Затухающие колебания

2. Затухающие колебания

2.1.1. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время t1=5 мин уменьшилась в два раза. За какое время, считая от начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

Решение

1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебаний

, (1)

где А(t) - амплитуда колебаний в начальный момент времени, А(t + T) - значение амплитуды через один период колебания, d - коэффициент затухания.

2. Определим из уравнения (1) величину коэффициента затухания, переписав его следующим образом

. (2)

3. Воспользовавшись соотношениями (2) определим искомое время, соответствующее уменьшению амплитуды в восемь раз

. (3)

2.1.2. Логарифмический декремент маятника q = 0,003. Определите число полных колебаний N, которые совершит маятник при уменьшении амплитуды в два раза.

Решение

1. Запишем уравнение логарифмического декремента колебательного процесса, воспользовавшись уравнением

, (1)

где N - число полных колебаний, соответствующих моменту времени t.

2. Из уравнения (1) определим искомую величину

. (2)

2.1.3. Определите период затухающих колебаний, если период собственных колебаний системы без потерь равен Т0 = 1с, а логарифмический декремент составляет q = 0,628.

Решение

1. Период затухающих колебаний

, (1)

откуда

, (2)

. (3)

2.1.4. Известно, что при затухающих колебаниях за t = 0,25 Т смещение тела составило х = 4,5 см, период затухающих колебаний Т = 8 с, логарифмический декремент q = 0,8. Начальная фаза колебаний равна j = 0. Подучить уравнение затухающих колебаний и представить его графически.

Решение

1. Определим величину циклической частоты затухающих колебаний

. (1)

2. Коэффициент затухания d определим из уравнения логарифмического декремента

. (2)

3. Значение амплитуды колебаний для момента времени t определим, воспользовавшись уравнением затухающих колебаний

, (3)

(4)

. (5)

4. Запишем уравнение затухающих колебаний применительно к полученным данным

. (6)

5. Для построение графика колебаний вычислим значение x(t) для моментов времени: t1 = T/4 = 2 c; t2 = T/2 = 4 c; t3 =3T/4 = 6 c; t4 = T = 8 c; t5 = 5T/4 = 10 c; t6 = 3T/2 = 12 c. Для чего эти величины времени, кратные Т/4, последовательно подставим в уравнение (6)

t, с	2	4	6	8	10	12
х(t), см	4,5	0	- 3	0	1,98	0

2.1.5. Задано уравнение затухающих колебаний точки

,

Найти зависимость скорости движения точки в функции времени, представить зависимость графически.

Решение

1. В данном случае амплитуда колебаний равна А = 10 см, циклическая частота w = (p/3) рад/с, коэффициент затухания - d = 0,1 с - 1, начальная фаза равна нулю.

2. Определим скорость затухающих колебаний, для чего продифференцируем по времени заданное уравнение движения

, (1)

. (2)

3. Определим период колебаний

. (3)

4. Вычислим значение скорости в следующие моменты времени:

t1 =0,

; (4)

t2 = T/4 = 1,5 с

; (5)

t3 = T/2 = 3 c

; (6)

t4 = T = 6 с

; (7)

t5 = 5T/4 = 7,5 с

; (8)

t6 = 3T/2 = 9 c

; (9)

t7 = 2T = 12 c

2.1.6. Математический маятник колеблется в среде, обеспечивающей величину логарифмического декремента q = 0,5. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний по истечении одного полного периода колебаний?

Решение

1. Запишем уравнение затухающих колебаний в общем виде

. (1)

2. Для определения амплитудных значений отклонений маятника уравнение (1) необходимо переписать при условии sin(wt + j0) = 1

, (2)

. (3)

1.2.7. Математический маятник в течение 120 секунд уменьшил амплитуду колебаний в 4 раза. Определить величину логарифмического декремента, если длина нити подвеса составляет l = 2,28 м.

Решение

1. Запишем уравнение затухающих колебаний

. (1)

2. Определим период незатухающих колебаний маятника

. (2)

3. Перепишем уравнение (1) с учётом заданных значений величин и найденного периода

. (3)

2.1.8. Математический маятник длиной колеблется в среде с коэффициентом затухания d = 0,045.Определить время t, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в 10 раз.

Решение

1. Уравнение колебаний математического маятника можно записать, представив отклонение грузика в угловых величинах

, (1)

где w - частота затухающих колебаний.

