Рабочая программа дисциплины

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Принято на заседании Cовета физико-математического факультета Протокол заседания № ____ от «_____» ________________201_ г. Декан физико-математического факультета ____________

УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе _______________ «_____» ___________________ 201_ г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

__________________«Современные методы математической физики» _______

Направление подготовки ______050100___ Педагогическое образование___

Профиль подготовки ______________Математика______________________

Квалификация (степень) выпускника – Бакалавр

Форма обучения ______________________очная_____________________

Пенза – 2013

1.  Цели освоения дисциплины

Целью освоения дисциплины «Современные методы математической физики» является формирование и развитие у студентов профессиональных и специальных компетенций, формирование систематизированных знаний в области математического анализа, о его месте и роли в системе математических наук, приложениях в естественных науках. Формирование умений и навыков в области теории функций и её основных методов, позволяющих подготовить конкурентоспособного выпускника для сферы образования, готового к их инновационной творческой реализации в образовательных учреждениях различного уровня и профиля.

Задачи изучаемой дисциплины:

Исходя из общих целей подготовки бакалавра педагогического образования по профилю «Математика»:

содействовать средствами дисциплина «Современные методы математической физики» развитию у студентов мотивации к педагогической деятельности, профессионального мышления, коммуникативной готовности, общей культуры; научить студентов ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в устной и письменной речи.

Исходя из конкретного содержания дисциплины:

сформировать систему знаний и умений в области математической физики, необходимых для применения в будущей профессиональной деятельности, при изучении смежных дисциплин, проведении научных исследований; познакомить студентов с приложениями математического анализа в естественных науках; научить студентов доказательно рассуждать, выдвигать гипотезы и их обосновывать; научить поиску, систематизации и анализу информации, используя разнообразные информационные источники, включая учебную и справочную литературу; научить использовать информационные технологии в будущей профессиональной деятельности.

2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата

Дисциплина «Современные методы математической физики» относится к дисциплинам по выбору профессионального цикла Б.3. Для освоения дисциплины используются знания, умения и виды деятельности, сформированные в процессе изучения предметов «Математика», «Информатика» на предыдущем уровне образования. Дисциплина «Современные методы математической физики», наряду с дисциплинами «Алгебра» и «Геометрия», является фундаментом высшего математического образования. Знания и умения, формируемые в процессе изучения дисциплины «Современные методы математической физики», базируются на освоенных ранее дисциплинах профессионального цикла: «Современные методы теории функций», «Математический анализ», «Физика».

В результате изучения данной дисциплины обучающийся должен:

знать основные понятия и строгие доказательства фактов основных разделов курса Современные методы математической физики ;

уметь применять теоретические знания к решению задач по курсу;

владеть:

различными приемами использования идеологии курса Современные методы математической физики ; к доказательству теорем и решению задач школьного курса;

навыками корректного использования терминологии курса Современные методы математической физики, навыками изложения доказательств и утверждений анализа;

навыками использования математических моделей в решении практических задач.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины «Современные методы математической физики»

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование элементов следующих компетенций в соответствии с ФГОС ВПО по данному направлению:

