СОВРЕМЕННЫЕ ПОДХОДЫ В ФОРМИРОВАНИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ УМЕНИЙ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
Е
студентка факультета психолого-педагогического и специального образования Саратовского государственного университета им.
Одной из важнейших задач обучения математике до внедрения ФГОС НОО считалось формирование у младших школьников вычислительных навыков, основывающихся на осознанном и прочном усвоении приемов устных и письменных вычислений. Данная проблема нашла отражение в трудах известных методистов и педагогов, например, , и др.
В настоящее время в требованиях ФГОС НОО и в Примерной основной образовательной программе начального общего образования термин вычислительные навыки отсутствует, вместо него говорится об умении «выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями» [1]. В связи с этим при обучении математике уместно использовать более широкое понятие – вычислительные умения, которые являются высокой степенью овладения вычислительными приемами.
Под вычислительным приемом часто понимают последовательные операции (системы операций), выполнение которых приводит к нахождению результата требуемого арифметического действия. Известно, что вычисление – процесс алгоритмический, следовательно, и вычислительные приемы по своей структуре схожи с понятием алгоритма. Так, основывается на определение , который представляет алгоритм как «последовательность элементарных действий (операций), которые в силу их простоты однозначно понимаются и исполняются всеми», и выделяет характерную черту алгоритма - последовательность (поэтапность, пошаговость) выполнения системы операций, составляющих то или иное действие [2].
В соответствие с требованиями ФГОС НОО, в которых говорится о необходимости развития у младших школьников алгоритмического мышления, можно сделать вывод, что процесс формирования у них вычислительных умений - это организованный учителем процесс овладения вычислительными алгоритмами. Таким образом, можно сделать вывод, что учащиеся в ходе обучения математике должны научиться находить и применять необходимый алгоритм к данному вычислительному случаю.
Существует несколько видов вычислений и классификаций, но в данной работе мы рассмотрим вычисления табличные, а именно касающиеся таблицы умножения. Именно этому разделу уделяется большое внимание, поскольку от прочного и качественного усвоения табличных случаев умножения зависит дальнейшее освоение более сложных вычислений, умножения и деления многозначных чисел. Иными словами, знание таблицы умножения – это полезный навык, необходимый человеку в течение всей жизни.
Главным результатом освоения табличных вычислений считается знание наизусть результатов умножения, а также соответствующих случаев деления для всех однозначных чисел. Существует множество способов достижения такого результата, но самым неэффективным по праву считается «зазубривание» без осознания смысла таблицы умножения и собственно умножения. И, тем не менее, запоминание табличных случаев представляет собой сложный и долгий процесс в связи с большим объемом информации и разной скоростью усвоения материала учащимися. Поэтому встает вопрос – существуют ли такие способы, которые помогают облегчить процесс запоминания и сделать его осознанным? Как можно улучшить результаты изучения данной темы и уменьшить объем представляемого материала одновременно?
Для начала рассмотрим стандартную таблицу умножения (рис. 1). В таблице представлены 100 случаев умножения чисел от 1 до 10 друг на друга. Но все ли эти случаи требуется запоминать? Поставим такой вопрос перед школьниками. Окажется, что табличные случаи для запоминания можно значительно сократить, если внимательно проанализировать таблицу умножения.
В ходе исследовательской работы младшие школьники, в первую очередь, могут обратиться к таким случаям, как умножения на 1 и 10. Т. к. уже в начальной школе (до изучения таблицы умножения) дети знакомятся с правилом умножения на 1, то трудностей в таких случаях они не испытывают и, следовательно, легко их усваивают.
Случай умножения на 10 так же легко воспринимается детьми, поскольку не составляет труда запомнить, что при умножении на 10 достаточно добавить к нужному множителю нуль. Таким образом. Можно отбросить два случая – умножение на 1 и 10. Таблица за счет удаления первого и последнего столбиков сократится до 64 случаев.
При переходе к умножению на 2 учащиеся обращают внимание на тот факт, что результат умножения изменяется с шагом 2, т. е. каждый последующий результат «больше предыдущего на 2». Нетрудно догадаться, что, зная результат умножения 1x2 = 2, ребенок сможет продолжить числовой, прибавляя каждый раз по 2: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
На основе того, что учащиеся знакомы с коммутативным (переместитель-ным) законом, можно:
· при умножении на 3 отбросить случай 2х3, т. к. 2х3 = 3х2 = 6;
· при умножении на 4 отбросить случай 2х4, т. к. 2х4 = 4х2 = 8 и 3х4, т. к. 3х4 = 4х3 = 12;
· при умножении на 5 отбросить случай 2х5 (т. к. 2х5 = 5х2 = 10), 3х5 (т. к. 3х5 = 5х3 = 15), 4х5 (т. к. 4х5 = 5х4 = 20);
· при умножении на 6 отбросить случай 2х6 (т. к. 2х6 = 6х2 = 12), 3х6 (т. к. 3х6 = 6х3 = 18), 4х6 (т. к. 4х6 = 6х4 = 24), 5х6 (т. к. 5х6 = 6х5 = 30).
И так далее. В итоге получится, что количество табличных случаев для запоминания значительно уменьшится.
Тем не менее, запоминание оставшихся случаев тоже можно облегчить. Например, при запоминании умножения на 5 учащиеся могут найти следующую закономерность: результат умножения с каждым разом увеличивается на 5. Зная случай умножения 5х1 = 5, достаточно прибавить к каждому следующему числу 5 (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50). При рассмотрении случаев умножения на 3 можно прийти к выводу, что результат всегда увеличивается на 3 (3х1 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30). А при умножении на 4 получится, что результат всегда увеличивается на 4.
