Сопротивление материалов. Часть 1. Задачи для домашних заданий, примеры решений (стр. 4 )

Косой изгиб балки

Задана балка, изготовленная из двух стальных швеллеров с расчётным сопротивлением материала R.

Построить эпюры изгибающих моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях; установить положение наиболее опасного сечения, найти нейтральную линию и построить эпюру напряжений, проверить прочность по предельным состояниям.

Исходные данные

Шифр	м	F1 кН	F2 кН	М кНм	R МПа	γс
31-6	1,0	10	30	18	240	0,95

Расчётная схема Решение

На исходном чертеже (рис. 1) показываем оси x, y, z. Нагрузки, действующие на балку, расположены в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Поэтому в поперечных сечениях балки будут действовать изгибающие моменты Mx и My. Из этого следует, что в данном случае имеется косой изгиб. Необходимо построить раздельно эпюры изгибающих моментов в горизонтальной и вертикальной плоскостях.

Начнём с вертикальной плоскости. Вид балки изображён на схеме а) рис. 2. Сечения при изгибе поворачиваются вокруг оси х, поэтому здесь действуют изгибающие моменты Мx. Показываем оси y, z, точки В, С, намечаем участки 1 и 2.

Изгибающий момент в сечениях первого участка

Mx = M = 18 кНм.

То же в сечении С второго участка

MxC = M – F2 · l = 18 – 30 · 1 = - 12 кНм.

Для построения эпюры изгибающих моментов достаточно найти момент в сечении С

Mx = R1 2 l = 1,7 · 2 · 0,6 = 2,04 кH.

В результате получается эпюра Mx, показанная на рисунке.

Перейдём к расчётам для горизонтальной плоскости. Расчётная схема имеет вид б). Указываем оси x, z, точки В, С, намечаем участки 1 и 2. В данном случае изгибающие моменты обозначаются Мy, поскольку они поворачивают сечения вокруг оси у-ов.

В сечениях 1 участка изгибающий момент равен нулю. В сечениях В, С второго участка получим

МуВ = - F1l = - 10 · 1 = - 10 кHм, МуС = - F12l = - 10 · 2 · 1 = - 20 кHм.

Показываем соответствующую эпюру на рисунке.

Установить сразу опасное сечение по двум эпюрам балки не удаётся, потому что наибольшие изгибающие моменты Мx max и Му max действуют в разных сечениях с разными осевыми моментами сопротивления. Для выявления наиболее опасного сечения придётся рассмотреть сечения С и D.

Предварительно найдём геометрические характеристики сечений. С этой целью изобразим сечение, укажем центры тяжести швеллеров C1, С2 и всего сечения - С. Проведём оси x1, y1, x2, у2 - центральные для отдельных швеллеров, а также оси х, у - центральные для всего сечения. Выпишем данные одного швеллера из таблицы ГОСТ8240-89 с учётом его горизонтального положения в данной балке.

А1 = 18,1 см2, h = 16 см, b = 6,4 см, zo = 1,8 см,

J= 63,3 см4, J = 747 см4 .

Расстояние между параллельными осями х1 и x равно

b1 = + zo = 3,5 + 1,8 = 5,3 см.

Вычислим осевые моменты инерции сечения балки

Jx = 2(J + bA1) = 2 · (63,3 + 5,32 · 18,1) = 1143 см4,

Jy = 2J= 2 · 747 = 1494 см4.

Им соответствуют осевые моменты сопротивления

Wx=см³, Wy= 186,8 см³.

Ввиду того, что сечение балки симметричное с угловыми точками, максимальное нормальное напряжение в нём можно найти по формуле

σmax=

В сечении В

smax = = 209,4 · 10 6 = 209,4 МПа.

В сечении С

smax = = 211,1 · 10 6 = 211,1 МПа.

Из сравнения результатов видно, что опасным является сечение С. Построим для него нейтральную линию и эпюру напряжений.

След силовой плоскости является прямой линией с угловым коэффициентом

k1 = tg a = = 0,6.

Отсюда α = 31°.

На рис. 4 покажем изгибающие моменты Mx и My, причём направим их в соответствии с эпюрами, изображёнными на рис. 2. Учтём при этом, что ординаты эпюр, как полагается, отложены со стороны растянутых волокон балки. Конкретно это означает, что изгибающий момент Mx должен быть направлен таким образом, чтобы верхние волокна балки были растянутыми. Аналогично, изгибающий момент My должен быть направлен таким образом, чтобы правые волокна балки были растянутыми. Сказанное влечёт направления Mx и My, показанные на рис. 4, а затем и направление суммарного изгибающего момента М, лежащего в силовой плоскости под углом α, как показано на рисунке. Угол α при этом откладывается против часовой стрелки, так как угловой коэффициент получен в виде положительного числа.

Нейтральная линия является прямой с угловым коэффициентом

k2 = tg β = = - 1,275.