ПК-1	способен реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях;	Знать: корректные постановки основных краевых задач в пространствах Соболева, основные положения метода Фурье, основы теории потенциала, владеть методом разложения по системе собственных функций.
Уметь: использовать знание понятия корректной постановки математической задачи при работе над базовыми и элективными курсами.
Владеть: основными методами теорий корректности математической задачи.
СК-1	владеет основными положениями классических разделов математической науки, базовыми идеями и методами математики, системой основных математических структур и аксиоматическим методом;	Знать: корректные постановки основных краевых задач в пространствах Соболева, основные положения метода Фурье, основы теории потенциала, владеть методом разложения по системе собственных функци.
Уметь: использовать основные положения этих разделов науки при решении задач с практическим содержанием.
Владеть: основными методами анализа Фурье, спектрального анализа, методами исследования задачи на коррректность.
СК-2	владеет культурой математического мышления, логической и алгоритмической культурой, способен понимать общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными математическими дисциплинами, реализовывать основные методы математических рассуждений на основе общих методов научного исследования и опыта решения учебных и научных проблем, пользоваться языком математики, корректно выражать и аргументировано обосновывать имеющиеся знания	Знать: основные методы доказательства и алгоритмы анализа Фурье, спектрального анализа.
Уметь: применять метод Фурье, метод спектрального анализа, теорию обобщенны функций в пространствах Соболева.
Владеть: навыками применения основных алгоритмов метода Фурье, спектрального анализа во всех разделах математического и физического знания.
СК-3	способен понимать универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности, роль и место математики в системе наук, значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, общекультурное значение математики	Знать: законы логики математических рассуждений в разделах: метод Фурье для решения краевых задач, метод спектрального анализа в курсе математической физики.
Уметь: применять основные методы доказательных математических рассуждений в при решении уравнений в частных производных.
Владеть: навыками использования законов логики математических рассуждений в других областях математики.
СК-4	владеет математикой как универсальным языком науки, средством моделирования явлений и процессов, способен пользоваться построением математических моделей для решения практических проблем, понимать критерии качества математических исследований, принципы экспериментальной и эмпирической проверки научных теорий	Знать: основные примеры математических моделей в теории потенциала, в теории поля, в теории упругости, в гидродинамике, в теории колебаний.
Уметь: строить примеры математических моделей в теории потенциала, в теории поля, в теории упругости, гидродинамике, в теории колебаний
Владеть: навыками использования основных математических моделей в решении практических задач.

4. Структура и содержание дисциплины «Современные методы математической физики»

4.1. Структура дисциплины

Общая трудоемкость дисциплины составляет _5 зачетных единиц, _180_ часов.

№ п/п	Наименование разделов и тем дисциплины (модуля)	Семестр	Недели семестра	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)										Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра)
Аудиторная работа	Самостоятельная работа
Всего	Лекция	Практические занятия	Лабораторные занятия	Всего	Подготовка к аудиторным занятиям	Подготовка к тестированию	Подготовка к контрольной работе	Подготовка к коллоквиуму, собеседованию	Подготовка к экзамену	собеседование	коллоквиум	тест	контрольная работа
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
1.	Раздел 1. Теория потенциала	8	1-4	24	12	12		24	12	2	4	6	36
1.1.	Тема 1.1. Введение. Штурма-Лиувилля		1-2	12	6	6		12	6	2		4		2		1
1.2.	Тема 1.2.. Уравнения Лапласа; интегральные уравнения; теория потенциала.		3-4	12	6	6		12	6		4	2		4
2.	Раздел 2. Вариационное исчисление		5-12	48	24	24		48	24	2	8	14
2.1	Тема 2.1. Пространство Соболева		5-6	12	6	6		12	6	2		4				6	5
2.2	Тема 2.2. Сферические функции		7-8	12	6	6		12	6		2	4					8
2.3	Тема 2.3. Вариационное исчисление; решение краевых задач		9-12	24	12	12		24	12		6	6			11	10
	Общая трудоемкость в часах			72	36	36		72	36		12	24	36	Промежуточная аттестация
Форма	Семестр
														Экзамен	8 семестры

4.2. Содержание дисциплины

Раздел 1. Теория потенциала

Тема 1.1. Вывод основных уравнений математической физики и постановка граничных условий. Классификация линейных уравнений второго порядка. Приведение уравнения к каноническому виду. Многомерная формула интегрирования по частям. Формулы Грина. Задача Коши. Характеристики. Соотношение между данными Коши на характеристике. Формулировка теоремы Коши – Ковалевской. Задача Штурма - Лиувилля. Постановка задачи Штурма - Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма - Лиувилля.

Тема 1.2. Уравнение Лапласа. Формула Пуассона. Свойства гармонических функций, вытекающие из формулы Пуассона. Теоремы единственности и необходимые условия разрешимости для внутренних и внешних задач Дирихле и Неймана.. Интегральные уравнения. Теория потенциала. Исследование интегральных уравнений теории потенциала. Разрешимость краевых задач для оператора Лапласа.

