Теория автоматического управления

План:

Введение

7.1 Последовательное соединение 7.2 Параллельное соединение 7.3 Передаточная функция замкнутой системы

11.1 Критерий Рауса 11.2 Критерий Гурвица 11.3 Критерий Михайлова 11.4 Критерий Найквиста

Литература

Введение

Теория автоматического управления

Теория автоматического управления (ДА) - научная дисциплина, выявляет общие закономерности функционирования, присущие для автоматических систем различной физической природы, и на основе этих закономерностей разрабатывает принципы построения высококачественных систем управления. При изучении процессов управления в ДА абстрагируются от физических и конструктивных особенностей систем и вместо реальных систем рассматривают их адекватные математические модели.

Теория автоматического управления - раздел кибернетики ( техническая кибернетика), изучающая способы управления различными техническими устройствами, технологическими процессами и производствами.

1. Основные понятия

Автоматика - отрасль науки и техники, охватывающая теорию и практику автоматического управления, а также принципы построения автоматических систем и технических средств из которых они состоят.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Управление - процесс приведения определенного физического объекта в состояние, соответствующее некоторой цели.

Цель - причина управления, приводит в действие для ее достижения. Воздействие на объект управления предназначена для достижения цели управления.

Автоматическое управление - осуществление определенных управляющих воздействий на заданный объект, необходимых и достаточных для его целенаправленного функционирования с заданной точностью без непосредственного участия человека.

Система автоматического управления (САУ) включает объект управления и устройство управления.

Устройство управления - совокупность технических средств, с помощью которых осуществляется управление технологическими параметрами объекта управления.

Объект управления (ОК) - это устройство (или совокупность устройств), осуществляющее технический процесс и требует специально организованных воздействий извне для обеспечения своего алгоритма функционирования.

Алгоритм функционирования - это совокупность правил, ведущих к правильному выполнению технического процесса в каком-либо устройстве или в совокупности устройств (системе).

Алгоритм управления - это совокупность предписаний, определяющих характер воздействий на ОК с целью обеспечения его алгоритма функционирования.

Регулирование - частный случай управления, цель которого заключается в поддержке на заданном уровне одной или нескольких регулируемых величин.

Регулятор - превращает погрешность регулирования ? (t) в управляющее воздействие на объект управления.

Задающий влияние g (t) - определяет необходимый закон регулирования исходной величины.

Погрешность регулирования ? (t) = g (t)-у (t), разница между требуемым значением регулируемой величины и текущим ее значением. Если ? (t) отлична от нуля, то этот сигнал поступает на вход регулятора, который формирует такую ??регулирующее воздействие, чтобы в результате со временем ? (t) = 0.

Возмущающий влияние f (t) - нарушает необходимый функциональная связь. Причины возмущений - изменение нагрузки и помехи (внешние и внутренние).

2. Функциональные схемы

Типовая схема САК

Принцип отклонения управляемой переменной в ДА

Принцип компенсации возмущений в ДА

Принцип комбинированного регулирования в ДА

Функциональная схема элемента - схема системы автоматического регулирования и управления, составленная по функциям, которую выполняет этот элемент.

Выходные сигналы - параметры, характеризующие состояние объекта управления и существенные для процесса управления.

Выходы системы - точки системы, в которых выходные сигналы могут наблюдаться в виде определенных физических величин.

Входы системы - точки системы, в которых приложены внешние воздействия.

Входные сигналы:

помехи

полезны

Системы:

одномерные

многомерные

3. Принципы управления САK

Обратная связь - связь, при которой на вход регулятора подается действительное значение выходной переменной, а также заданное значение регулируемой переменной.

жесткий

гибкий

Управление по принципу отклонения управляемой переменной: - обратная связь образует замкнутый контур. На управляемый объект подается действие, пропорциональная сумме (разности) между исходной переменной и заданным значением так, чтобы эта сумма (разница) уменьшалась.

Управление по принципу компенсации возмущений: - на вход регулятора попадает сигнал, пропорциональный возмущающих действия. Отсутствует зависимость между управляющей действием и результатом этого действия на объект.

Управление по принципу комбинированного регулирования: - используется одновременно регулирования по возмущению и по отклонению, что обеспечивает высочайшую точность управления.

