Гомоморфизмы и конгруэнтности Игр с транзитивной структурой предпочтениЙ
Саратовский государственный университет им. , Саратов, Россия
I. Основные понятия для игр с отношениями предпочтения
Объектом изучения являются игры с отношениями предпочтения, то есть трехосновные алгебраические системы вида
,
где 
– множество стратегий игрока 1, 
– множество стратегий игрока 2, 
– множество исходов, 
– отображение множества ситуаций 
в множество исходов, 
– отношение предпочтения игрока 
, заданное на .
Пусть теперь, кроме игры 
, задана еще одна игра с отношениями предпочтения тех же игроков 
.
Определение. Тройка отображений 
, где 
, 
, 
, называется гомоморфизмом игры в игру 
, если для любой ситуации 
игры для 
выполняются следующие условия:
, 
. 
Пояснение: 
есть отображение множества ситуаций игры в множество ситуаций игры по правилу 
.
Определение. Тройка отображений , где , , называется строгим гомоморфизмом игры в игру , если выполняются следующие условия:
, 
, 
.
Если 
– отображение на 
, 
– отображение на 
(то есть эти отображения являются сюръекциями), то гомоморфизм называется сюръективным или гомоморфизмом игры на игру . Если же , и 
являются биекциями и выполняется условие
, ,
то гомоморфизм называется изоморфизмом игры на игру . Две игры с отношениями предпочтения называются изоморфными, если существует изоморфизм одной из них на другую.
II. Гомоморфизмы и конгруэнтности игр с транзитивной структурой предпочтения
Рассмотрим теперь игру , в которой предпочтения обладают свойством транзитивности.
Лемма. Пусть 
– структура предпочтений, 
– отношение эквивалентности. Для того чтобы фактор-структура предпочтений 
была транзитивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось включение:
.
Теорема. Для того чтобы фактор-игра 
была игрой с транзитивной структурой предпочтения и каноническое отображение было гомоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
,