Раздел 2. Вариационное исчисление

Тема 2.1..Пространство Соболева

Тема 2.2. Сферические функции. Гармонические полиномы и сферические функции. Дифференциальное уравнение сферических функций. Ортогональность на сфере сферических функций различных порядков.

Тема 2.3. Вариационное исчисление. Локальный экстремум функционала. Определение первой вариации. Вывод уравнения Эйлера для одномерного функционала; естественные граничные условия. Решение краевых задач. Фредгольмова разрешимость задачи Дирихле. Теоремы единственности для задачи Дирихле.

5. Образовательные технологии.

В ходе освоения дисциплины «Современные методы математической физики», при проведении аудиторных занятий, используются технологии традиционных и нетрадиционных учебных занятий.

Технология традиционного обучения предусматривает такие методы и формы изучения материала как лекция, практические занятия:

·  информационная лекция:

Тема 1.1. Классификация линейных уравнений второго порядка.

Тема 1.2. Уравнение Лапласа. Формула Пуассона. Свойства гармонических функций, вытекающие из формулы Пуассона.

Тема 2.3. Вариационное исчисление. Локальный экстремум функционала. Определение первой вариации

·  лекция-визуализация:

Тема 2.2. Сферические функции.

Тема 2.1. Пространство Соболева.

Практические занятия направлены на формирование у студентов умений и навыков решения задач, в том числе с практическим содержанием и исследовательских задач. В ходе проведения практических занятий используются задания учебно-тренировочного характера и задания творческого характера.

При изучении дисциплины «Современные методы математической физики» используются активные и интерактивные технологии обучения, такие как:

технология сотрудничества, включающая работу в малых группах (тема 2.2. Сферические функции.

·  тема 2.3. Вариационное исчисление;

·  медиатехнология (подготовка и демонстрация презентаций);

·  кейс-технология (проблемный метод, работа в парах и группах).

Нетрадиционные учебные занятия проводятся в форме тренинга (заключительные практические занятия по изучаемым темам).

Занятия, проводимые в интерактивной форме, в том числе с использованием интерактивных технологий составляют 25% от общего количества аудиторных занятий.

Самостоятельная работа студентов подразумевает работу под руководством преподавателя (консультации, коллоквиумы) и индивидуальную работу студента, выполняемую, в том числе, в компьютерном классе с выходом в сеть «Интернет» на физико-математическом факультете университета.

При реализации образовательных технологий используются следующие виды самостоятельной работы:

·  работа с конспектом лекции;

·  работа с учебником;

·  решение задач и упражнений по образцу;

·  решение вариативных задач и упражнений;

·  поиск информации в сети «Интернет» и дополнительной и справочной литературе;

·  подготовка к сдаче экзамена.

6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

Оценочные средства для текущего контроля успеваемости,

промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Самостоятельная работа студента.