4. Классификация САК

По характеру управления:

системы управления системы регулирования

По характеру действия:

системы непрерывного действия системы дискретного действия

За использованием информации о состоянии объекта управления:

управления с обратной связью управление без обратной связи

По степени использования информации о параметрах и структуре объекта управления:

адаптивный неадаптивные поисковый беспоисковое с идентификацией с переменной структурой

По степени преобразования координат в САК:

$f (t) \ ne f (t +1)$

По виду математической модели преобразования координат:

линейные нелинейные (релейные, логические и др.).

По виду управляющих воздействий:

аналоговые дискретные (непрерывный, импульсные, цифровые)

По степени участия человека:

ручные автоматические автоматизированные (человек в управлении)

По закону изменения выходной переменной:

стабилизирующая:

программная:

следящая:

По количеству управляемых и регулируемых переменных:

одномерные многомерные

По степени самоналагодження, адаптации, оптимизации и интеллектуальности:

экстремальные самонастраивающиеся интеллектуальные

По действию чувствительного (измерительного) элемента на регулирующий орган:

системы прямого управления системы косвенного управления

5. Математические модели линейных САУ

Детерминированные

W_0

Статистические

Характеризуются набором статистических параметров и функций распределения. Для их исследования используются методы математической статистики.

Адаптивные

Используется для описания объекта управления детерминировано-стохастические методы.

6. Виды действий. Переходная, весовая, передающая функции

Единичная ступенчатую функция

Единичная импульсная функция

Переходная функция

Весовая функция

Передаточная функция

7. Передаточная функция соединения звеньев

7.1. Последовательное соединение

W е (p) = W 1 (p) W 2 (p) ... W n (p) =

7.2. Параллельное соединение

W е (p) = W 1 (p) + W 2 (p) + ... + W n (p) =

7.3. Передаточная функция замкнутой системы

W ЗЗ (p) - уравнение, описывающее уравнения обратной связи W (p) - уравнение, описывающее звено G (p) - уравнение, описывающее входное воздействие U ЗЗ (p) - уравнение, описывающее выходной сигнал звена обратной связи ?U (p) - уравнение, описывающее сумму (разница) Y (p) - уравнение, описывающее выходной сигнал системы

Решая эту систему уравнений, получим следующие результаты:

8. Получение передаточной функции в пространстве состояний

Входной и выходной сигнал задаются системой

, Поскольку в измерительном устройстве внешних воздействий нет.

A ij = const

B ij = const

Пусть E - единичная матрица, тогда:

PEx - Ax = BU

PE - A) x = BU

x (0) = 0

W_x

W_y

W'_y

9. Линеаризация систем и звеньев

Пусть САK регулируется и описывается нелинейным уравнением

Причем, нелинейность несущественна, то есть эту функцию можно разложить в ряд Тейлора в окрестности стационарной точки, например, при внешнем возбуждении f = 0. Уравнение этого звена в установившемся режиме выглядит следующим образом:

, Начальные точки, производные отсутствуют.

Тогда, раскладывая нелинейную функцию в ряд Тейлора, получим:

- Остаточный член

a_0

От нелинейного записи перешли к линейному.

Перейдем к операторного уравнения:

(A_0p

10. Устойчивость линейных систем

Устойчивость - свойство САК возвращаться в заданное или близкий к нему установившийся режим после какого-либо возмущения.

Стойка САК - система, в которой переходные процессы затухающими.

(A_0p - Операторная форма записи линеаризованные уравнения.

y (t) = y уст (t) + y n = y ным (t) + y вл

y уст (y вым) - частичный решение линеаризованные уравнения.

y п (y вл) - общее решение линеаризованные уравнения как однородного дифференциального уравнения, т. е. $D (a_0p ^ n + a_1p ^ {n - 1} + .. + a_n) y = 0$

САК устойчива, если переходные процессы в п (t) вызываемые любыми возмущениями, будут затухающими со временем, т. е. $y_n (t) \ rightarrow 0$ при

Решая дифференциальное уравнение в общем случае, получим комплексные корни p i, p i +1 = ? ? i? j? i

Каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствует следующая составляющая уравнения переходного процесса:

c_ie , Где ,

Из полученных результатов видно, что:

в уст

(Теорема Ляпунова 1);

(Теорема Ляпунова 2),

$Ae ^ {\ alpha_it} \ sin {(\ beta_it + \ varphi_i)} \ rightarrow \ mathcal {1}$

$Ae ^ {\ alpha_it} \ sin {(\ beta_it + \ varphi_i)} = const$

(Теорема Ляпунова 3).

