Константин

Константин  

Даны вершины треугольника АВС.

А В С
(1,-2) (2,-1) (3,1)
Найти:
1)Уравнение сторон.
2)Уравнение медианы и высоты, проведённых из вершины В.
3)Уравнение прямой L1 через точку С, L1 || AB.
4)Уравнение прямой L2 через точку В, L2 ̝ L1
5)точку пересечения L1 и L2.

Решение. Для облегчения решения и его чтения, выполним схематический рисунок. Составляя уравнения сторон треугольника, будем использовать общее уравнение прямой на плоскости . Поскольку точки А(1;-2) и В(2;-1) лежат на прямой АВ, то их координаты будут удовлетворять уравнение прямой . Подставляем координаты этих точек в уравнение прямой: . Решив эти уравнения относительно и , приравняв, получим .

Откуда . Подставим полученное выражение в общее уравнение прямой и сократив на , получим уравнение искомой прямой или . Это есть уравнение прямой (стороны) АВ. Уравнение стороны ВС составим другим способом. Угловой коэффициент прямой ВС можно вычислить исходя из формулы . Тогда, уравнение прямой, которая проходит через две точки, будет выглядеть так: или . Аналогично составляем уравнение стороны АС. . Итак, уравнения сторон, будут иметь вид: .

Уравнение прямой , которая параллельна АВ и проходит через точку С(3;1), будем составлять, используя условие параллельности прямых: если прямые параллельны, то они имеют равные угловые коэффициенты. Поэтому, уравнение прямой будет иметь вид или . Уравнение прямой , перпендикулярной прямой и проходящей через точку В(2;-1), составим на основе условия перпендикулярности прямых: если прямые перпендикулярны, то их угловые коэффициенты противоположны за величиной и знаком, то есть. Угловой коэффициент прямой , тогда и уравнение прямой будет иметь вид: или .

Уравнение высоты запишется или .

Для составления уравнения медианы , найдем координаты средины стороны АС.

Тогда уравнение медианы запишется .

Точка пересечения и будет найдена из решения системы

Проверим выполнение задания при помощи популярной программы Advanced Grapher

Как видим, программа строит необходимый рисунок.