Её угол наклона к горизонтальной оси

β = - 51,9º.

Получен знак минус. Следовательно, угол β должен быть отложен на рисунке по часовой стрелке. Как легко можно заметить, силовая плоскость и нейтральная линия не перпендикулярны между собой.

По положениям моментов и нейтральной линии, очевидно, что наибольшее растягивающее напряжение должно быть в точке D, наиболее удалённой от нейтральной линии и находящейся в растянутой зоне сечения. Его численное значение найдено выше.

Для построения эпюры нормальных напряжений требуется определить и наибольшее сжимающее напряжение в сечении. Оно будет в точке E, также наиболее удалённой от нейтральной линии, но уже расположенной с противоположной стороны в сжатой зоне. Вследствие симметричности сечения такое напряжение можно легко установить, т. е. будет

smin = - smax = - 211,1 МПа.

Проверку прочности выполним по условию

smax ≤ γC R,

что даёт

211,1 ≤ 0,95·240, 211,1 ≤ 228.

Прочность балки обеспечена.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	м	F1 кН	F2 кН	М1 кНм	М2 кНм	R МПа	γс
1	1,1	22	28	20	24	260	0,80
2	1,0	24	27	21	30	250	0,95
3	1,3	26	25	30	21	270	0,90
4	1,2	30	21	24	26	290	0,85

Задача 6

Расчёт бруса на прочность при сложном сопротивлении

Дан плоскопространственный консольный брус из двух стержней с ломаным очертанием осевой линии. Сечение одного стержня круглое с диаметром d, сечение другого стержня прямоугольное с заданным соотношением сторон h/b. Стержни перпендикулярны между собой, Силы направлены перпендикулярно стержням или вдоль их осей, пары сил (моменты) лежат в плоскостях, перпендикулярных одному из стержней.

Требуется:

1. Построить эпюры N, Qx, Qy, Mx, My, Mк в аксонометрии.

2. Указать вид сопротивления для каждого участка бруса.

3. Определить максимальные напряжения в опасном сечении каждого участка от внутренних усилий Nz, Mx , My и Mz (касатель­ными напряжениями от Qx и Qy  пренебречь).

4. Из расчёта на прочность по первому предельному состоянию определить размеры поперечного сечения d, b, h.

Указание. Ориентацию прямоугольного сечения относительно координатных осей выбирает студент.+

Исходные данные

Шифр	м	a м	h /b cм	F1 кН	F2 кН	Rр МПа	Rс МПа	γc
31-6	1,1	0,6	1,75	9	6	170	170	0,95

Расчётная схема Решение

Заданы расчётные значения сопротивления материала и нагрузок. Для проверки прочности балки потребуются максимальные значения поперечной силы, крутящего и изгибающего моментов в сечениях. Поэтому необходимо построить соответствующие эпюры.

Искомые размеры поперечных сечений зависят от внутренних сил. Поэтому займёмся их определением с помощью метода сечений. Чтобы не вычислять специально опорные реакции, в методе сечений будем рассматривать отсечённые части, не включающие заделку. Рассмотрим каждый участок отдельно.

Участок BC. Отсечённая часть представлена на рис. 2. Показаны координатные оси и внутренние силы. Направления последних избираются произвольно, их действительные направления далее даются решениями уравнений. Составим уравнения равновесия и найдём из них внутренние силы

Во всех ответах получены положительные знаки, и это означает, что фактические направления внутренних сил совпадают с заранее показанными на рисунке 1.

Участок CD. Отсечённая часть представлена на рис. 3. Как и в предыдущем случае составим уравнения равновесия, и найдём внутренние силы

Для продольной силы получен знак минус, и это означает, что направление стрелки противоположно изображённому на рисунке 3, т. е. участок CD работает на сжатие.

По результатам вычислений построены эпюры N, Qy, Mx и Mк, показанные на рисунке 4. Внутренние силы Qx и My тождественно равны нулю.

Перейдём к определению размеров поперечных сечений стержня. Расчётные сопротивления материала на растяжение и сжатие равны между собой. Значит, наиболее подходящей теорией прочности является энергетическая теория прочности.

Участок BС подвергается прямому поперечному изгибу. При пренебрежении поперечной силой (значит, и касательными напряжениями) здесь расчёт должен проводиться в опасном сечении по нормальному напряжению, так как напряжённое состояние получается линейным (одноосным). Опасным сечением является сечение С с максимальным изгибающим моментом Мх = 3,6 кНм. Независимо от применяемой теории прочности условие прочности по первому предельному состоянию имеет вид

(1)

где Wх – осевой момент сопротивления поперечного сечения. Вычислим его по известной формуле для круга

Теперь условие прочности (1) после подстановок принимает вид

Решая, получим d = 6,1 см.