Следовательно, раскрывается самая главная закономерность операции умножения: результат всегда увеличивается на число, на которое умножаем. Иными словами, умножение - это многократное сложение. Конечно, данный принцип трудно применить к сложным случаям, таким, как умножение на 7, 8 и 9, где младший школьник не способен проводить устные вычисления.
Помогают усвоить таблицу умножения задания развивающего характера: «Продолжи ряд 3, 6, 9,»; «Какое число пропущено 6, 12, ... ,24, 30?»; «Найди закономерность 35, 42, 49, ...» и др.
Отдельно стоит рассмотреть случаи умножения на 9, которые вполне оправданно считаются наиболее трудными. Не случайно в учебнике изучение табличных случаев умножения начинается именно с данных случаев. Однако существует более простой способ умножения на 9, который основан на дистрибутивном свойстве умножения относительно вычитания, а именно: ах9 = ах(10-1)= ах10 – а. Например, 8х9 = 8х= 8х10 – 8 = 80 – 8 = 72.
Умножить число на 10 очень легко, вычесть из «круглого десятка» однозначное число также несложно, по крайней мере. В этом случае не приходится переходить через разряд, что необходимо сделать при традиционном использовании умножения как сложения одинаковых слагаемых. К сожалению, представленный способ умножения на 9 редко используется на практике в начальной школе.
Таким образом, количество материала для запоминания становится еще меньше, а значит, учащиеся смогут хорошо усвоить данный материал, и проблем при дальнейшем изучении дисциплины станет меньше.
Теперь перейдем к таблице Пифагора. Что она собой представляет?
Таблица Пифагора представляет собой таблицу, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а в ячейках таблицы, на пересечении строк и столбцов, находится их произведение (рис. 2). На самом деле, эта таблица известна практически каждому человеку; она довольно часто располагается на задних обложках тетрадей, поэтому всегда находится у школьника под рукой.
В ходе знакомства с таблицей Пифагора учащиеся начальной школы могут обратить внимание на различные закономерности в организации данной таблицы. Назовем эти закономерности «Секретами таблицы умножения».
Итак, какие же закономерности (секреты) встречаются в таблице Пифагора?
1. Строки и столбцы с одним и тем же множителем повторяются (основано на коммутативном свойстве умножения).
2. В строчках и столбиках 2, 4, 6, 8 все числа являются четными (если один из множителей является четным числом, то и произведение этого множителя на любое число будет четным).
3. Любое число, кроме чисел в крайних столбиках, являются средним арифметическим своих соседей (основано на арифметической прогрессии, которой является каждая строка таблицы Пифагора).
4. В строчке (столбике) 5 все произведения оканчиваются на ноль или пять, причем цифры 0 и 5 в разряде единиц чередуется: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 (объясняется признаком делимости на 5).
5. Если рассматривать столбцы 2 и 8, то можно увидеть, что в столбце 2 единицы в результате возрастают, а в 8 столбце – убывают.
6. По диагонали, проведенной из верхнего левого угла в нижний правый угол, располагаются квадраты натуральных чисел от 1 до 10.
7. Относительно диагонали, проведенной из верхнего левого в нижний правый угол, (см. рис.) числа располагаются симметрично.
8. Суммы чисел, расположенных на одинаковом расстоянии от центрального столбика (5-го), всегда равны и в два раза больше числа, записанного в центре.
9. При умножении чисел от 1 до 10 на 2 цифры 0, 2, 4, 6,8 повторяются в разделе единиц;
10. При умножении на 3 в ответах появляется следующая закономерность:
- сначала идут числа 3, 6, 9;
- затем три двузначных числа, у которых первая цифра 1, но сумма цифр равна 3, 6 и 9;
- затем идут три двузначных числа, у которых первая цифра 2, а сумма цифр остается в таком же порядке: 3, 6, 9;
11. При умножении на 3, 6, 9 сумма цифр в двузначных числах всегда делится на 3; а при умножении на 9 сумма цифр всегда делится на 9 (в таблице Пифагора она всегда равна 9).
Таким образом, можно сделать вывод, что в таблице умножения Пифагора существует достаточное количество закономерностей. Конечно, в данной работе представлены далеко не все из них, поэтому если наши юные исследователи захотят, то смогут найти еще больше «секретов».
Таблица умножения – очень важный для изучения материал в начальной школе. Ведь именно таблица умножения, как и сложения, представляет основу всех математических расчетов и вычислений, которыми полна не только наука математика, но и повседневная жизнь человека. Без знания таблицы умножения ребенок в дальнейшем может испытывать большие трудности.
Поэтому для успешного формирования вычислительных умений, связанных с табличными вычислениями, на помощь учителям и учащимся приходят методы, описанные ранее в нашей работе. Благодаря этим методам ребенок не просто заучивает таблицу умножения, а понимает ее структуру, особенности и, следовательно, запоминает ее логическим путем.
Литература
Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. Утвержден приказом Минобрнауки России от 6 октября 2009 г. № 000; в ред. приказов от 26 ноября 2010 г. № 000, от 22 сентября 2011 г. № 000. – Режим доступа: http://standart. *****/catalog. aspx? CatalogId=959 (дата обращения: 15 сентября 2013 г).
Пошаговые алгоритмы при обучении математике // Начальная школа№11. – С. 60-63.