Неделя	№ темы	Вид самостоятельной работы	Рекомендуемая литература	Часы
1	2	3	4	5
8 семестр	1	Теория потенциала		20
1-2	1.1.	Подготовка к аудиторному занятию: · работа с конспектом лекций: Классификация линейных уравнений второго порядка. · работа с учебником: Свойства гармонических функций, вытекающие из формулы Пуассона. ·  решение задач и упражнений по образцу; ·  решение вариативных задач и упражнений; ·  подготовка к коллоквиуму	1,2,3 (1,2)	12
3-4	1.2.	Подготовка к аудиторному занятию: · работа с конспектом лекции: Уравнение Лапласа. Формула Пуассона. ·  работа с учебником: Уравнение Лапласа. ·  решение задач и упражнений по образцу; ·  решение вариативных задач и упражнений; ·  подготовка к коллоквиуму	1,2,3 (1,2)	12
	2	Вариационное исчисление		40
5-6	2.1.	Подготовка к аудиторному занятию: Вариационное исчисление. Локальный экстремум функционала. работа с конспектом лекции: Определение первой вариации ·  работа с учебником: изучение вопроса: Вариация функции ·  решение задач и упражнений по образцу; ·  решение вариативных задач и упражнений; ·  подготовка доклада по заданной теме с компьютерной презентацией; ·  подготовка к коллоквиуму.	1,2,3 (1,2)	12
7-8	2.2.	Подготовка к аудиторному занятию: · работа с конспектом лекции: Вывод уравнения Эйлера для одномерного функционала; естественные граничные условия. ·  работа с учебником: изучение тем: «Вариация функции ·  решение задач и упражнений по образцу; ·  решение вариативных задач и упражнений; ·  подготовка доклада по заданной теме с компьютерной презентацией; ·  мини-исследование “ Решение краевых задач. Фредгольмова разрешимость задачи Дирихле. Теоремы единственности для задачи Дирихле. ”	1,2,3 (1,2)	12
9-12	2.3	Подготовка к аудиторному занятию: · работа с конспектом лекции: Решение краевых задач.. Теоремы единственности для задачи Дирихле. работа с учебником: изучение вопроса: Теоремы единственности для задачи Дирихле и Неймана. ·  решение задач и упражнений по образцу; ·  решение вариативных задач и упражнений; ·  подготовка доклада по заданной теме с компьютерной презентацией; подготовка к коллоквиуму.	1,2,3 (1,2)	24

Примерные варианты контрольной работы

В каждом варианте нужно выполнить следующие задания:

1.  Найти области гиперболичности, эллиптичности и параболичности уравнения и исследовать их зависимость от l, где l – числовой параметр.

2.  Найти все собственные числа и собственные решения краевой задачи (задача Штурма – Лиувилля)

3.  Привести уравнение к каноническому виду.

4.  Решить первую смешанную задачу для волнового уравнения на отрезке.

5.  Найти решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности на отрезке.

6.  Решить задачу Дирихле для уравнения Лапласа в круге.

Вариант 1

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Вариант 2

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Вариант 3

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

Примерные вопросы к собеседованиям

1.  Многомерная формула интегрирования по частям. Формулы Грина.

2.  Теоремы единственности и необходимые условия разрешимости для внутренних и внешних задач Дирихле и Неймана.

3.  Интегральные уравнения.

4.  Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям.

5.  Функции Бесселя и их свойства.

6.  Явное построение сферических функций (случай n=2 и n=3).

7.  Пространства основных и обобщенных функций. Регулярные обобщенные функции. Функция Дирака.

8.  Вывод уравнения Эйлера для одномерного функционала; естественные граничные условия.

9.  Вариационный принцип для собственных значений.

10.  Вывод основных уравнений математической физики и постановка

11.  Уравнение Лапласа. Формула Пуассона.

12.  Интегральные уравнения.

13.  Теория потенциала.

14.  Задача Штурма - Лиувилля.

15.  Сферические функции.

16.  Обобщенные функции и пространства Соболева.

17.  Вариационное исчисление.

18.  Решение краевых задач.

Вопросы к экзамену

1.  Вывод основных уравнений математической физики и постановка граничных условий.

2.  Классификация линейных уравнений второго порядка. Приведение уравнения к каноническому виду.

3.  Многомерная формула интегрирования по частям. Формулы Грина.

4.  Задача Коши. Характеристики. Соотношение между данными Коши на характеристике. Формулировка теоремы Коши - Ковалевской.

5.  Оператор Лапласа в сферических координатах. Преобразование Кельвина.

6.  Фундаментальное решение уравнения Лапласа.. Формула Пуассона.

7.  Теоремы единственности и необходимые условия разрешимости для внутренних и внешних задач Дирихле и Неймана.

8.  Объемный потенциал и его свойства. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям.

9.  Разрешимость краевых задач для оператора Лапласа.

10.  Постановка задачи Штурма - Лиувилля. Функция Грина задачи Штурма - Лиувилля. Фредгольмова разрешимость задачи Штурма - Лиувилля.

11.  Гармонические полиномы и сферические функции.