Участок СD находится в условиях сложного сопротивления, так как в его сечениях действуют сжимающая продольная сила, изгибающий момент, крутящий момент и поперечная сила (рис. 5), влиянием которой пренебрегаем, и поэтому не показываем. Опасным является сечение D, в котором сочетаются наибольшие значения N, Mx, Mк. Анализ рисунка показывает, что опасной точкой является Е, где суммируются сжимающие нормальные напряжения от продольной силы и изгибающего момента, и одновременно действует касательное напряжение от крутящего момента. Здесь создаётся плоское напряжённое состояние, условие прочности которого по энергетической теории имеет вид

(2)

Выпишем площадь и моменты сопротивления прямоугольного сечения при изгибе и кручении

Здесь α =0,239 – табличный коэффициент для прямоугольного сечения при h/b = 0,75. Нормальное и касательное напряжения в точке Е будут

η = 0,82 - табличный коэффициент для прямоугольного сечения при h/b = 0,75, учитывающий, что точка Е находится в середине короткой стороны прямоугольника.

Вычислим правую часть условия прочности (2)

Rрγс = 170·0,95 = 161,5 МПа =161,5·103 кПа.

После подстановок условие прочности (2) принимает вид

(3)

Записанное в виде равенства оно представляет собой уравнение с неизвестным b. Определение его корня точными методами затруднительно и требует громоздких преобразований и вычислений. Поэтому применим простой метод итераций (последовательных приближений). С этой целью дробь в подкоренном выражении, содержащую b2, преобразуем, умножив числитель и знаменатель на b.

После несложных преобразований уравнение принимает вид

(4)

Итерационный процесс организуем по формуле, вытекающей из (4)

(5)

Для начала примем, что b1 = 0, и далее проведём вычисления, следуя (5). Итоги счёта в табличной форме

k	1	2	3	4	5
b, см	0	4,5	4,52	4,523	4,523

Вычисления прекращаются, так как заметного уточнения b, уже не происходит. Принимаем, что b= 4,52 см. Из условия задачи находим второй размер h = 1,75b = = 1,75·4,52 = 7,91 см.

В середине длинной стороны прямоугольника G касательные напряжения являются наибольшими, поэтому проверим прочность при найденных значениях сечения. Здесь напряжения будут

Очевидно, что условие прочности (2) выполняется. Поэтому найденные размеры являются окончательными.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Второе число шифра	м	a м	h/b cм	F1 кН	F2 кН	M кНм	Rр МПа	Rс МПа	γc
1	1,0	0,6	1,5	10	8	7	180	180	0,90
2	0,8	0,5	1,75	7	5	6	80	200	1,00
3	1,1	0,7	1,5	9	7	6	17	1,6	0,85
4	0,7	0,4	1,75	6	4	5	90	220	0,95
5	0,9	0,5	1,75	8	6	7	80	210	0,90

Литература

1. Александров материалов. – М.: Высшая школа, 2000. – 560 с.

2. и др. Сопротивление материалов с основами теории упругости и пластичности. – М.: изд. Ассоц. строит. вузов, 1995. –572 с.

3. Дарков материалов. – М., 1989. – 624 c.

4. , , Руководство к решению задач по сопротивлению материалов. – М.: Высшая школа, 1999. – 592 с.

5. и др. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов. – М.: Высшая школа, 1985. – 399 с.

6. Саргсян материалов, теории упругости и пластичности. – М., 2000. – 286 с.

7. Сопротивление материалов / под ред. . – М., 2000. – 430 с.

8. Феодосьев материалов. – М.: Изд-во МГТУ, 1999. – 591 с.

9. Сайт кафедры теоретической и прикладной механики: http://kafedratpm. *****.

Содержание

Предисловие …………………………………………………………………………	3
Общие указания по выполнению заданий …………………………………………	5
Задачи и примеры решений………………………………………………………….	8
Задача 1. Растяжение – сжатие упруго-пластической статически неопределимой стержневой системы………………………………………………………..	8
Задача 2. Определение грузоподъёмности чугунной балки при прямом поперечном изгибе ……………………………………………………………..	16
Задача 3. Расчёт плоской статически неопределимой рамы ……………………..	21
Задача 4.Плоское напряжённое состояние в точке и прочность………………….	30
Задача 5 Косой изгиб балки………………………………………………………….	34
Задача 6. Расчёт бруса на прочность при сложном сопротивлении………………	40
Литература …………………………………………………………………………..	46

учебное издание

Культербаев Хусен Пшимурзович

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

ЧАСТЬ I

Задачи для домашних заданий, примеры решений

Для студентов направления 270800 – Строительство

Редактор

Компьютерная верстка

Корректор

В печать 14.03.2011. Формат 60х84 1/8.

Печать трафаретная. Бумага офсетная. 8.83 усл. п.л. 8.5 уч.-изд. л.

Тираж 200 экз. Заказ № ________.

Кабардино-Балкарский государственный университет.

73.

Полиграфический участок ИПЦ КБГУ

73.