11. Критерии устойчивости

11.1. Критерий Рауса

Для определения устойчивости системы строятся таблицы вида:

Коэффициенты	Строки	столбец 1	столбец 2	столбец 3
	1	$C_ {11} = a_0 = T_1T_2T_3$	$C_ {12} = a_1 = T_1 + T_2 + T_3$	$C_ {13} = a_4$
	2	$C_ {21} = a_1 = T_1T_2 + T_2T_3 + T_1 + T_3$	$C_ {22} = a_3 = 1 + k$	$C_ {23} = a_5$
$r_3 = \ frac {C_ {11}} {C_ {21}}$	3	$C_ {31} = C_ {12}-r_3C_ {22}$	$C_ {32} = C_ {13}-r_3C_ {23}$	$C_ {33} = C_ {14}-r_3C_ {24}$
$r_4 = \ frac {C_ {21}} {C_ {31}}$	4	$C_ {41} = C_ {22}-r_4C_ {32}$	$C_ {42} = C_ {23}-r_4C_ {24}$	$C_ {43} = C_ {24}-r_4C_ {34}$

Для устойчивости системы необходимо, чтобы все элементы первого столбца имели положительные значения и, если в первом столбце присутствуют отрицательные элементы - система неустойчива: если хотя бы один элемент равен нулю, а остальные положительные, то система на грани устойчивости.

11.2. Критерий Гурвица

- Определитель Гурвица

Теорема: Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и все миноры были положительны при a_0> 0.

11.3. Критерий Михайлова

Заменим $p = j \ omega$ , Где ? - угловая частота колебаний, соответствующих чисто мнимых корней данного характеристического полинома.

Критерий: для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, построенная в координатах , Проходила последовательно через n квадрантов.

Рассмотрим зависимость между кривой Михайлова и знаками его корней (?> 0 и ?> 0)

1) Корень характеристического уравнения - отрицательное действительное число p_1

Соответствующий данному корню сомножитель $(\ Alpha_1 + j \ omega)$

2) Корень характеристического уравнения - положительное действительное число p_1

Соответствующий данному корню сомножитель $(\ Alpha_1-j \ omega)$

3) Корень характеристического уравнения - комплексная пара чисел с отрицательной действительной частью

Соответствующий данному корню сомножитель $(J \ omega + \ alpha_1-j \ beta) (j \ omega + \ alpha_1 + j \ beta)$

, Где

4) Корень характеристического уравнения - комплексная пара чисел с положительной действительной частью

Соответствующий данному корню сомножитель $(J \ omega-\ alpha_1-j \ beta) (j \ omega-\ alpha_1 + j \ beta)$

, Где

11.4. Критерий Найквиста

Критерий Найквиста - это графоаналитических критерий. Характерной его особенностью является то, что заключение об устойчивости или неустойчивости замкнутой системы делается в зависимости от вида амплитудно-фазовой или логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы.

Пусть разомкнутая система представлена ??в виде полинома $W (p) = \ frac {R (p)} {Q (p)} = \ frac {b_0p ^ n + b_1p ^ {n-1} + ... + a ^ n} {a_0p ^ m + a_1p ^ {m-1} + ... + a ^ m}$

тогда сделаем подстановку $p = j \ omega$ и получим:

Для зручничои построения годографа при n> 2 приведем уравнение (*) к "стандартному" вида:

При таком представлении модуль A (?) = | W (j?) | равен отношению модулей числителя и знаменателя, а аргумент (фаза) ? (?) - разности их аргументов. В свою очередь, модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей, а аргумент - сумме аргументов.

Модули и аргументы, соответствующие сомножители передаточной функции

Сомножитель	$A (\ omega)$	$\ Psi (\ omega)$
k	k	0
p	?	$\ Frac {\ pi} {2}$
	$\ Omega ^ 2$	$\ Pi$
	$\ Sqrt {1 + T ^ 2 \ omega ^ 2}$	$\ Operatorname {arctg} \ omega T$
	$\ Sqrt {1 + T ^ 2 \ omega ^ 2}$	$\ Pi - \ operatorname {arctg} \ omega T$
	$\ Sqrt {1 + T ^ 2 \ omega ^ 2}$	$- \ Operatorname {arctg} \ omega T$
	$\ Left \| 1-T ^ 2 \ omega ^ 2 \ right \|$	$\ Begin {matrix} 0, & \ omega <\ frac {1} {T} \ \ \ pi, & \ omega> \ frac {1} {T} \ end {matrix}$
$T ^ 2p ^ 2 +2 \ xi Tp +1$	$\ Sqrt {(1-T ^ 2 \ omega ^ 2) ^ 2 +4 \ xi ^ 2T ^ 2 \ omega ^ 2}$	$\ Begin {matrix} \ operatorname {arctg} \ frac {2 \ xi \ omega T} {1-T ^ 2 \ omega ^ 2}, & \ omega <\ frac {1} {T} \ \ \ pi + \ operatorname {arctg} \ frac {2 \ xi \ omega T} {1-T ^ 2 \ omega ^ 2}, & \ omega \ geqslant \ frac {1} {T} \ end {matrix}$