12.  Пространства основных и обобщенных функций. Регулярные обобщенные функции. Функция Дирака.

13.  Фундаментальное решение дифференциального оператора. Обобщенные производные по Соболеву..

14.  Локальный экстремум функционала. Определение первой вариации.

15.  Изопериметрическая задача; теорема Эйлера.

16.  Вывод уравнения колебаний мембраны.

17.  Теоремы единственности для задачи Дирихле. Обобщенная постановка задачи Неймана. Теорема единственности. Разрешимость задачи Неймана.

18.  Схема метода Галеркина. Вариационно-разностный метод для краевых задач. Вариационный принцип для собственных значений.

19.  Метод Галеркина - Ритца для собственных значений.

20.  Уравнение теплопроводности. Принцип максимума и его следствия.

21.  Метод Фурье для параболического уравнения.

22.  Волновое уравнение. Задача Коши для волнового уравнения. Формулы Д' Аламбера для колеблющейся струны.

23.  Свойства сферических средних.

24.  Формула Кирхгофа. Метод спуска. Диффузия волн.

25.  Метод Фурье.

8. Список основной и дополнительной литературы

Основная литература:

1.  . Курс математической физики // М., Наука, 2008.

2.  2. . Курс высшей математики. Т.4. Изд.6 // Ч.1. М., Наука, 20044; Ч.2. М., Наука, 2005.

3.  . Уравнения математической физики. Изд.5 // М., Наука, 2008.

4.  . Задачи по уравнениям математической физики // М., Наука, 2005.

Дополнительная литература:

1. . Линейные уравнения в частных производных // М., ВШ, 2007.
2. . Краевые задачи математической физики // М., Наука, 2003.

Программное обеспечение и Интернет-ресурсы

№	Название	Электронный адрес	Содержание
1.	*****	www. *****	Сайт посвящён математике (и математикам. Этот сайт — для школьников, студентов, учителей и для всех, кто интересуется математикой. Тех, кого интересует зона роста современной науки математика.
2.	Exponenta.ru	www. *****	Студентам: - запустить установленный у Вас математический пакет, выбрать в списке примеров, решенных в среде этого пакета, подходящий и решить свою задачу по аналогии; Преподавателям: - использовать математические пакеты для поддержки курса лекций. Всем заинтересованным пользователям: – можно ознакомиться с примерами применения математических пакетов в образовательном процессе. – найти демо-версии популярных математических пакетов, электронные книги и свободно распространяемые программы.
3.	Математика	www. *****	учебный материал по различным разделам математики – алгебра, планиметрия, стереометрия, функции, графики и другие.
4.	Truba. nnov	www. truba. *****	Сайт о математическом анализе.
5.	fismat	www. *****	Высшая математика для студентов – интегралы и производные, ряды; лекции, задачи, учебники.
4.	Российское образование.	www. *****	федеральный образовательный портал: учреждения, программы, стандарты, ВУЗы, тесты ЕГЭ.
6.	Математика для студентов и прочее.	www. xplusy. *****	содержит большое количество видеолекций для школьников, абитуриентов и студентов по математике и физике.

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

«Современные методы математической физики»

Для освоения данной дисциплины необходимы:

– мультимедийные средства обучения математическому анализу (компьютер и проектор; интерактивная доска; Интернет - ресурсы).

Рабочая программа дисциплины «Современные методы математической физики» составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций примерной ООП ВПО по направлению подготовки _050100 Педагогическое образование и профилю подготовки Математика.

Программу составил:

1._, кандидат физ.- мат. наук, _доцент_______________________

2.___________________________________________________________________

Настоящая программа не может быть воспроизведена ни в какой форме без предварительного письменного разрешения кафедры-разработчика программы.

Программа одобрена на заседании кафедры _математического анализа

Протокол № ___ от «____» _________ 2013 года

Зав. кафедрой математического

анализа ___________________________

(подпись)

Программа одобрена учебно-методическим советом физико-математического факультета

Протокол № ___ от «____» ______________ 201__ года

Председатель учебно-методического совета

физико-математического факультета ________________________