2. Запишем уравнение (1) применительно к амплитудным значениям отклонения

. (2)

3. Определим, используя уравнения (2) отношение амплитуд

. (3)

2.1.9. Математический маятник длиной l = 1,09 м колеблется в вязкой среде с коэффициентом затухания d = 0,3 с - 1. Во сколько раз должен возрасти коэффициент затухания, чтобы гармонические колебания оказались невозможными?

Решение

1. Запишем уравнение периода затухающих колебаний

, (1)

из которого следует, что предельное значение коэффициента затухания соответствует dmax = w0, или

. (2)

2. Коэффициент затухания должен увеличиться в z - раз

. (3)

2.1.10. Амплитуда затухающих колебаний за время t1 = 100 с уменьшилась в n1 = 20 раз. Во сколько раз амплитуда уменьшится за время t2 = 200 с?

Решение

1. Запишем уравнение для амплитуд затухающих колебаний

. (1)

2. В данном случае

. (2)

3. Запишем уравнение, аналогичное (2) для момента времени t = t2

, (3)

4. Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно величины n2, получим

, (4)

откуда

. (5)

2.1.11. Колебания некой точки происходят в соответствие с уравнением x(t) = 100exp(-0,01t)cos8pt, мм. Определить амплитуду после того, как будут выполнены N = 100 полных колебаний.

Решение

1. Из заданного уравнения движения следует что: циклическая частота колебаний составляет w = 3p рад/с; коэффициент затухания - d = 0,01 с - 1; начальная амплитуда колебаний - 100 см.

2. Определим период колебаний и логарифмический декремент

, . (1)

3. Амплитуда после истечения заданного числа колебаний определится на основании заданного уравнения так

. (2)

2.1.12. Математический маятник длиной l = 2 м, колеблющийся в среде с потерями, за время t = 10 мин потерял 50 % своей энергии. Определить логарифмический декремент маятника.

Решение

1. В первом приближении можно считать, что энергия затухающих колебаний пропорциональна квадрату амплитуды

(1)

2. По условию задачи

. (2)

3. Совместим условие (2) в системой уравнений (1)

(3)

. (4)

4. Период колебаний маятника, ввиду малости коэффициента затухания можно приближённо определить уравнением

. (5)

5. Логарифмический декремент колебаний определится как

. (6)

2.1.13. Математический маятник длиной l = 2 м колеблется в среде с логарифмическим декрементомq = 0,01, так что энергия колебаний уменьшилась в z = 10 раз. Какое время t прошло при этом с момента начала колебаний?

Решение

1. Запишем уравнение амплитуд затухающего колебания и определим относительную амплитуду

; (1)

2. Подставим в уравнение (2) соотношение для периода колебаний

; (2)

3. Для того чтобы связать величины x и z необходимо проанализировать уравнение энергии колебательного движения

; (3)

; (4)

. (5)

2.1.14.. Определите число полных колебаний N, в течение которых энергия системы уменьшится в два раза. Логарифмический декремент колебаний q = 0,01.

Решение

1. Для решения задачи воспользуемся уравнением (2) задачи 2.1.2

. (1)

2.1.15. Найти период затухающих колебаний математического маятника если период его собственных колебаний составляет Т0 = 1 с, а логарифмический декремент равен q = 0,628

Решение

1. Определим циклическую частоту собственных колебаний математического маятника

. (1)

2. Определим коэффициент затухания

. (2)

3. Найдём период затухающих колебаний

1,0054 с. (3)

2.1.16. Тело массой m = 5кг совершает гармонические затухающие колебания. За первые 50с колебаний тело теряет 60% своей первоначальной энергии. Определите коэффициент сопротивления среды.

Решение

1. Определим коэффициент затухания d из следующих соображений

, (1)

. (2)

2. Найдём коэффициент сопротивления среды, в которой колеблется тело

. (3)

2.1.17. Некое тело массой m = 1 кг находится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,05 кг/с. Тело соединено с двумя одинаковыми недеформированными пружинами жёсткости k = 50 Н/м. Определить логарифмический декремент при возникновении малых колебаний, период колебаний и коэффициент затухания.

Решение

1. Определим коэффициент затухания, воспользовавшись уравнением (3) предыдущей задачи

. (1)

2. Найдём циклическую частоту и период свободных и затухающих колебаний системы с учётом того, то пружины соединены параллельно

. (2)

. (3)

3. Логарифмический декремент колебаний

. (4)