После чего построим годограф для вспомогательной функции

W_1 , Для чего будем менять $\ Omega [0; \ mathcal {1})$

При , А при $\ Omega = \ mathcal {1}, \ quad W_1 (j \ omega) = 1$ (Так как n $W (j \ omega) = 0$ )

Для определения результирующего угла поворота найдем разницу аргументов числителя $\ Psi_1$ и знаменателя $\ Psi_2$

Полином числителя вспомогательной функции имеет тот же степень, что и полином ее знаменателя, откуда следует . Итак, результирующий угол поворота вспомогательной функции равна 0. Это означает, что для устойчивости замкнутой системы годограф вектора вспомогательной функции не должен охватывать начало координат, а годограф функции $W (j \ omega)$ , Соответственно, точку с координатами (-1; J0)

12. Запас устойчивости САК

Необходимость запаса устойчивости определяется следующими условиями:

Освобождение нелинейных слагаемых при линеаризации. Коэффициенты, входящие в уравнение, описывающее САК, определяются с погрешностью. Устойчивость исследования для типовых систем по умолчанию условий.

Критерий Рауса

Чтобы смоделировать запас устойчивости, необходимо, чтобы элементы первого столбца были большими какой-то фиксированной величины ?> 0, что называется коэффициентом запаса устойчивости.

Критерий Гурвица

Запас устойчивости определяется аналогично запаса устойчивости Рауса, только ? характеризует значение определителя Гурвица.

Критерий Михайлова

Вписывается круг ненулевого радиуса с центром в точке О (0; 0). Запас определяется радиусом круга. Система неустойчива при нарушении критерия Михайлова или при пересечении кривой Михайлова с кругом.

Критерий Найквиста

Здесь критической является точка (- 1; j0), следовательно, вокруг этой точки строится запретная зона, радиус которой представлять коэффициент запаса устойчивости.

13. Сравнительная характеристика критериев устойчивости

Частотный критерий Найквиста применим, главным образом, когда трудно получить фазовые характеристики экспериментально. Однако вычисления АФХ, особенно частотных, сложнее, чем построение кривых Михайлова. Кроме того, расположение АФЧХ не дает прямого ответа на вопрос: устойчивая система, т. е. требуется дополнительное исследование на устойчивость системы в разомкнутом состоянии.

Критерий Михайлова применяется для систем любого порядка, в отличие от критерия Рауса. Применяя частотный критерий Найквиста и критерий Михайлова, характеристические кривые можно строить постепенно, с учетом влияния каждого звена, предоставляющий критериям наглядность и решает задачу выбора параметров системы из условия устойчивости.

См.. также

Теория автоматического регулирования Теория управления Автоматика Автоматизация Система автоматического управления Робастного управления Детерминированные системы

Литература

В Википедии есть портал

"Математика"

Это незавершенная статья по науки.
Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив ее.

http://nado. *****

Теория автоматического управления

Теория автоматического управления

План:

Введение

Теория автоматического управления

1. Основные понятия

2. Функциональные схемы

3. Принципы управления САK

4. Классификация САК

5. Математические модели линейных САУ

6. Виды действий. Переходная, весовая, передающая функции

7. Передаточная функция соединения звеньев

7.1. Последовательное соединение

7.2. Параллельное соединение

7.3. Передаточная функция замкнутой системы

8. Получение передаточной функции в пространстве состояний

9. Линеаризация систем и звеньев

10. Устойчивость линейных систем

11. Критерии устойчивости

11.1. Критерий Рауса

11.2. Критерий Гурвица

11.3. Критерий Михайлова

11.4. Критерий Найквиста

12. Запас устойчивости САК

13. Сравнительная характеристика критериев устойчивости

См.. также

Литература

Домашний очаг

Справочная информация

Техника

Общество

Образование и наука

Мир

Бизнес и финансы