Электрическая схема
Исходные данные
R1=80Ом; R2=90Ом; R3=100Ом; R4=110Ом; R5=120Ом;
L1=0,04Гн; L2=0,05Гн; L3=0,06Гн;
С1=90мкФ; С2=100мкФ; С3=110мкФ;
Мгновенные значения ЭДС:
Запишем действующие значения ЭДС в комплексном виде:
Или в арифметическом виде:
E1=122,1 + j70,5 В;
E2=183,6 − j106 В;
E3=77,8 + j134,8 В;
E4=134,5 − j233 В;
Рассчитаем сопротивления ветвей
Z1=−j·1/(w·C1)= −j·1/(314,2·90·10−6)= −j35,37 Ом
Z2=R1+j·w·L1=80+j·314,2·0,04=80+j·12,57 Ом
Z4=j·w·L2=j·314,2·0,05=j·15,71 Ом
Z5=j·w·L3=j·314,2·0,06=j·18,85 Ом
Z7=−j·1/(w·C3)= −j·1/(314,2·110·10−6)= −j·28,94 Ом
Z8=R5=120=120 Ом
Z9=R3−j·1/(w·C2)=100−j·1/(314,2·100·10−6)=100−j·31,83 Ом
Z6=R4=110 Ом
Z3=R2=90 Ом
Правила Кирхгоффа
Решение. Запишем І−е правило Кирхгоффа:
I1+I2+I4 − I3=0
− I1− I2 − I9+I3=0
− I4+I5+I6=0
− I5+I7+I8=0
I2·Z2 − I1·Z1=−E1
I4·Z4+I6·Z6+I9·Z9+I3·Z3=E2
I5·Z5+I7·Z7 − I6·Z6=E3
I7·Z7 − I8·Z8=E3 − E4
− I2·Z2 − I3·Z3= − E2
I1+I2+I4 − I3=0
− I1−I2 − I9+I3=0
−I4+I5+I6=0
−I5+I7+I8=0
j35,37·I1+(80+j12,57)·I2=− 122,1 − j70,5
j15,71·I4+(100 − j31,83)·I9+110·I6+90·I3=183,6 − j106
j18,85·I5 − j28,94·I7 − 110·I6=77,8+j134,8
−j28,94·I7 − 120·I8=212,3 − j98,21
(−80 − j12,57)·I2 − 90·I3= − 183,6+j106
I1=2,81+j2,53 А
I2=− 0,723 − j2,01 А
I4=0,31+j0,19 А
I5=0,916+j1,86 А
I7=2,3+j1,6 А
I8=− 1,38+j0,264 А
I9=0,31+j0,19 А
I6=− 0,61 − j1,67 А
I3=2,4+j0,71 А
Метод контурных токов
Запишем контурные уравнения:
I11·Z11+I22·Z12+I33·Z13+I44·Z14+I55·Z15=E11
I11·Z21+I22·Z22+I33·Z23+I44·Z24+I55·Z25=E22
I11·Z31+I22·Z32+I33·Z33+I44·Z34+I55·Z35=E33
I11·Z41+I22·Z42+I33·Z43+I44·Z44+I55·Z45=E44
I11·Z51+I22·Z52+I33·Z53+I44·Z54+I55·Z55=E55
Z11=Z2+Z1=80 − j22,8 Ом
Z12=0 Ом
Z13=0 Ом
Z14=0 Ом
Z15= − Z2=− 80 − j12,57 Ом
Z21=0 Ом
Z22=Z4+Z6+Z9+Z3=300 − j16,12 Ом
Z23= − Z6= −110 Ом
Z24=0 Ом
Z25= − Z3= − 90 Ом
Z31=0 Ом
Z32= −Z6=−110 Ом
Z33=Z5+Z7+Z6=110 − j10,09 Ом
Z34=Z7= − j28,94 Ом
Z35=0 Ом
Z41=0 Ом
Z42=0 Ом
Z43=Z7= −j28,94 Ом
Z44=Z7+Z8=120 − j28,94 Ом
Z45=0 Ом
Z51= −Z2= − 80 − j12,57 Ом
Z52= − Z3= − 90 Ом
Z53=0 Ом
Z54=0 Ом
Z55=Z2+Z3=170+j12,57 Ом
E11= −E1=− 122,1 − j70,5 В
E22= E2=183,6 − j106 В
E33= E3=77,8+j134,8 В
E44= E3E4=212,3 − j98,21 В
E55= −E2= − 183,6+j106 В
Подставим числовые значения:
(80−j22,8)·I11+(−80j12,57)·I55=−122,1−j70,5
(300−j16,12)·I22−110·I33−90·I55=183,6−j106
−110·I22+(110−j10,09)·I33−j28,94·I44=77,8+j134,8
−j28,94·I33+(120−j28,94)·I44=212,3−j98,21
(−80−j12,57)·I11−90·I22+(170+j12,57)·I55=−183,6+j106
Решением этой системы будет:
I11=−2,81−j2,53 А
I22=0,31+j0,19 А
I33=0,916+j1,86 А
I44=1,383−j0,264 А
I55=−2,09−j0,521 А
I1=−I11=2,81+j2,53 А
I2= I11−I55=−0,722−j2,01 А
I4= I22=0,31+j0,19 А
I5= I33=0,916+j1,86 А
I7= I33+I44=2,3+j1,59 А
I8=−I44=−1,38+j0,264 А
I9= I22=0,31+j0,19 А
I6= I22−I33=−0,606−j1,67 А
I3= I22−I55=2,4+j0,71 А
Метод узловых потенциалов
Примем потенциал последнего 5-го узла за ноль: j5=0 В.
