Область значений и ядро линейного преобразования.

Определение 1. Пусть линейное преобразование линейного пространства L над полем P. Множество {(x) |"xL} называют областью значения линейного преобразования и обозначают L или (L).

Теорема 1. Область значений линейного преобразования линейного пространства L является подпространством линейного пространства L.

Теорема 2. Пусть e1,…,en – базис линейного пространства Ln и – линейное преобразование Ln. Тогда базис Ln совпадает с базисом системы векторов { e1,…, en}.

Следствие. dim Ln равна рангу системы векторов e1,…, en.

Пусть А = -

e1 … en

‑ матрица линейного преобразования линейного пространства Ln в базисе e. Тогда известны координатные столбцы векторов e1,…, en в базисе е. Пусть ранг матрицы А равен r и Mr – её базисный минор. Для удобства будем считать, что он расположен в левом верхнем углу матрицы А. Тогда векторы e1,…, en составляют базис системы векторов {e1,…,en}. В силу следствия теоремы 2, e1,…, en – это базис области значений Ln и dim Ln = r = r(A).

Определение 2. Число r называют рангом линейного преобразования .

Пример 1. Матрица A линейного преобразования линейного пространства А3 в базисе е1, е2, е3 имеет вид:

А=. Найти базис и размерность А3.

Решение. Найдём ранг матрицы А

А = М2 = = r(A)

M3 = 0, отсюда r(A) = 2. Базисные столбцы – это первый и второй столбцы А. Значит, базис А3 составляют векторы e1=e1+2e2+e3, e2=e1+2e2 и поэтому A3 =<e1 +2e2+e3, e1+2e2>. dim А3 =2.

Определение 3. Пусть – линейное преобразование линейного пространства L над полем Р. Множество векторов {x | xLn, (x) = 0} называют ядром линейного преобразования и обозначают . Другими словами, – это множество всех векторов из L, которые при преобразовании переходят в нуль.

Очевидно, что , т. к. 0 = 0 и 0.

Теорема 2. Ядро линейного преобразования линейного пространства L является подпространством пространства L.

Теорема 2. Множество векторов линейного преобразования линейного пространства Ln с базисом (е1,…,еn) = e и матрицей = преобразования в базисе е совпадает с множеством решений однородной системы уравнений

(1)

Следствие. Если r(A)=n, то система имеет одно решение – только нулевое; поэтому =0. Если r(A)=r<n, то система имеет бесконечно много решений. Её ФСР состоит из (n – r) решений. Они и составляют базис . Размерность ядра равна (n – r), т. е. dim=n – r.

Определение. Число (n – r) = dim называют дефектом линейного преобразования n-мерного линейного пространства L.

Теорема 3. Сумма размерности области значений линейного преобразования n‑мерного линейного пространства Ln и размерности его ядра равна размерности Ln, то есть

dim L + dim = n.

Пример 2. В линейном пространстве А3 в базисе е1, е2, е3 матрица А линейного преобразования имеет вид: =. Найти базис и размерность ядра преобразования .

Решение. Находим ранг матрицы А. М2 == 3 – 2 , r³2, M3 = 0, r (A) = 2. Значит r < n (2 < 3). Составляем систему уравнений АX = 0, где Х =

(2)

Она имеет бесконечно много решений и её ФСР состоит из n−r=3–2=1, одного решения. Поэтому dim = 1. Решаем систему (2).

Основные неизвестные – х1, х2, свободные – х3.

x1

x2

x3

–3

1

1

Значит ФСР системы (2) является (–3, 1,1). Базис состоит из одного вектора, например, a=–3e1+e2+e3 и =<3e1 +e2–5e3 >.