Рабочая программа

Рабочая программа

Математические модели механики сплошных сред 2013/14 уч. г.

Лектор: д. ф.-м. н. доцент

Структура дисциплины

Настоящая дисциплина представляет собой семестровый курс лекций и семинарских занятий. Лекции проводятся один раз в неделю, семинарские занятия — один раз в две недели. По окончании курса проводится устный экзамен.

Содержание дисциплины

	Наименование раздела	Содержание раздела
1	Введение.	Основные модели. Банаховы и гильбертовы пространства. Основные неравенства (Коши, Юнга, Гельдера и т. п.). Пространства Лебега и Соболева. Основные свойства. Формула Грина. Теорема о следах. Неравенства Лерэ и Пуанкарэ. Усреднение функций (по Стеклову).
2	Пространства соленоидальных функций и градиентов.	Основные определения. Теорема о разложении пространства L^2 в прямую сумму соленоидальных функций и градиентов. Способы разложения произвольной функции из пространства L^2 на сумму соленоидальной функции и градиента.
3	Обобщенные решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.	Понятие обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Теорема существования обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Теорема единственности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Внутренняя оценка регулярности для обобщенного решения уравнения Пуассона.
4	Обобщенные решения задачи Дирихле для системы стационарных уравнений Стокса динамики вязкой несжимаемой жидкости.	Понятие обобщенного решения задачи Дирихле. Теорема существования обобщенного решения задачи Дирихле. Теорема единственности обобщенного решения задачи Дирихле. Внутренняя оценка регулярности для обобщенного решения задачи Дирихле.
5	Обобщенные решения задачи Дирихле для системы стационарных уравнений Навье—Стокса динамики вязкой несжимаемой жидкости.	Постановка задачи. Понятие обобщенного решения. Лемма о восстановлении давления. Свойства функционал конвекции. Существование обобщенного решения. Единственность медленных течений.
6	Пространства Бохнера.	Пространства функций с выделенной переменной. Лемма Гронуолла. Свойства обобщённых производных в пространствах функций с выделенной переменной. Свойства обобщённых производных в пространствах функций с выделенной переменной. Неравенство Петре. Теорема Обэна—Лионса о компактности.
7	Начально-краевая задача для двухмерных нестационарных уравнений Навье—Стокса вязкой несжимаемой жидкости.	Постановка задачи. Понятие обобщенного решения. Единственность обобщенных решений. Существование обобщенных решений.
8	Начально-краевая задача для двухмерных нестационарных уравнений Эйлера динамики идеальной жидкости.	Постановка задачи в переменных «скорость—давление». Постановка задачи в переменных Гельмгольца «вихрь—функция тока». Почти липшицевость поля скорости. Оператор сдвига вдоль траектории. Гельдеровость оператора сдвига. Теорема Като о существовании и единственности классических решений начально-краевая задача для двухмерных нестационарных уравнений Эйлера.
9	Введение в теорию гомогенизации слоистых композитных материалов.	Понятие задачи гомогенизации. Постановка задачи Дирихле для уравнения равновесия композитного материала с быстро осциллирующим коэффициентом упругости. Разрешимость задачи. Процедура гомогенизации. Построение усредненного уравнения с однородным (гомогенизированным) коэффициентом упругости.

Литература

1. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. – М.: Наука, 1970. – 288 с.

2. и др. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа / , , . - М.: Наука, 19с.

3. Lions P.-L. Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Vol. 1. Incompressible Models. – Oxford: Oxford University Press, 1996. – 237 p.

4. Cioranescu D., Donato P. An Introduction to Homogenization. - Oxford: Oxford University Press, 19p.

5. и др. Математические модели механики сплошных сред: учебное пособие / , , . - Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 20с.

6. Дифференциальные уравнения математической физики: курс лекций / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 20с.

Программа составлена д. ф.-м. н. доцентом