Решение. Запишем узловые уравнения для первых четырех узлов:
Узел 1. j1·Y11+j2·Y12+j3·Y13+j4·Y14=I11
Узел 2. j1·Y21+j2·Y22+j3·Y23+j4·Y24=I22
Узел 3. j1·Y31+j2·Y32+j3·Y33+j4·Y34=I33
Узел 4. j1·Y41+j2·Y42+j3·Y43+j4·Y44=I44
Рассчитаем сопротивления ветвей
Z1= − j·1/(w·C1)= − j·1/(314,2·90·10−6)=−j·35,37 Ом
Z2=R1+j·w·L1=80+j·314,2·0,04=80+j·12,57 Ом
Z4=j·w·L2=j·314,2·0,05=j·15,71 Ом
Z5=j·w·L3=j·314,2·0,06=j·18,85 Ом
Z7= − j·1/(w·C3)= − j·1/(314,2·110·10−6)=−j·28,94 Ом
Z8=R5=120=120 Ом
Z9=R3− j·1/(w·C2)=100− j·1/(314,2·100·10−6)=100−j·31,83 Ом
Z6=R4=110=110 Ом
Z3=R2=90=90 Ом
Y11=1/Z1+1/Z2+1/Z4+1/Z3=0,02331−j0,0373 См
Y12=Y21=−(1/Z1+1/Z2+1/Z3)=−0,02331−j0,02636 См
Y13=Y31=−(1/Z4)=j0,06366 См
Y14=Y41=0 См
Y22=1/Z1+1/Z2+1/Z9+1/Z3=0,03239+j0,02925 См
Y23=Y32=0 См
Y24=Y42=0 См
Y33=1/Z4+1/Z5+1/Z6=0,009091−j0,1167 См
Y34=Y43=−(1/Z5)=j0,05305 См
Y44=1/Z5+1/Z7+1/Z8=0,008333−j0,01849 См
Рассчитаем узловые токи
I11=−E1/Z1+E2/Z3=(−122,1+j70,5)/(−j35,37)+(183,6−j106)/(90)=4,033−j4,63 А
I22=E1/Z1+−E2/Z3=(122,1+j70,5)/(−j35,37)+(−183,6−j106)/(90)=−4,033+j4,63 А
I33=0 А
I44=−E3/Z7+E4/Z8=(−77,8+j134,8)/(−j28,94)+(134,5−j233)/(120)=5,778−j4,63 А
(0,02331−j0,0373)·j1+(−0,02331−j0,02636)·j2+j0,06366·j3=4,033−j4,63 А
(−0,02331−j0,02636)·j1+(0,03239+j0,02925)·j2=−4,033+j4,63 А
j0,06366·j1+(0,009091−j0,1167)·j3+j0,05305·j4=0 А
j0,05305·j3+(0,008333−j0,01849)·j4=5,778−j4,63 А
Рассчитаем потенциалы:
j1=−69,63−j179,2 В
j2=−37,09−j9,14 В
j3=−66,64−j184 В
j4=−31,52−j201,3 В
j5=0 В
Рассчитаем токи в ветвях:
I1=(j1-j2+E1)/Z1=2,81+j2,53 А
I2=(j1-j2)/Z2=−0,72−j2,01 А
I4=(j1-j3)/Z4=0,31+j0,19 А
I5=(j3-j4)/Z5=0,916+j1,86 А
I7=(j4-j5+E3)/Z7=2,3+j1,6 А
I8=(j4-j5+−E4)/Z8=−1,38+j0,264 А
I9=(j5-j2)/Z9=0,31+j0,19 А
I6=(j3-j5)/Z6=−0,606−j1,67 А
I3=(j2-j1+E2)/Z3=2,4+j0,71 А
Проверим баланс мощности:
Мощность, потребляемая пассивными элементами схемы:
−|I|21·j/(wC·1)+|I|22·j·wL1+|I|22·R1+|I|24·j·wL2+|I|25·j·wL3−|I|27·j/(wC·3)+|I|28·R5−|I|29·j/(wC·2)+|I|29·R3+|I|26·R4+|I|23·R2=−j506,9+j57,42+365,5+j2,082+j81,26−j227,1+238−j4,218+13,25+348,3+564,6=1531−j597,4 (ВА)
Мощность источников энергии:
(Re(I1)−j·Im(I1))·E1+(Re(I7)−j·Im(I7))·E3+(Re(I8)−
−j·Im(I8))·(−E4)+(Re(I3)−j·Im(I3))·E2=522,1−j110,9+394,4+j185,5+247,5−j286,8+365,5−j385,1=1530−j597 (ВА)
