакопеременных нагрузок сопровождается переходом в хаос.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
I. Публикации в центральных изданиях, включенных в перечень периодических изданий ВАК РФ
1. Солдатов хаотических колебаний распределенных систем в виде балок Эйлера-Бернулли с помощью вейвлет-преобразования / , , // Известия вузов. Авиационная техника. – 2009. ‑ № 4. – С. 21-24.
2. О выборе типа вейвлета при изучении нелинейных колебаний балок с учетом поперечных сдвигов / , , // Вестник Саратовского государственного технического университета. – 2009. ‑ № 3 (40). – Вып. 1. С. 14-22.
3. Солдатов -анализ колебаний замкнутых цилиндрических оболочек / , , // Вестник Саратовского государственного технического университета. – 2009. ‑ № 4. – Вып. 1. С.24 – 30.
II. Публикации в центральных изданиях, включенных в перечень периодических изданий ВАК РФ по смежным специальностям
4. Солдатов нелинейных колебаний балок / , , // Известия вузов. Строительство. – 2009. ‑ № 5. – С. 25-35.
III. Публикации в зарубежных изданиях
5. Soldatov V. On the wavelet transform application to a study of chaotic vibrations of the infinite length flexible panels driven longitudinally /
J. Awrejcewicz, A. Krysko, V. Soldatov. // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. – 2009. – Vol. 19. – Issue 10. – P. .
IV. Публикации в других изданиях
6. Солдатов -анализ в теории нелинейных колебаний балок, пластин и оболочек / , // Актуальные проблемы нелинейной механики оболочек: материалы Международного семинара, посвященного памяти заслуженного деятеля науки ТАССР проф. . Казань, 15-17 сентября 2008. Казань, 2008. С. 83-85.
7. Солдатов хаотических колебаний прямоугольных пластинок в температурном поле / , // Математическое моделирование и краевые задачи: труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч.1: Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций. Самара: СамГТУ, 2009. С. 242-245.
8. Soldatov V. Dynamic stability loss of closed circled cylindrical shells estimation using wavelets / V. A. Krysko, J. Awrejcewicz, M. Zhigalov, V. Soldatov, E. S. Kuznetsova, S. Mitskevich // Proceedings of the International Conference “Chaotic Modeling and Simulation” CHAOS 2009, Chania, Crete, Greece, June 1-5, 2009, 8 pages.
ВЕЙВЛЕТ-АНАЛИЗ В ИССЛЕДОВАНИИ СЛОЖНЫХ КОЛЕБАНИЙ
БАЛОК, ПЛАСТИНОК И ОБОЛОЧЕК
Автореферат
Корректор
Подписано в печать 20.11.09 | Формат 60х84 1/16 | |
Бум. офсет. | Усл. печ. л. 1,0 | Уч.-изд. л. 1,0 |
Тираж 100 экз. | Заказ 521 | Бесплатно |
Саратовский государственный технический университет | ||
Саратов, Политехническая ул., 77 | ||
Отпечатано в Издательстве СГТУ. Саратов, Политехническая ул., 77 |
